Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin

Additions au Mémoire sur la résolution des équations numériques

(Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, t. XXIV, 1770.)

J’ai donné dans ce Mémoire une méthode générale pour résoudre les équations numériques de tous les degrés, matière sur laquelle on n’avait encore que des tentatives et des essais. Ma méthode ne laisse, ce me semble, rien à désirer : non-seulement elle fournit un moyen sûr de reconnaître combien de racines réelles positives ou négatives, égales ou inégales, il y a dans une équation quelconque ; elle donne encore le moyen d’approcher d’aussi près que l’on veut, et le plus qu’il est possible en nombres rationnels, de la vraie valeur de chaque racine ; et c’est à quoi se réduit, si je ne me trompe, tout ce qu’on peut souhaiter dans la résolution des équations.

Ayant eu occasion de penser encore à cette matière, j’ai fait de nouvelles réflexions qui peuvent servir à perfectionner et à simplifier ma méthode dans plusieurs cas ; ce sont ces réflexions que je vais exposer ici : elles me paraissent assez importantes pour mériter quelque attention de la part des Géomètres.

§ I. — Sur les racines imaginaires des équations.

Remarque I.

Sur la manière de reconnaître quand toutes les racines d’une équation sont réelles.

1. Dans le de ee Mémoire, fai donné des formules générales pour déduire d’une équation quelconque une autre équation dont les racines soient les carrés des différences entre les racines de l’équation proposée. Or, si toutes les racines d’une équation sont réelles, il est évident que les carrés de leurs différences seront tous positifs ; par conséquent, l’équation dont ces carrés seront les racines, et que nous appellerons dorénavant, pour abréger, équation des différences, cette équation, dis-je, n’ayant que des racines réelles positives, aura nécessairement les signes de ses termes alternativement positifs et négatifs ; de sorte que, si cette condition n’a pas lieu, ce sera une marque sûre que l’équation primitive a nécessairement des racines imaginaires.

2. De plus, comme on sait (voyez les Mémoires de cette Académie pour l’année 1746 et ceux de la Société de Turin pour l’année 1760) que les racines imaginaires vont toujours deux à deux, et qu’elles peuvent se mettre sous la forme

C’est ce que j’avais déjà remarqué dans le § II du Mémoire cité ; mais voici une conséquence qui m’avait échappé alors, et qui peut être d’une grande utilité dans la recherche des racines imaginaires.

3. Nous venons de voir que chaque couple de racines imaginaires de la proposée doit donner au moins une racine réelle négative dans l’équation des différences. Or, il est démontré (voyez les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour l’année 1741) qu’une équation quelconque ne saurait avoir plus de racines positives qu’elle n’a de changements de signes, ni plus de racines négatives qu’elle n’a de successions du même signe. Donc, le nombre des racines imaginaires dans une équation quelconque ne pourra jamais être plus grand que le double de celui des successions de signe dans l’équation des différences.

4. De là et de ce que nous avons dit ci-dessus il s’ensuit que, si l’équation des différences a tous ses termes alternativement positifs et négatifs, l’équation primitive aura nécessairement toutes ses racines réelles, sinon elle aura nécessairement des racines imaginaires. Ainsi l’on pourra toujours juger par ce moyen s’il y a ou non des racines imaginaires dans une équation quelconque donnée.

Remarque II.

Où l’on donne des règles pour déterminer le nombre des racines imaginaires d’une équation.

5. Soient

les racines réelles d’une équation quelconque, et

les racines imaginaires ; les carrés des différences de ces racines seront

Soit le degré de l’équation proposée, qui est égal au nombre des racines

6. Qu’on fasse maintenant le produit de toutes ces racines, et il est visible que le produit des racines positives sera toujours positif, que celui des racines négatives sera positif ou négatif, suivant que le nombre sera pair ou impair, qu’enfin le produit des racines imaginaires sera toujours positif ; en effet, ces dernières racines étant deux à deux de la forme

Donc le produit total sera nécessairement positif ou négatif, suivant que sera pair ou impair.

Mais le dernier terme d’une équation est, comme on sait, égal au produit de toutes ses racines avec le signe ou suivant que le nombre de ces racines est pair ou impair.

