Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés

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NOTES SUR LA THÉORIE DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES.

Introduction

La solution de tout problème déterminé se réduit, en dernière analyse, à la résolution d’une ou de plusieurs équations, dont les coefficients sont donnés en nombres, et qu’on peut appeler équations numériques. Il est donc important d’avoir des méthodes pour résoudre complètement ces équations, de quelque degré qu’elles soient. Celle que l’on trouve dans le Recueil des Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1767, est la seule qui offre des moyens directs et sûrs de découvrir toutes les racines tant réelles qu’imaginaires d’une équation numérique donnée, et d’approcher le plus rapidement et aussi près que l’on veut de chacune de ces racines. On a réuni dans le présent Traité le Mémoire qui contient cette méthode et les Additions qui ont paru dans le volume des Mémoires de la même Académie, pour l’année 1768. Et pour rendre ce Traité plus intéressant, on y a joint plusieurs Notes, dont les deux dernières paraissent pour la première fois dans cette nouvelle édition. Ces Notes contiennent des recherches sur les principaux points de la théorie des équations algébriques.

Il faut bien distinguer la résolution des équations numériques de ce qu’on appelle en Algèbre la résolution générale des équations. La première est, à proprement parler, une opération arithmétique, fondée à la vérité sur les principes généraux de la théorie des équations, mais dont les résultats ne sont que des nombres, où l’on ne reconnaît plus les premiers nombres qui ont servi d’éléments, et qui ne conservent aucune trace des différentes opérations particulières qui les ont produits. L’extraction des racines carrées et cubiques est l’opération la plus simple de ce genre ; c’est la résolution des équations numériques du second et du troisième degré, dans lesquelles tous les termes intermédiaires manquent. Aussi conviendrait-il de donner dans l’Arithmétique les règles de la résolution des équations numériques, sauf à renvoyer à l’Algèbre la démonstration de celles qui dépendent de la théorie générale des équations.

Newton a appelé l’Algèbre Arithmétique universelle. Cette dénomination est exacte à quelques égards ; mais elle ne fait pas assez connaître la véritable différence qui se trouve entre l’Arithmétique et l’Algèbre. Le caractère essentiel de celle-ci consiste en ce que les résultats de ses opérations ne donnent pas les valeurs individuelles des quantités qu’on cherche, comme ceux des opérations arithmétiques ou des constructions géométriques, mais représentent seulement les opérations, soit arithmétiques ou géométriques, qu’il faudra faire sur les premières quantités données pour obtenir les valeurs cherchées ; je dis arithmétiques ou géométriques, car on connaît depuis Viète les constructions géométriques par lesquelles on peut faire sur les lignes les mêmes opérations que l’on fait en Arithmétique sur les nombres.

L’Algèbre plane pour ainsi dire également sur l’Arithmétique et la Géométrie ; son objet n’est pas de trouver les valeurs mêmes des quantités cherchées, mais le système d’opérations à faire sur les quantités données pour en déduire les valeurs des quantités qu’on cherche, d’après les conditions du problème. Le tableau de ces opérations représentées par les caractères algébriques est ce qu’on nomme en Algèbre une formule ; et lorsqu’une quantité dépend d’autres quantités, de manière qu’elle peut être exprimée par une formule qui contient ces quantités, on dit alors qu’elle est une fonction de ces mêmes quantités.

L’Algèbre, prise dans le sens le plus étendu, est l’art de déterminer les inconnues par des fonctions des quantités connues, ou qu’on regarde comme connues et la résolution générale des équations consiste à trouver, pour toutes les équations d’un même degré, les fonctions des coefficients de ces équations qui peuvent en représenter toutes les racines.

On n’a pu jusqu’à présent trouver ces fonctions que pour les équations du second, du troisième et du quatrième degré ; mais, quoique ces fonctions expriment généralement toutes les racines des équations de ces mêmes degrés, elles se présentent néanmoins, dès le troisième degré, sous une forme telle qu’il est impossible d’en tirer les valeurs numériques des racines par la simple substitution de celles des coefficients, dans les cas mêmes où toutes les racines sont essentiellement réelles ; c’est cette difficulté que les analystes désignent sous le nom de cas irréductible ; elle aurait lieu à plus forte raison dans les équations des degrés supérieurs, s’il était possible de les résoudre par des formules générales.

