Théorie des fonctions analytiques

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INTRODUCTION.

PREMIÈRE PARTIE

EXPOSITION DE LA THÉORIE, AVEC SES PRINCIPAUX USAGES DANS L’ANALYSE.

Avertissement

Cette édition a plusieurs avantages sur la première, qui a paru en 1797 ; elle est plus correcte on a mis plus d’ordre dans les matières, et on les a divisées par Chapitres, ce qu’on n’avait pu faire d’abord, cet Ouvrage ayant été composé, comme d’un seul jet, à mesure qu’il s’imprimait ; enfin on y a fait différentes additions, dont les principales se trouvent dans le Chapitre XIV de la seconde Partie et dans le Chapitre V de la troisième.

On avait pensé à refondre dans la première Partie de ce Traité les Leçons sur le calcul des fonctions, qui servent de commentaire et de suite à cette Partie ; mais, comme elles forment un Ouvrage à part qui peut être lu séparément et indépendamment de la Théorie des fonctions, on s’est contenté de les citer dans tous les endroits sur lesquels elles peuvent offrir des éclaircissements et des développements utiles.

Introduction

On appelle fonction d’une ou de plusieurs quantités toute expression de calcul dans laquelle ces quantités entrent d’une manière quelconque, mêlées ou non avec d’autres quantités qu’on regarde comme ayant des valeurs données et invariables, tandis que les quantités de la fonction peuvent recevoir toutes les valeurs possibles. Ainsi, dans les fonctions, on ne considère que les quantités qu’on suppose variables, sans aucun égard aux constantes qui peuvent y être mêlées.

Le mot fonction a été employé par les premiers analystes pour désigner en général les puissances d’une même quantité. Depuis, on a étendu la signification de ce mot à toute quantité formée d’une manière quelconque d’une autre quantité. Leibnitz et les Bernoulli l’ont employé les premiers dans cette acception générale, et il est aujourd’hui généralement adopté.

Lorsqu’à la variable d’une fonction on attribue un accroissement quelconque, en ajoutant à cette variable une quantité indéterminée, on peut, par les règles ordinaires de l’Algèbre, si la fonction est algé- brique, la développer suivant les puissances de cette indéterminée. Le premier terme du développement sera la fonction proposée, qu’on appellera fonction primitive ; les termes suivants seront formés de différentes fonctions de la même variable, multipliées par les puissances successives de l’indéterminée. Ces nouvelles fonctions dépendront uniquement de la fonction primitive dont elles dérivent et pourront s’appeler fonctions dérivées. En général, quelle que soit la fonction primitive, algébrique ou non, elle peut toujours être développée ou censée développée de la même manière, et donner ainsi naissance à des fonctions dérivées. Les fonctions, considérées sous ce point de vue, constituent une Analyse d’un genre supérieur à l’Analyse ordinaire par sa généralité et ses nombreux usages, et l’on verra dans cet Ouvrage que l’Analyse qu’on appelle vulgairement transcendante ou infinitésimale n’est au fond que l’Analys des fonctions primitives et dérivées, et que les Calculs différentiel et intégral ne sont, à proprement parler, que le calcul de ces mêmes fonctions.

Les premiers géomètres qui ont employé le Calcul différentiel, Leibnitz, les Bernoulli, L’Hôpital, etc l’ont fondé sur la considération des quantités infiniment petites de différents ordres, et sur la supposition qu’on peut regarder et traiter comme égales les quantités qui ne diffèrent entre elles que par des quantités infiniment petites, à leur égard. Contents d’arriver par les procédés de ce Calcul, d’une manière prompte et sûre, à des résultats exacts, ils ne se sont point occupés d’en démontrer les principes. Ceux qui les ont suivis, Euler, d’Alembert, etc., ont cherché à suppléer à ce défaut en faisant voir, par des applications particulières, que les différences qu’on suppose infiniment petites doivent être absolument nulles et que leurs rapports, seules quantités qui entrent réellement dans le calcul, ne sont autre chose que les limites des rapports des différences finies ou indéfinies.