Donc le dernier terme de l’équation des différences dont le degré est sera nécessairement positif si et sont tous deux pairs ou tous deux impairs, et négatif si l’un de ces nombres est pair et l’autre impair.

7. Or, si et sont tous deux pairs ou impairs, sera nécessairement pair, et si et sont l’un pair et l’autre impair, sera nécessairement impair ; mais, à cause de

Donc le dernier terme de l’équation des différences sera nécessairement positif ou négatif, suivant que le nombre sera pair ou impair, c’est-à-dire suivant que le nombre des combinaisons des racines réelles de la proposée prises deux à deux sera pair ou impair.

8. 1 Supposons que ce dernier terme soit positif, il faudra en ce cas que soit pair ; donc, ou

2 Supposons que le dernier terme de l’équation des différences soit négatif, il faudra alors que soit impair ; donc, ou

9. Ainsi, par l’inspection seule des signes de l’équation des différences, on sera en état de juger : 1 si toutes les racines de l’équation proposée sont réelles ou non ; 2 si le nombre des racines réelles est un de ceux-ci ou bien s’il est un de ceux-ci ce qui suffira pour déterminer le nombre des racines réelles et des racines imaginaires dans les équations qui ne passent pas le cinquième degré, et dans toutes les équations où l’en saura d’avance que les racines imaginaires ne sauraient être plus de quatre.

Peut-être qu’en poussant plus loin cette théorie on pourrait trouver des règles sûres pour déterminer le nombre des racines réelles dans les équations de degré quelconque, les méthodes qu’on a proposées jusqu’à présent pour cet objet étant ou insuffisantes, comme celles de Newton, Maclaurin, etc., ou impraticables, comme celles de Stirling et de l’abbé de Gua, qui supposent la résolution des équations des degrés inférieurs.

Remarque III.

Où l’on applique la théorie précédente aux équations du second, troisième et quatrième degré.

10. Soit l’équation proposée du second degré comme

11. Soit proposée l’équation générale du troisième degré

l’équation des différences sera ici du degré \frac{3.2}{2}=3, et l’on trouvera par la même méthode

12. Soit maintenant proposée l’équation générale du quatrième degré

est négative, la proposée aura nécessairement deux racines réelles et deux imaginaires ; mais, si cette quantité est positive, alors la proposée aura toutes ses racines réelles ou toutes imaginaires.

Or, toutes les racines seront réelles si les valeurs de tous les coefficients sont positives ; donc elles seront toutes imaginaires si, le dernier coefficient étant positif, quelqu’un des autres se trouve négatif.

Supposons donc le coefficient positif, en sorte que l’on ait

Ainsi, dans le premier cas, les quatre racines de l’équation seront toutes réelles, et dans le second cas elles seront toutes imaginaires.

On pourrait de même trouver les conditions qui rendent les racines des équations du cinquième degré toutes réelles, ou en partie réelles et en partie imaginaires : mais comme dans ce cas l’équation des différences monterait au degré le calcul deviendrait extrêmement prolixe et embarrassant.

Remarque IV.

Sur la manière d’avoir les racines imaginaires des équations.

13. Nous avons vu dans la Remarque II que chaque couple de racines imaginaires correspondantes donne nécessairement dans l’équation des différences une racine réelle négative d’où il s’ensuit qu’en cherchant les racines réelles négatives de cette équation, on trouvera nécessairement les valeurs de d’où l’on aura celles de à l’aide desquelles on pourra ensuite trouver les valeurs correspondantes de comme nous l’avons enseigné dans le du Mémoire cité ; de sorte qu’on aura par ce moyen l’expression de chaque racine imaginaire de l’équation proposée, ce qui est souvent nécessaire, surtout dans le calcul intégral. Voici seulement une observation qui peut servir à répandre un plus grand jour sur cette théorie, et à dissiper en même temps les doutes qu’on pourrait se former sur son exactitude et sa généralité.

14. Lorsque les parties réelles des racines imaginaires

Mais, s’il arrive que parmi les quantités il s’en trouve d’égales entre elles ou d’égales aux quantités alors l’équation des différences aura nécessairement plus de racines négatives que la proposée n’aura de couples de racines imaginaires.