Heureusement, on a trouvé le moyen de la vaincre dans le troisième et le quatrième degré, par la considération de la trisection des angles et par le secours des Tables trigonométriques ; mais ce moyen, qui dépend de la division des angles, n’est applicable dans les degrés plus élevés qu’à une classe d’équations très-limitée ; et l’on peut assurer d’avance que, quand même on parviendrait à résoudre généralement le cinquième degré et les suivants, on n’aurait par là que des formules algébriques, précieuses en elles-mêmes, mais très-peu utiles pour la résolution effective et numérique des équations des mêmes degrés, et qui, par conséquent, ne dispenseraient pas d’avoir recours aux méthodes arithmétiques qui sont l’objet de ce Traité.

Viète est le premier qui se soit occupé de la résolution des équations numériques d’un degré quelconque. Il a fait voir, dans le Traité De numerosa potestatum adfectarum resolutione, comment on peut résoudre plusieurs équations de ce genre par des opérations analogues à celles qui servent à extraire les racines des nombres.

Harriot, Oughtred, Pell, etc., ont cherché à faciliter la pratique de cette méthode, en donnant des règles particulières pour diminuer les tâtonnements, suivant les différents cas qui ont lieu dans les équations relativement aux signes de leurs termes. Mais la multitude des opérations qu’elle demande et l’incertitude du succès dans un grand nombre de cas l’ont fait abandonner entièrement.

En effet, il est aisé de se convaincre qu’elle ne peut réussir d’une manière certaine que pour les équations dont tous les termes ont le même signe, à l’exception du dernier tout connu ; car alors, ce terme devant être égal à la somme de tous les autres, on peut, par des tâtonnements limités et réglés, trouver successivement tous les chiffres de la valeur de l’inconnue, jusqu’au degré de précision qu’on aura fixé. Dans tous les autres cas, les tâtonnements deviendront plus ou moins incertains, à cause des termes soustractifs.

Il faudrait donc, pour l’emploi de cette méthode, qu’on pût, par une préparation préliminaire, réduire toutes les équations à cette forme. Nous prouverons, dans une des Notes, que cette réduction est toujours possible, pourvu qu’on ait deux limites d’une racine, l’une en plus, l’autre en moins, et qui soient telles que toutes les autres racines, ainsi que les parties réelles des racines imaginaires, s’il y en a, tombent hors de ces limites. Mais la difficulté de trouver ces limites est elle-même aussi grande, et peut-être quelquefois plus grande que celle de résoudre l’équation.

À la méthode de Viète a succédé celle de Newton, qui n’est proprement qu’une méthode d’approximation, puisqu’elle suppose que l’on ait déjà la valeur de la racine qu’on cherche, à une quantité près moindre que sa dixième partie ; alors on substitue cette valeur plus une nouvelle inconnue à l’inconnue de l’équation proposée, et l’on a une seconde équation dont la racine est ce qui reste à ajouter à la première valeur pour avoir la valeur exacte de la racine cherchée ; mais, à cause de la petitesse supposée de ce reste, on néglige dans la nouvelle équation le carré et les puissances plus hautes de l’inconnue ; et l’équation étant ainsi rabaissée au premier degré, on a sur-le-champ la valeur de l’inconnue. Cette valeur ne sera encore qu’approchée ; mais on pourra s’en servir pour en trouver une autre plus exacte, en faisant sur la seconde équation la même opération que sur la première, et ainsi de suite. De cette manière, on trouve à chaque opération une nouvelle quantité à ajouter ou à retrancher de la valeur déjà trouvée, et l’on a la racine d’autant plus exacte qu’on pousse le caleul plus loin.

Telle est la méthode que l’on emploie communément pour résoudre les équations numériques ; mais elle ne sert, comme l’on voit, que pour celles qui sont déjà à peu près résolues. De plus, elle n’est pas toujours sûre ; car, en négligeant à chaque opération des termes dont on ne connaît pas la valeur, il est impossible de juger du degré d’exactitude de chaque nouvelle correction, et il peut arriver, dans les équations qui ont des racines presque égales, que la série soit très-peu convergente, ou qu’elle devienne même divergente après avoir été convergente. Enfin, elle a encore l’inconvénient de ne donner que des valeurs approchées des racines mêmes qui peuvent être exprimées exactement en nombres, et de laisser, par conséquent, en doute si elles sont commensurables ou non.