Mais il faut convenir que cette idée, quoique juste en elle-même, n’est pas assez claire pour servir de principe à une science dont la certitude doit être fondée sur l’évidence, et surtout pour être présentée aux commençants ; d’ailleurs, il me semble que, comme dans le Calcul différentiel, tel qu’on l’emploie, on considère et on calcule en effet les quantités infiniment petites ou supposées infiniment petites elles-mêmes, la véritable métaphysique de ce Calcul consiste en ce que l’erreur résultant de cette fausse supposition est redressée ou compensée par celle qui naît des procédés mêmes du calcul, suivant lesquels on ne retient dans la différentiation que les quantités infiniment petites du même ordre. Par exemple, en regardant une courbe comme un polygone d’un nombre infini de côtés chacun infiniment petit, et dont le prolongement est la tangente de la courbe, il est clair qu’on fait une supposition erronée ; mais l’erreur se trouve corrigée dans le calcul par l’omission qu’on y fait des quantités infiniment petites. C’est ce qu’on peut voir aisément dans des exemples, mais dont il serait peut-être difficile de donner une démonstration générale.

Newton, pour éviter la supposition des infiniment petits, a considéré les quantités mathématiques comme engendrées par le mouvement, et il a cherché une méthode pour déterminer directement les vitesses ou plutôt le rapport des vitesses variables avec lesquelles ces quantités sont produites ; c’est ce qu’on appelle, d’après lui, la Méthode des fluxions ou le Calcul fluxionnel, parce qu’il a nommé ces vitesses fluxions des quantités. Cette Méthode ou ce Calcul s’accorde, pour le fond et pour les opérations, avec le Calcul différentiel, et n’en différe que par la Métaphysique, qui paraît en effet plus claire, parce que tout le monde a ou croit avoir une idée de la vitesse. Mais, d’un côté, introduire le mouvement dans un calcul qui n’a que des quantités algébriques pour objet, c’est y introduire une idée étrangère et qui oblige à regarder ces quantités comme des lignes parcourues par un Mobile de l’autre, il faut avouer qu’on n’a pas même une idée bien nette de ce que c’est que la vitesse d’un point à chaque instant lorsque cette vitesse est variable, et l’on peut voir, par le savant Traité des fluxions de Maclaurin, combien il est difficile de démontrer rigoureusement la Méthode des fluxions et combien d’artifices particuliers il faut employer pour démontrer les différentes parties de cette Méthode.

Aussi Newton lui-même, dans son Livre des Principes, a préféré, comme plus courte, la Méthode des dernières raisons des quantités évanouissantes, et c’est aux principes de cette Méthode que se réduisent en dernière analyse les démonstrations relatives à celle des fluxions. Mais cette Méthode a, comme celle des limites dont nous avons parlé plus haut, et qui n’en est proprement que la traduction algébrique, le grand inconvénient de considérer les quantités dans l’état où elles cessent, pour ainsi dire, d’être quantités, car, quoiqu’on conçoive toujours bien le rapport de deux quantités tant qu’elles demeurent finies, ce rapport n’offre plus à l’esprit une idée claire et précise aussitôt que ses termes deviennent l’un et l’autre nuls à la fois.

C’est pour prévenir ces difficultés qu’un habile géomètre anglais, qui a fait dans l’Analyse des découvertes importantes, a proposé dans ces derniers temps de substituer à la Méthode des fluxions, jusqu’alors suivie scrupuleusement par tous les géomètres anglais, une autre Méthode purement analytique, et analogue à la Méthode différentielle, mais dans laquelle, au lieu de n’employer que les différences infiniment petites ou nulles des quantités variables, on emploie d’abord des valeurs différentes de ces quantités, qu’on égale ensuite, après avoir fait disparaître par la division le facteur que cette égalité rendrait nul. Par ce moyen, on évitez-la vérité les infiniment petits et les quantités évanouissantes ; mais les procédés et les applications du calcul sont embarrassants et peu naturels, et l’on doit convenir que cette manière de rendre le Calcul différentiel plus rigoureux dans ses principes lui fait perdre ses principaux avantages, la simplicité de la méthode et la facilité des opérations. (Voir l’Ouvrage intitulé The residual Analysis a new branch of the algebric art, by John Landen, London, 1764, ainsi que le Discours publié par le même Auteur, en 1758, sur le même objet.)

Ces variations dans la manière d’établir et de présenter les principes du Calcul différentiel, et même dans la dénomination de ce Calcul, montrent, ce me semble, qu’on n’en avait pas saisi la véritable théorie, quoiqu’on eût trouvé d’abord les règles les plus simples et les plus commodes pour le mécani\sine des opérations.