En effet, soit et les deux racines imaginaires

De sorte que, si l’équation proposée ne contient, par exemple, que les deux racines imaginaires

D’où l’on voit que lorsque l’équation des différences a trois racines réelles négatives, dont deux sont égales entre elles, alors la proposée peut avoir ou trois couples de racines imaginaires ou un seulement.

Si la proposée contient quatre racines imaginaires

15. De là il est facile de conclure :

1 Que lorsque toutes les racines réelles négatives de l’équation des différences sont inégales entre elles, alors la proposée aura nécessairement au tant de couples de racines imaginaires qu’il y aura de ces racines.

Et dans ce cas, nommant une quelconque de ces racines, on aura d’abord cette valeur étant ensuite substituée dans les deux équations (H) du du Mémoire cité, on cherchera leur plus grand commun diviseur en poussant la division jusqu’à ce que l’on parvienne à un reste où ne se trouve plus qu’à la première dimension ; et faisant ce reste égal à zéro, on aura la valeur de correspondante à celle de par ce moyen chaque racine négative donnera deux racines imaginaires

2 Que si, parmi les racines réelles négatives de l’équation des différences, il y en a d’égales entre elles, alors chaque racine inégale, s’il y en a, donnera toujours, comme dans le cas précédent, un couple de racines imaginaires ; mais chaque couple de racines égales pourra donner aussi deux couples de racines imaginaires, ou n’en donner aucun ; ainsi deux racines égales donneront ou quatre racines imaginaires ou aucune ; trois racines égales donneront ou six ou deux racines ; quatre racines égales donneront ou huit ou quatre racines imaginaires, et ainsi de suite.

16. Or, soient par exemple et deux racines égales négatives de l’équation des différences, on fera comme ci-dessus, et substituant cette valeur de dans les équations (H) du numéro cité, on cherchera leur commun diviseur en ne poussant la division que jusqu’à ce que l’on parvienne à un reste où ne se trouve qu’à la seconde dimension, à cause que la valeur de est double, comme nous l’avons déjà remarqué dans l’endroit cité.

Ainsi, faisant ce reste égal à zéro, on aura pour la détermination de une équation du second degré, laquelle aura par conséquent ou deux racines réelles ou deux imaginaires.

Dans le premier cas, nommant ces deux racines et on aura les quatre racines imaginaires

17. S’il y avait dans l’équation des différences trois racines égales et négatives alors faisant on poussera seulement la division des équations jusqu’à ce que l’on parvienne à un reste où se trouve à la troisième dimension ; de sorte que, ce reste étant fait on aura une équation du troisième degré en d’où l’on tirera, ou trois valeurs réelles de ou une réelle et deux imaginaires : dans le premier cas on aura six racines imaginaires ; dans le second on n’en aura que deux, les valeurs imaginaires de devant toujours être rejetées comme contraires à l’hypothèse, et ainsi de suite.

§ II. — Sur la manière d’approcher de la valeur numérique des racines des équations.

18. On a vu dans le § III du Mémoire cité comment on peut réduire les racines des équations numériques à des fractions continues, et combien ces sortes de réductions sont préférables à toutes les autres : nous allons encore faire ici quelques remarques pour donner à cette théorie toute la généralité et la simplicité dont elle peut être susceptible.

Remarque I.

Sur les fractions continues périodiques.

19. Nous avons déjà remarqué dans le du même Mémoire que, lorsque la racine cherchée est égale à un nombre commensurable, la fraction continue doit nécessairement se terminer, de sorte que l’on pourra avoir l’expression exacte de la racine ; mais il y a encore un autre cas où l’on peut aussi avoir l’expression exacte de la racine, quoique la fraction continue qui la représente aille à l’infini. Ce cas a lieu lorsque la fraction continue est périodique, c’est-à-dire telle que les mêmes dénominateurs reviennent toujours dans le même ordre à l’infini ; par exemple, si l’on avait la fraction

ce qui donne cette équation

ce qui donne

20. On voit par ce que nous venons de dire que le cas dont il s’agit doit avoir lieu toutes les fois que dans la suite des équations transformées (a), (b), (c), (d), … du du Mémoire cité il s’en trouvera deux qui auront les mêmes racines ; car si la racine par exemple, de l’équation (c) était la même que la racine de l’équation (a), on aurait

21. Supposons donc qu’on ait reconnu que, parmi les différentes équations transformées, il s’en trouve deux qui aient la même racine ; alors la fraction continue cherchée sera nécessairement périodique à l’infini, de sorte qu’on pourra la continuer aussi loin qu’on voudra en répétant seulement les mêmes nombres. Mais voyons comment on pourra dans ce cas continuer aussi la suite des fractions convergentes du du Mémoire cité sur la résolution des équations numériques, sans être obligé de les calculer toutes l’une après l’autre par les formules données.