Le problème qu’on doit se proposer dans cette partie de l’Analyse est celui-ci : Étant donnée une équation numérique sans aucune notion préalable de la grandeur ni de l’espèce de ses racines, trouver la valeur numérique exacte, s’il est possible, ou aussi approchée qu’on voudra de chacune de ses racines. Ce problème n’avait pas encore été résolu ; il fait l’objet des recherches suivantes.

Depuis la première édition de cet Ouvrage, il a paru différentes méthodes pour la résolution des équations numériques ; mais la solution rigoureuse du problème dont il s’agit est restée au même point où je l’avais portée, et jusqu’ici on n’a rien trouvé qui puisse dispenser, dans tous les cas, de la recherche d’une limite moindre que la plus petite différence entre les racines, ou qui soit préférable aux moyens donnés dans la Note IV pour faciliter cette recherche.

Chapitre 1

TRAITÉ

DE LA

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

DE TOUS LES DEGRÉS.

1. Théorème I. — Si l’on a une équation quelconque, et que l’on connaisse deux nombres tels qu’étant substitués successivement à la place de l’inconnue de cette équation, ils donnent des résultats de signes contraires, l’équation aura nécessairement au moins une racine réelle dont la valeur sera entre ces deux nombres.

Ce théorème est connu depuis longtemps, et l’on a coutume de le démontrer par la théorie des lignes courbes ; mais on peut aussi le démontrer directement par la théorie des équations, en cette sorte. Soient l’inconnue de l’équation, et ses racines ; l’équation se réduira, comme l’on sait, à cette forme

2. Corollaire I. — Donc, si les nombres et ne diffèrent l’un de l’autre que de l’unité ou d’une quantité moindre que l’unité, le plus petit de ces nombres, s’il est entier, ou le nombre entier qui sera immédiatement moindre que le plus petit de ces deux nombres, s’il n’est pas entier, sera la valeur entière la plus approchée d’une des racines de l’équation. Si la différence entre et est plus grande que l’unité, alors, nommant les nombres entiers qui tombent entre et il est clair que, si l’on substitue successivement, à la place de l’inconnue, les nombres on trouvera nécessairement deux substitutions consécutives qui donneront des résultats de signes différents ; donc, puisque les nombres qui donneront ces deux résultats ne diffèrent entre eux que de l’unité, on trouvera, comme ci-dessus, la valeur entière la plus approchée d’une des racines de l’équation.

3. Corollaire II. — Toute équation dont le dernier terme est négatif, en supposant le premier positif, a nécessairement une racine réelle positive, dont on pourra trouver la valeur entière la plus approchée en substituant, à la place de l’inconnue, les nombres jusqu’à ce que l’on rencontre deux substitutions qui donnent des résultats de signes contraires.

Car, en supposant le premier terme et le dernier ( étant un nombre positif), on aura, en faisant le résultat négatif et en faisant le résultat positif donc on aura ici et donc les nombres entiers intermédiaires seront tous les nombres naturels donc, etc. (corollaire précédent).

De là on voit :

1 Que toute équation d’un degré impair, dont le dernier terme est négatif, a nécessairement une racine réelle positive ;

2 Que toute équation d’un degré impair, dont-le dernier terme est positif, a nécessairement une racine réelle négative ; car, en changeant en le premier terme de l’équation deviendra négatif donc, changeant tous les signes pour rendre de nouveau le premier terme positif, le dernier deviendra négatif ; donc l’équation aura alors une racine réelle positive ; par conséquent, l’équation primitive aura une racine réelle négative ;

3 Que toute équation d’un degré pair, dont le dernier terme est négatif, a nécessairement deux racines réelles, l’une positive et l’autre négative ; car, premièrement, elle aura une racine réelle positive ensuite, comme, en changeant en le premier terme demeure positif, la transformée aura aussi une racine réelle positive donc l’équation primitive en aura une réelle et négative.