On trouvera de nouvelles considération sur cet objet dans la première Leçon sur le Calcul des fonctions.

Dans un Mémoire imprimé parmi ceux de l’Académie de Berlin, de 1772, et dont l’objet était l’analogie entre les différentielles et les puissances positives et entre les intéérrales et les puissances négatives, j’avançai que la théorie du développement des fonctions en série contenait les vrais principes du Calcul différentiel, dégagés de toute considération d’infiniment petits ou de limites, et je démontrai par cette théorie le théorème de Taylor, qui est le fondement de la méthode des séries, et qu’on n’avait encore démontré que par le secours de ce Calcul ou par la considération des différences infiniment petites.

Depuis, Arbogast a présenté à l’Académie des Sciences un Mémoire où la même idée est exposée avec des développements et des applications qui lui appartiennent. Mais, l’Auteur n’ayant encore rien publié sur ce sujet, et m’étant trouvé engagé par des circonstances particulières à développer les principes généraux de l’Analyse, j’ai rappelé mes anciennes idées sur ceux du Calcul différentiel, et j’ai fait de nouvelles réflexions tendant à les confirmer et à les généraliser ; c’est ce qui a occasionné cet écrit, que je ne me détermine à publier que par la considération de l’utilité dont il peut être à ceux qui étudient cette branche importante de l’Analyse.

Il peut, au reste, paraître surprenant que cette manière d’envisager le Calcul différentiel ne se soit pas offerte plus tôt aux géomètres, et surtout qu’elle ait échappé à Newton, inventeur de la Méthode des séries et de celle des fluxions. Mais nous observerons à cet égard qu’en effet Newton n’avait d’abord employé que la simple considération des séries pour résoudre le problème troisième du second Livre des Principes, dans lequel il cherche la loi de la résistance nécessaire pour qu’un corps pesant décrive librement une courbe donnée, problème qui dépend naturellement du Calcul différentiel ou fluxionnel. On sait que Jean Bernoulli trouva cette solution fausse en la comparant avec celle qui résulte du Calcul différentiel, et son neveu, Nicolas, prétendit que l’erreur venait de ce que Newton avait pris le troisième terme de la série convergente, dans laquelle il réduisait l’ordonnée de la courbe donnée, pour la différentielle seconde de cette ordonnée, et le quatrième pour la différentielle troisième, au lieu que, suivant les règles du Calcul différentiel, ces termes ne sont, l’un que la moitié, l’autre que la sixième partie des mêmes différentielles. (Voir les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1711 et le Tome I des Œuvres de Jean Bernoulli.) Newton, sans répondre, abandonna entièrement sa première Méthode et donna, dans la seconde édition des Principes, une solution différente du même problème, fondée sur la méthode même du Calcul différentiel. Depuis, on n’a plus parlé de l’application de la Méthode des séries à ce genre de problèmes que pour avertir de la méprise dans laquelle Newton était tombé et faire sentir la nécessité d’avoir égard à l’observation de Nicolas Bernoulli. (Voir l’Encyclopédie, aux articles Différentiel, Force.) Mais nous ferons voir que cette méprise ne vient point du fond de la méthode, mais simplement de ce que Newton n’a pas tenu compte de tous les termes auxquels il fallait avoir égard, et nous rectifierons de cette manière sa première solution, dont aucun des commentateurs des Principes n’a fait mention.

L’objet de cet Ouvrage est de donner la théorie des fonctions, considérées comme primitives et dérivées, de résoudre par cette théorie les principaux problèmes d’Analyse ; de Géométrie et de Mécanique, qu’on fait dépendre du Calcul différentiel, et de donner par là à la solution de ces problèmes toute la rigueur des démonstrations des Anciens.

Chapitre 01

1. Nous désignerons en général par la caractéristique ou placée devant une variable, toute fonction de cette variable, c’est-à-dire toute quantité dépendante de cette variable et qui varie avec elle suivant une loi donnée. Ainsi ou désignera une fonction de la variable désigneront des fonctions de de

Pour marquer une fonction de deux variables indépendantes, comme de nous écrirons et ainsi des autres.

Lorsque nous voudrons employer d’autres caractéristiques pour marquer les fonctions, nous aurons soin d’en avertir.

Considérons donc une fonction d’une variable quelconque . Si à la place de on y met étant une quantité quelconque indéterminée, elle deviendra et, par la théorie des séries, on pourra la développer en une série de cette forme

seront de nouvelles fonctions de dérivées de la fonction primitive et indépendantes de l’indéterminée .