22. Pour cet effet, nous supposerons que l’on ait en général

23. Maintenant, l’équation

mettons, au lieu de dans le second membre de cette équation, sa valeur

Pareillement, l’équation

D’où il s’ensuit qu’on aura en général, quelle que soit la fraction continue, soit périodique ou non,

24. Cela posé, supposons qu’on ait trouvé, par exemple,

de la transformée ; alors on aura aussi

25. Maintenant, si l’on suppose en général

il est clair que si l’on fait

26. De sorte qu’en faisant ces substitutions dans les deux équations ci-dessus, on aura

27. Or les équations (D), étant divisées l’une par l’autre, donnent

Donc, faisant on aura

et, de là ;

Donc, faisant ces substitutions dans les deux équations du , on aura

28. Maintenant, si dans l’équation (E) du numéro précédent on fait on aura, à cause de (hypothèse),

Soit, pour abréger,

29. En effet, supposons, pour abréger,

Donc, si l’on ajoute la première multipliée par à la deuxième multipliée par et de même la troisième multipliée par à la quatrième multipliée par et qu’on fasse, pour abréger,

30. Ainsi, lorsqu’à l’aide des quantités

31. Au reste, si l’on voulait trouver en général l’équation du second degré par laquelle peut être déterminée la racine de l’équation proposée, lorsqu’on a comme dans le , il n’y aurait qu’à remarquer que les équations (B) du , étant divisées l’une par l’autre, donnent en général

Remarque II.

Où l’on donne une manière très-simple de réduire en fractions continues les racines des équations du second degré.

32. Considérons l’équation générale du second degré

où le radical peut être pris positivement ou négativement. Supposons que la racine cherchée soit positive, et soit le nombre entier qui sera immédiatement plus petit que la valeur de on fera donc

Maintenant, je remarque que la quantité qui est sous le signe dans l’expression de devient, en substituant les valeurs de et de et ôtant ce qui se détruit, celle-ci : qui est la même que celle qui est sous le signe dans l’expression de d’où il est facile de conclure que la quantité radicale sera toujours la même dans les expressions de

33. Donc si l’on fait, pour abréger,

et qu’on prenne (le signe dénote qu’il faut prendre le nombre entier qui est immédiatement moindre)

On peut observer encore que, comme on a trouvé

Ainsi l’on pourra, si on le juge plus commode, employer ces formules à la place de celles qu’on a données plus haut pour avoir les valeurs de

34. Maintenant je dis que la fraction continue qui exprime la valeur de sera toujours nécessairement périodique.

Pour pouvoir démontrer ce théorème, nous commencerons par démontrer en général que, quelle que soit l’équation proposée, on doit toujours nécessairement arriver à des équations transformées dont le premier et le dernier terme soient de signes différents. En effet, nous avons vu, dans le du Mémoire sur la résolution des équations numériques, qu’on doit toujours nécessairement arriver à une équation transformée qui n’ait qu’une seule racine plus grande que l’unité, après quoi chacune des transformées suivantes n’aura aussi qu’une seule racine plus grande que l’unité ; soit donc

signe que le coefficient donc il faudra que la supposition de donne un résultat de signe contraire à mais ce résultat est égal à

Et l’on peut prouver de la même manière que cela aura lieu à plus forte raison dans toutes les transformées suivantes.

35. Cela posé, puisque l’équation proposée

1 Que l’on aura

2 Que l’on aura aussi, à cause que les nombres sont tous entiers,

donc donc la fraction continue sera nécessairement périodique (24).

36. En effet, on voit, par les formules du , que si l’on a

Ainsi, chacune de ces trois séries deviendra périodique, à commencer par les termes et leurs périodes seront de termes, apres lesquels les mêmes termes reviendront dans le même ordre, à l’infini.