4. Remarque. — Comme on peut toujours changer les racines négatives d’une équation quelconque en positives, en changeant seulement le signe de l’inconnue, nous ne considérerons dans la suite, pour plus de simplicité, que les racines positives ; ainsi, quand il s’agira d’examiner les racines d’une équation donnée, on considérera d’abord les racines positives de cette équation ; ensuite on y changera les signes de tous les termes où l’inconnue se trouvera élevée à une puissance impaire, et l’on considérera de même les racines positives de cette nouvelle équation ; ces racines, prises en moins, seront les racines négatives de la proposée.

5. Théorème II. — Si, dans une équation quelconque qui a une ou plusieurs racines réelles et inégales, on substitue successivement à la place de l’inconnue deux nombres, dont l’un soit plus grand et dont l’autre soit plus petit que l’une de ces racines, et qui diffèrent en même temps l’un de l’autre d’une quantité moindre que la différence entre cette racine et chacune des autres racines réelles de l’équation, ces deux substitutions donneront nécessairement deux résultats de signes contraires.

En effet, soient une des racines réelles et inégales de l’équation, et les autres racines quelconques ; soit de plus la plus petite des différences entre la racine et chacune des autres racines réelles de l’équation ; il est clair qu’en prenant et les quantités et seront de signes contraires, et que les quantités seront chacune de même signe que sa correspondante car, si et étaient de signes contraires, il faudrait que fût aussi compris entre et ce qui ne se peut ; donc les deux produits

6. Corollaire I. — Donc, si dans une équation quelconque on substitue successivement à la place de l’inconnue les nombres en progression arithmétique

l’on prend égale où moindre que la plus petite des différences entre les différentes racines positives et inégales de l’équation, la suite dont il s’agit aura nécessairement autant de variations de signes que l’équation contiendra de racines réelles positives et inégales.

Donc, si la différence est en même temps égale ou moindre que l’unité, on trouvera aussi, par ce moyen, la valeur entière approchée de chacune des racines réelles positives et inégales de l’équation ().

Si l’équation ne peut avoir qu’une seule racine réelle et positive ou si elle en a plusieurs, mais dont les différences ne soient pas moindres que l’unité, il est clair qu’on pourra faire c’est-à-dire qu’on pourra prendre les nombres naturels pour les substituer à la place de l’inconnue ; mais, s’il y a dans l’équation des racines inégales dont les différences soient moindres que l’unité, alors il faudra prendre moindre que l’unité, et telle qu’elle soit égale ou moindre que la plus petite des différences entre les racines dont il s’agit : ainsi la difficulté se réduit à trouver la valeur qu’on doit donner à , en sorte qu’on soit assuré qu’elle ne surpasse pas la plus petite des différences entre les racines positives et inégales de l’équation proposée : c’est l’objet du problème suivant.

7. Corollaire II. — Toute équation qui a un seul changement de signe a nécessairement une seule racine réelle positive.

Il est d’abord clair que l’équation aura nécessairement une racine réelle positive, à cause que son dernier terme sera de signe différent du premier (). Or je vais démontrer qu’elle ne peut en avoir qu’une.

Soient (en supposant le premier terme positif, comme à l’ordinaire) la somme de tous les termes positifs de l’équation, et la somme de tous les négatifs, en sorte que l’équation soit et puisqu’il n’y a, par l’hypothèse, qu’un seul changement de signe, il est clair que les puissances de l’inconnue du polynôme seront toujours plus hautes que celles du polynôme de sorte que si est la plus petite puissance de dans le polynôme et qu’on divise les deux polynômes et par la quantité ne contiendra que des puis- sances positives de et la quantité ne contiendra que des puissances négatives de d’où il suit que, croissant, la valeur de devra croître aussi, et, diminuant, diminuera aussi, à moins que le polynôme. ne contienne que le seul terme auquel cas sera toujours une quantité constante ; au contraire, croissant, la valeur de diminuera nécessairement, et, diminuant, ira en augmentant. Soit la racine réelle et positive de l’équation, on aura donc, lorsque donc aussi donc, en substituant au lieu de des nombres quelconques plus grands que on aura toujours et par conséquent égal à un nombre positif, et, en substituant au lieu de des nombres moindres que on aura toujours et par conséquent égal à un nombre négatif : donc il sera impossible que l’équation ait des racines réelles positives plus grandes ou plus petites que

Si l’équation a plusieurs changements de signe, elle peut avoir aussi plusieurs racines réelles positives ; mais leur nombre ne peut jamais surpasser celui des changements ou variations de signe c’est ce théorème qu’on appelle la règle de Descartes. (Voir la Note VIII.)