2. Mais, pour ne rien avancer gratuitement, nous commenceronspar examiner la forme même de la série qui doit représenter le développement de toute fonction lorsqu’on y substitue à la place de et que nous avons supposée ne devoir contenir que des puissances entières et positives de .

Cette supposition se vérifie en effet par le développement des différentes fonctions connues ; mais personne, que je sache, n’a cherché à la démontrer a priori, ce qui me paraît néanmoins d’autant plus nécessaire, qu’il y a des cas particuliers où elle ne peut pas avoir lieu. D’ailleurs, le Calcul différentiel porte expressément sur cette même supposition, et les cas qui font exception sont précisément ceux où ce Calcul a été accusé d’être en défaut.

Je vais d’abord démontrer que, dans la série résultante du développement de la fonction il ne peut se trouver aucune puissance fractionnaire de à moins qu’on ne donne à des valeurs particulières.

En effet, il est clair que les radicaux de ne pourraient venir que des radicaux renfermés dans la fonction primitive et il est clair en même temps que la substitution de au lieu de ne pourrait ni augmenter ni diminuer le nombre de ces radicaux, ni en changer la nature, tant que et sont des quantités indéterminées. D’un autre côté, on sait par la théorie des équations que tout radical a autant de valeurs différentes qu’il y a d’unités dans son exposant, et que toute fonction irrationnelle par conséquent, autant de valeurs différentes qu’on peut faire de combinaisons des différentes valeurs des radicaux qu’elle renferme. Donc, si le développement de la fonction pouvait contenir un terme de la forme la fonction serait nécessairement irrationnelle et aurait par conséquent un certain nombre de valeurs différentes, qui serait le même pour la fonction ainsi que pour son développement. Mais, ce développement étant re- présenté par la série

Cette démonstration est générale et rigoureuse tant que et demeurent indéterminés ; mais elle cesserait de l’être si l’on donnait à des valeurs déterminées, car il serait possible que ces valeurs détruisissent quelques radicaux dans qui pourraient néanmoins subsister dans Nous examinerons plus bas (Chap. V) ces cas particuliers et les conséquences qui en résultent.

Nous venons de voir que le développement de la fonction ne saurait contenir, en général, des puissances fractionnaires de il est facile de s’assurer aussi qu’il ne pourra contenir non plus des puissances négatives de .

Car, si parmi les termes de ce développement, il y en avait un de la forme étant un nombre entier positif, en faisant ce terme deviendrait infini ; donc la fonction devrait devenir infinie lorsque par conséquent, il faudrait que devînt infinie, ce qui ne peut avoir lieu que pour des valeurs particulières de .

3. Nous étant ainsi assurés de la forme générale du développement de la fonction voyons plus particulièrement en quoi ce développement consiste et ce que signifie chacun de ses termes.

On voit d’abord que, si l’on cherche dans cette fonction ce qui est indépendant de la quantité il n’y a qu’à faire ce qui la réduit à . Ainsi est la partie de qui reste lorsque la quantité devient nulle, de sorte que sera égale à plus à une quantité qui doit disparaître en faisant et qui sera par conséquent ou pourra être censée multipliée par une puissance positive de et, comme nous venons de démontrer que dans le développement de il ne peut entrer aucune puissance fractionnaire de il s’ensuit que la quantité dont il s’agit ne pourra être multipliée que par une puissance positive et entière de elle sera donc de la forme étant une fonction de et qui ne deviendra point infinie lorsque

On aura donc ainsi

Or, étant une nouvelle fonction de et on pourra de même en séparer ce qui est indépendant de et qui, par conséquent, ne s’évanouit pas lorsque devient nul. Soit donc ce que devient lorsqu’on fait sera une fonction de sans et, par un raisonnement semblable au précédent, on prouvera que étant la partie de qui devient nulle lorsque et étant une nouvelle fonction de et qui ne devient pas infinie lorsque

On aura donc et par conséquent divisible par la division faite, on aura

On aura, par ce procédé,

4. Soit, par exemple, on aura

Prenons encore pour exemple la fonction irrationnelle On aura donc

De sorte qu’on aura, de cette manière,

5. Il serait difficile d’exécuter ces opérations sur des fonctions irrationnelles plus compliquées ; mais, en faisant disparaître les irrationnalités par rapport à la quantité l’application de la méthode n’aura plus de difficulté.