37. Nous venons de démontrer qu’en continuant la série des nombres on doit nécessairement trouver des termes consécutifs qui soient de même signe, et qu’ensuite la série doit nécessairement devenir périodique ; or, je dis que dès que, dans la même série, on sera parvenu à deux termes consécutifs, comme qui soient de même signe, on sera assuré que l’un de ces deux termes sera déjà un des termes périodiques, lequel reparaîtra nécessairement dans chaque période.

En effet, comme et sont de même signe, il est clair que la transformée

bres seront de même signe, de sorte que chacun d’eux sera moindre que et que chacun des nombres sera moindre que (35).

38. Or, comme on a

Supposons que ce soit et je vais prouver que les nombres

faudra que les numérateurs soient tous aussi du même signe que

Maintenant, supposons, pour-plus de simplicité, positif, en sorte que doivent être aussi tous positifs, et je dis que le seront aussi. Car soit, s’il est possible, ( étant un nombre positif), et, comme (hypothèse), on aura, à plus forte raison, donc

Si était pris négativement, on prouverait de la même manière que devraient être négatifs ; et même, sans faire un nouveau calcul, il n’y aura qu’à remarquer que les formules du numéro cité demeurent les mêmes en y changeant les signes de toutes les quantités et du radical de sorte qu’on pourra toujours regarder ce radical comme positif, en prenant les quantités avec des signes contraires.

39. Cela posé, je dis que si deux termes correspondants quelconques des suites sont donnés, tous les précédents dans les mêmes suites seront nécessairement donnés aussi.

Supposons, par exemple, que et soient donnés (on verra aisément que la démonstration est générale, quels que soient les termes donnés), et voyons quels doivent être les termes qui précèdent ceux-ci, en vertu des formules du , et des conditions du numéro précédent. On aura d’abord

ainsi sera donné, et de là le sera aussi, et comme

Enfin, puisque est (hypothèse) on aura à plus forte raison

et de là, à cause de

40. Or, nous avons vu (35) qu’en continuant les séries il arrivera nécessairement que deux termes correspondants comme reparaîtront après un certain nombre d’autres termes, en sorte que l’on aura, par exemple,

41. De là je conclus en général que, lorsque dans la série des nombres on en trouvera deux consecutifs de même signe, celui des deux qui sera moindre que sera déjà nécessairement périodique.

Ainsi, si dans l’équation proposée

42. Si l’on a en sorte que alors on aura d’où l’on voit que, des deux nombres le plus petit sera moindre que et le plus grand sera nécessairement plus grand que donc, dans ce cas, si le nombre dont il s’agit d’extraire la racine carrée est plus petit que l’unité, la série sera périodique dès le premier terme et s’il est plus grand que l’unité, la période ne pourra pas commencer plus bas qu’au second terme.

43. On avait remarqué depuis longtemps que toute fraction continue périodique pouvait toujours se ramener à une équation du second degré, mais personne que je sache n’avait encore démontré l’inverse de cette proposition ; savoir, que toute racine d’une équation du second degré se réduit toujours nécessairement en une fraction continue périodique. Il est vrai que , dans un excellent Mémoire imprimé au tome XI des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, a observé que la racine carrée d’un nombre entier se réduisait toujours en une fraction continue périodique ; mais ce théorème, qui n’est qu’un cas particulier du nôtre, n’a pas été démontré par , et ne peut l’être, ce me semble, que par le moyen des principes que nous avons établis plus haut.

44. Nous avons donné plus haut des formules générales pour trouver aisément tous les termes des fractions convergentes vers la racine d’une équation donnée, lorsqu’on a reconnu que la fraction continue qui exprime cette racine est périodique.

Or, dans le cas où l’équation est du second degré, et où l’on se sert de la méthode du , on pourra, si l’on veut, simplifier beaucoup les cal- culs des 24 et suivants pour trouver les termes et de chacune des fractions convergentes vers

En effet, avant

45. On peut aussi remarquer, que la valeur de p peut se déterminer par le moyen de celles de et sans avoir besoin d’un nouveau calcul.

En effet, ayant

46. Supposons, pour donner un exemple de l’application des formules précédentes, qu’on demande la racine carrée de par une fraction continue.

Faisant on aura l’équation

donc (32)

47. Telle est donc la fraction continue qui exprime la valeur de mais, si l’on veut trouver les fractions convergentes vers cette valeur, on fera, dans les formules du , et comme doit être on fera successivement

On aura donc (formule A, )

on trouvera de même

Maintenant :

1 Soit on aura

2 Soit on aura

3 Soit donc

4 Soit donc

Donc, substituant ces valeurs dans les expressions de et du , et multipliant ensemble, pour plus de simplicité, les deux facteurs

au moyen desquelles on pourra trouver la valeur de chacune des fractions convergentes vers la racine de

Ainsi, faisant d’abord on aura les quatre premières fractions ; faisant ensuite on aura les quatre suivantes, et ainsi de suite ; et ces fractions seront

48. Si l’on voulait avoir, par exemple, le cinquantième terme de cette série, c’est-à-dire la fraction il n’y aurait qu’à diviser par ce qui donne de quotient et de reste, et l’on ferait de sorte qu’en développant la puissance douzième de et faisant, pour abréger,

49. Je vais terminer cette Remarque par une observation qui me paraît digne d’attention. Lorsque l’équation proposée a des diviseurs commensurables du premier degré, alors les fractions continues qui représenteront les racines de ces diviseurs seront nécessairement terminées ; et lorsque l’équation aura des diviseurs commensurables du second degré à racines réelles, alors les fractions continues qui exprimeront les racines de ces diviseurs seront nécessairement périodiques. Ainsi, la méthode des fractions continues a non-seulement l’avantage de donner toujours les valeurs rationnelles les plus approchantes qu’il est possible de la racine cherchée, mais elle a encore celui de donner tous les diviseurs commensurables du premier et du second degré que l’équation proposée peut renfermer. Il serait à souhaiter que l’on pût trouver aussi quelque caractère qui pût servira faire reconnaître les diviseurs commensurables du troisième, quatrième,… degré, lorsqu’il y en a dans l’équation proposée ; c’est du moins une recherche qui me paraît très-digne d’occuper les Géomètres.

Remarque III.

Généralisation de la théorie des fractions continues.

50. Nous avons supposé, dans le § III du Mémoire sur la résolution des équations numériques, que les nombres étaient les valeurs entières approchées des racines mais plus petites que ces racines ; c’est-à-dire que étaient les nombres entiers immédiatement plus petits que les valeurs de cependant il est clair que rien n’empêcherait qu’on ne prît pour les nombres entiers qui seraient immédiatement plus grands que les racines

51. Imaginons donc qu’on prenne pour le nombre entier qui est immédiatement plus grand que en sorte que et il est clair qu’il faudra faire, dans ce cas c’est-à-dire qu’il faudra prendre négativement, et, comme et on aura et et par conséquent comme dans le cas où l’on aurait pris ( du Mémoire cité). Ainsi l’on pourra prendre de nouveau pour le nombre entier qui serait immédiatement plus petit que ou celui qui serait immédiatement plus grand, et l’on fera, dans le premier cas, et, dans le second, et ainsi de suite.

De cette manière on aurait donc

52. J’observe maintenant que ces sortes de fractions qui procèdent ainsi par addition et par soustraction peuvent toujours facilement se changer en d’autres qui ne soient formées que par la simple addition.

En effet, supposons en général

donc

de sorte qu’on aura en général

Soit, par exemple, la fraction

et ainsi des autres fractions semblables. Il est bon de remarquer qu’il peut arriver que dans ces sortes de transformations quelqu’un des dénominateurs devienne nul, auquel cas la fraction deviendra plus simple.

En effet, supposons que la fraction à réduire soit

53. La formule que nous avons trouvée ci-dessus, et qu’on peut mettre sous cette forme

fait voir qu’une fraction continue dont tous les termes ont le signe peut quelquefois être simplifiée en y introduisant des signes c’est ce qui a lieu lorsqu’il y a des dénominateurs égaux à l’unité ; car soit, par exemple, la fraction

et ensuite

D’où il est facile de conclure en général que, si l’on a une fraction continue qui n’ait que des signes et où il y ait des dénominateurs égaux à l’unité, on pourra toujours la changer en une autre qui ait autant de termes de moins qu’il y aura de pareils dénominateurs, pourvu qu’ils ne se suivent pas immédiatement ; car, lorsqu’il y en aura deux de suite, on ne pourra faire disparaître qu’un seul terme ; lorsqu’il y en aura trois de suite, on pourra faire disparaître deux termes ; et en général, s’il y en a ou de suite, on ne pourra faire disparaître que ou termes.