Ainsi, en reprenant l’exemple précédent, on partira de l’équation

d’où l’on tire

On peut, à la vérité, trouver les valeurs de d’une manière plus expéditive en faisant tout de suite l’équation

et de là

6. Mais le principal avantage de la méthode que nous avons exposée consiste en ce qu’elle fait voir comment les fonctions résultent de la fonction principale et surtout en ce qu’elle prouve que les restes sont des quantités qui doivent devenir nulles lorsque d’où l’on tire cette conséquence importante que, dans la série

Car, puisque les restes sont des fonctions de qui deviennent nulles, par la nature même du développement, lorsque il s’ensuit que, en considérant la courbe dont serait l’abscisse et l’une dè ces fonctions l’ordonnée, cette courbe coupera l’axe à l’origine des abscisses, et, à moins que ce point ne soit un point singulier, ce qui ne peut avoir lieu que pour des valeurs particulières de comme il est facile de s’en convaincre avec un peu de réflexion et par un raisonnement analogue à celui du , le cours de la courbe sera nécessairement continu depuis ce point ; donc elle s’approchera peu à peu de l’axe avant de le couper et s’en approchera, par conséquent, d’une quantité moindre qu’aucune quantité donnée, de sorte qu’on pourra toujours trouver une abscisse correspondant à une ordonnée moindre qu’une quantité donnée, et alors toute valeur plus petite de répondra aussi à des ordonnées moindres que la quantité donnée.

On pourra donc prendre assez petit, sans être nul, pour que soit moindre que ou pour que soit moindre que ou pour que soit moindre que et ainsi des autres, et par conséquent pour que soit moindre que ou que soit moindre que etc. ; donc, puisque ()

On doit regarder ce théorème comme un des principes fondamentaux de la théorie que nous nous proposons de développer ; on le suppose tacitement dans le Calcul différentiel et dans celui des fluxions, et c’est par cet endroit qu’on peut dire que ces calculs donnent le plus de prise sur eux, surtout dans leur application aux problèmes géométriques et mécaniques. Les doutes qui pourraient rester sur la démonstration de ce théorème, parce que le procédé que nous avons employé pour trouver les restes n’est applicable qu’aux fonctions algébriques, seront levés dans le , où nous donnerons l’expression générale de ces restes et la manière d’en déterminer les limites.

7. Il faut remarquer, au reste, que la méthode que nous venons de donner pour trouver successivement les termes de la série qui représente une fonction de développée suivant les puissances de ne peut s’appliquer, en général, au développement d’une fonction de et de qu’autant que cette fonction est susceptible d’être réduite en une série qui procède suivant les puissances positives et entières de car le raisonnement du , par lequel nous avons prouvé que toute fonction de est, généralement parlant, susceptible de cette forme ne pourrait pas s’appliquer à une fonction quelconque de et Mais, dans les cas où cette réduction est possible, on pourra toujours appliquer à la série résultante du développement suivant les puissances ascendantes de la conséquence que nous en avons tirée dans le numéro précédent, savoir, que la quantité pourra être prise assez petite pour qu’un terme quelconque de la série soit plus grand que tous ceux qui le suivent, pris ensemble.

Chapitre 02

Fonctions dérivées ; leur notation et leur algorithme.

8. Nous avons vu que le développement de donne naissance à différentes autres fonctions toutes dérivées de la fonction principale et nous avons donné la manière de trouver ces fonctions dans des cas particuliers. Mais, pour établir une théorie sur ces sortes de fonctions, il faut rechercher la loi générale de leur dérivation.

Pour cela, reprenons la formule générale

La première substitution donnera

Pour faire l’autre substitution, soient ce que deviennent les fonctions en y mettant pour et ne considérant dans le développement que les termes qui contiennent la première puissance de il est clair que la même formule deviendra

Maintenant, de même que est la première fonction dérivée de il est clair que est la première fonction dérivée de que est la première fonction dérivée de la première fonction dérivée de et ainsi de suite. Donc, si, pour plus de simplicité et d’uniformité, on dénote par la première fonction dérivée de par la première fonction dérivée de par la première fonction dérivée de et ainsi de suite, on aura

Donc, substituant ces valeurs dans le développement de la fonction on aura

Cette nouvelle expression a l’avantage de faire voir comment les termes de la série dépendent les uns des autres, et surtout comment, lorsqu’on sait former la première fonction dérivée d’une fonction primitive quelconque, on peut former toutes les fonctions dérivées que la série renferme.

9. Nous appellerons la fonction fonction primitive par rapport aux fonctions qui en dérivent, et nous appellerons celles-ci fonctions dérivées par rapport à celle-là. Nous nommerons de plus la première fonction dérivée fonction prime, la seconde fonction dérivée fonction seconde, la troisième fonction dérivée fonction tierce, et ainsi de suite.

De la même manière, si est supposée une fonction de nous dénoterons ses fonctions dérivées par de sorte que, étant une fonction primitive, sera sa fonction prime, en sera la fonction seconde, la fonction tierce, et ainsi de suite.

De sorte que, devenant deviendra

Ainsi, pourvu qu’on ait un moyen d’avoir la fonction prime d’une fonction primitive quelconque, on aura, par la simple répétition des mêmes opérations, toutes les fonctions dérivées, et par conséquent tous les termes de la série qui résulte du développement de la fonction primitive.

Au reste, pour peu qu’on connaisse le Calcul différentiel, on doit voir que les fonctions dérivées relatives à coïncident avec les expression

Chapitre 03

10. Puisque tout se réduit à trouver la première fonction dérivée d’une fonction donnée, nous allons donner des règles générales pour la formation des fonctions dérivées des principales quantités qu’on emploie dans l’Analyse.

Par ce que nous venons de démontrer, on voit que la fonction dérivée d’une fonction donnée de la variable n’est autre chose que le coefficient de dans le premier terme du développement de cette fonction, après la substitution de à la place de Ainsi il ne s’agit que de-trouver ce premier coefficient.

Soit donc d’abord on aura

de sorte qu’on aura, par la formule générale du ,

11. Soit en second lieu on aura

Soit, pour cela, alors

Donc, faisant pour abréger

On tirera de là, par la même opération répétée,

Divisant par et changeant en on aura la série connue

12. Si dans cette formule on fait on aura

Donc, si on aura et par conséquent

Or, dans l’équation est ce qu’on appelle le logarithme de étant la base du système logarithmique, c’est-à-dire le nombre dont le logarithme est l’unité, de sorte que cette équation donne pour la base Par la même raison, l’équation donnera pour la base et pour la base .

Dans le système des logarithmes ordinaires, la base a a été prise égale à parce que ces logarithmes sont plus commodes pour le calcul arithmétique ; mais dans l’Analyse on préfère, comme plus simple, le système dont la base est le nombre c’est le système des logarithmes de Neper, qu’on nomme communément logarithmes hyperboliques, parce qu’ils sont représentés par l’aire de l’hyperbole équilatère entre ses asymptotes, et on les désigne par la simple caractéristique Ainsi on a par conséquent, la fonction prime de la fonction est exprimée par (numéro précédent).

Au reste, comme on aura et par conséquent moyennant quoi on peut réduire toutes les exponentielles à la même base .

13. Soit donc, en troisième lieu, on aura, par la nature des logarithmes, Or, devenant devient

(numéro précédent).

se détruire d’eux-mêmes et former autant d’équations à part. On aura donc ainsi

Donc, étant égal à on aura, en général,

14. Lés sinus et cosinus d’angles considérés analytiquementne sont que des expressions composées d’exponentielles imaginaires ; ainsi, on peut déduire leurs fonctions dérivées de celles de ces exponentielles.

Soit donc, en quatrième lieu, comme on a

on fera

En effet, puisque a donné et que a donné on aura, pour

15. Les fonctions que nous venons de considérer doivent être regardées comme les fonctions simples analytiques d’une seule variable. Toutes les autres fonctions de la même variable se composent de celles-là par addition, soustraction, multiplication ou division, ou sont données en général par des équations dans lesquelles entrent des fonctions de ces mêmes formes. Ainsi, connaissant les fonctions primes des fonctions simples que nous venons d’examiner, on trouvera aisément les fonctions primes des fonctions composées, et, par les mêmes opérations répétées, on aura successivement les fonctions secondes, tierces, etc.