54. Ainsi, la fraction continue qui exprime le rapport de la circonférence au diamètre étant, comme on sait,

55. Pour pouvoir comprendre sous une même forme générale les fractions continues où les signes sont tous positifs et celles où il y a des signes négatifs, il est bon de transformer ces dernières en sorte que les signes négatifs n’affectent que les dénominateurs, ce qui est très-facile ; car ayant, par exemple, la fraction

De cette manière, la forme générale des fractions continues dont nous venons de parler ci-dessus sera

Il faut cependant remarquer que, si quelqu’un des dénominateurs se trouve égal à l’unité prise positivement ou négativement, alors le dénominateur suivant devra être de même signe ; c’est ce qui suit de ce qu’un dénominateur positif et égal à l’unité ne saurait jamais être suivi du signe (51).

56. Il s’ensuit de là que la méthode d’approximation donnée dans le § III du Mémoire sur les équations numériques peut être généralisée en cette sorte :

Soit la racine cherchée ; on prendra d’abord pour la valeur entière approchée de c’est-à-dire qu’on fera égal à l’un des deux nombres entiers entre lesquels tombe la vraie valeur de et qu’on peut toujours trouver par la méthode du § I du Mémoire cité ; et l’on supposera ensuite

Si l’équation en avait plusieurs racines, on ferait sur les transformées en en des remarques analogues à celles du du Mémoire cité.

57. Avant donc

L’avantage de la méthode que nous proposons ici consiste en ce qu’on est libre de prendre pour les nombres les nombres entiers qui sont immédiatement plus grands ou plus petits que les racines ce qui pourra souvent donner lieu à des abrégés de calcul dont nous parlerons plus bas.

58. Au reste, si l’on voulait avoir d’abord la fraction continue la plus courte, et par conséquent la plus convergente qu’il fût possible, il faudrait prendre toujours les nombres plus petits que les racines tant que ces nombres seraient différents de l’unité ; mais dès qu’on en trouvera un égal à l’unité, alors il faudra augmenter le précédent d’une unité, c’est-à-dire qu’on le prendra plus grand que la racine correspondante : cela suit évidemment de ce que nous avons démontré sur ce sujet (53).

59. Maintenant si l’on fait, comme dans le du Mémoire cité,

60. Pour pouvoir juger de la nature de ces fractions, nous remarquerons :

1 Que l’on aura toujours

d’où l’on voit que les nombres n’auront aucun diviseur commun, et que par conséquent les fractions seront déjà réduites à leurs moindres termes ;

2 Que les nombres et pourront être positifs ou négatifs (lorsque la valeur de r est positive, les deux termes de chaque fraction seront de même signe, mais ils seront de signes différents lorsque la valeur de sera négative), et qu’abstraction faite de leurs signes ces nombres iront en augmentant ;

3 Que l’on aura, à cause de

61. Donc, en général, si sont trois termes consécutifs quelconques de la série et les termes correspondants de la série en sorte que soient trois fractions consecutives convergentes vers la valeur de on aura

Et si est la valeur entière approchée de soit plus grande ou plus petite que on aura

62. Cela posé, considérons la fraction et voyons de combien elle diffère de la vraie valeur de pour cela, nous aurons

63. D’où l’on voit que l’erreur ira toujours en diminuant d’une frac- tion à l’autre, à cause que les dénominateurs ou vont nécessairement en augmentant. On voit aussi, à cause de et que l’erreur sera toujours moindre que c’est-à-dire que l’erreur de chaque fraction sera moindre que l’unité divisée par le carré du dénominateur de cette fraction. D’où il est facile de conclure que la fraction approchera plus de la valeur de que ne pourrait faire aucune autre fraction quelconque qui serait conçue en termes plus simples ; car supposons que la fraction approche plus de que la fraction étant et comme la valeur de est contenue entre et ou entre et il faudra que la valeur de soit contenue aussi entre ces limites ; donc la différence entre et devra être mais cette différence est dont le numérateur ne peut jamais être moindre que l’unité, et dont le dénominateur sera nécessairement plus petit que à cause de donc, etc.