Soient des fonctions simples de dont soient les fonctions primes connues par les règles précédentes, et qu’on demande la fonction prime d’une fonction composée de on considérera que, devenant devient en général (). Or deviennent en même temps et ainsi des autres. Il n’y aura donc qu’à substituer ces valeurs dans l’expression de développer les termes suivant les puissances de et le coefficient de sera la valeur cherchée de

Ainsi, si étant des coefficients constants quelconques, on aura sur-le-champ

Si la quantité deviendra

Si on trouvera de la même manière

Si la quantité deviendra

Développant le dénominateur en série par les règles connues, on aura

16. Soit, en général, en regardant comme une fonction primitive de sa fonction prime sera en sorte que, devenant (j’emploie ici la quantité indéterminée à la place de la quantité indéterminée qui désignera toujours l’augmentation indéterminée de ), deviendra ()

Supposons maintenant que soit une fonction de et de que nous désignerons par il s’agit donc de substituer à la place de dans les deux fonctions et Or il est visible que l’on doit avoir le même résultat, soit qu’on fasse ces deux substitutions à la fois ou successivement, puisque les quantités et sont regardées comme indépendantes.

En substituant d’abord à la place de dans la fonction la fonction regardée seulement comme fonction de devient

Si était une fonction de représentée par on trouverait de la même manière

D’où il est aisé de tirer cette conclusion générale, que la fonction prime d’une fonction composée de différentes fonctions particulières sera la somme des fonctions primes relatives à chacune de ces mêmes fonctions, considérées séparément et indépendamment l’une de l’autre.

Ce principe, combiné avec le précédent, suffira pour trouver les fonctions primes de toutes sortes de fonctions, ainsi que les autres fonctions dérivées des ordres supérieurs.

Ainsi, en supposant une fonction quelconque de les fonctions primes de

17. Mais la fonction pourrait n’être donnée que par une équation quelconque entre et

Représentons cette équation, en général, par on aura, par la résolution, égal à une certaine fonction de qu’on pourra désigner par de sorte que, en substituant pour dans la fonction elle deviendra fonction de seul que nous désignerons par Cette fonction devra donc être nulle quelle que soit la valeur de . Donc elle le sera aussi en mettant pour quelle que soit la valeur de . Mais, par cette substitution, devient

Or, puisque sera la fonction prime de étant regardée comme fonction de et, par le principe établi dans le numéro précédent, cette fonction prime sera exprimée par en désignant par et les fonctions primes de la fonction prises relativement à seul et à seul.

Donc l’équation donnera

Il résulte de l’analyse précédente ce principe :

Lorsqu’on a une équation quelconque entre deux variables l’équation subsistera encore entre les fonctions primes de tous ses termes, ainsi qu’entre leurs fonctions secondes, etc. Nous appellerons ces nouvelles équations équations dérivées, et en particulier équations primes, équations secondes, etc., celles qu’on obtient en prenant les fonctions primes, secondes, etc.

Si l’équation ne contenait qu’une seule variable qui dût demeurer indéterminée, ce qui a lieu dans les équations identiques, le même principe subsisterait, et l’on aurait également une équation prime, une équation seconde, etc., qui seraient aussi identiques.

Les Leçons III, IV, V, VI et VII sur le Calcul des fonctions renferment un commentaire sur les principaux points que nous venons de traiter dans ce Chapitre ; on y trouvera des développements utiles et importants et des applications nouvelles.

Chapitre 04

18. Les séries qui représentent les quantités exponentielles et logarithmiques, ainsi que les sinus et les cosinus, ont été trouvées d’abord par le Calcul différentiel. Halley est, je crois, le premier qui ait imaginé de déduire celles des exponentielles et des logarithmes de la formule de Newton pour les puissances du binôme (Transactions philosophiques, ), en employant la considération de l’infini ou de l’infiniment petit. Cette méthode a été suivie par Euler et étendue aux sinus et cosinus dans les et VIII du premier Tome de son Introductio in Analysin, etc. Mais, quoiqu’elle puisse être admise en Analyse, on ne saurait disconvenir qu’elle n’a pas l’évidence ni même la rigueur qu’on doit désirer dans les éléments d’une science, et nous croyons qu’on nous saura gré de nous écarter ici un moment de notre marche pour donner une démonstration des mêmes formules, fondée aussi uniquement sur celle du binôme, mais dégagée de toute considération de l’infini. Nous donnerons même à ces formules une généralisation qui servira à rendre les séries aussi convergentes qu’on voudra dans tous les cas.