8. Problème. — Une équation quelconque étant donnée, trouver une autre équation dont les racines soient les différences entre les racines de l’équation donnée.

Soit donnée l’équation

et soit la différencie entre les deux racines et de manière que l’on ait substituant cette valeur de dans la dernière équation et ordonnant les termes par rapport à on aura une équation en du même degré laquelle, en commençant par les derniers termes, sera de cette forme

donc, puisque par l’équation donnée (B) on a l’équation précédente étant divisée par deviendra celle-ci :

Cette équation, si l’on y substitue pour une quelconque des racines de l’équation (B), aura pour racines les différences entre cette racine et toutes les autres de la même équation (B) ; donc, si l’on combine les équations (B) et (C) en éliminant on aura une équation en dont les racines seront les différences entre chacune des racines de l’équation (B) et toutes les autres racines de la même équation ce sera l’équation cherchée.

Mais, sans exécuter cette élimination, qui serait souvent fort laborieuse, il suffira de considérer :

1 Que étant les racines de l’équation en celles de l’équation en seront

d’où l’on voit que ces racines seront au nombre de e t que de plus elles seront égales deux à deux et de signes contraires ; de sorte que l’équation en manquera nécessairement de toutes les puissances impaires de donc, en faisant et l’équation dont il s’agit sera de cette forme

2 Que étant les différentes valeurs de dans l’équation (D), le coefficient sera égal à la somme de toutes ces valeurs, le coefficient sera la somme de tous leurs produits deux à deux, etc.

Or il est facile de voir que

Pour y parvenir plus facilement, supposons

et l’on aura, comme l’on sait,

et, en général,

Les quantités étant ainsi connues, on aura sur-lechamp les valeurs des coefficients de l’équation (D) par les formules

Ainsi l’on pourra déterminer directement les coefficients de l’équation (D) par ceux de l’équation donnée (B). Pour cela on cherchera d’abord, par les formules ci-dessus, les valeurs des quantités jusqu’à ensuite, à l’aide de celles-ci, on cherchera celle des quantités jusqu’à et enfin, par ces dernières, on trouvera les valeurs cherchées des coefficients

9. Remarque. — Il est bon de remarquer que l’équation (D) exprime également les différences entre les racines positives et négatives de l’équation (B) ; de sorte que la même équation aura lieu aussi lorsqu’on changera en pour avoir les racines négatives ().

De plus, il est clair que l’équation (D) sera toujours la même, soit qu’on augmente ou qu’on diminue toutes les racines de l’équation proposée d’une même quantité quelconque ; donc, si cette équation a son second terme, on pourra le faire disparaître et chercher ensuite l’équation en on aura ainsi la même équation qu’on aurait eue si l’on n’avait pas fait évanouir le second terme. Mais l’évanouissement de ce terme rendra toujours la recherche des coefficients un peu plus facile, parce qu’on aura et par conséquent aussi de sorte que les formules du numéro précédent deviendront

10. Corollaire I. — Puisque les racines de l’équation (D) sont les carrés des différences entre les racines de l’équation proposée (B), il est clair que si cette équation (D) avait tous ses termes de même signe, auquel cas elle n’aurait aucune racine réelle positive, il est clair, dis-je, que, dans ce cas, les différences entre les racines de l’équation (B) seraient toutes imaginaires ; de sorte que cette équation ne pourrait avoir qu’une seule racine réelle ou bien plusieurs racines réelles et égales entre elles. Si ce dernier cas a lieu, on le reconnaîtra et on le résoudra par les méthodes connues (voir aussi plus bas le Chapitre II) ; à l’égard du premier cas, il suit du qu’on pourra prendre

11. Corollaire II. — Si l’équation (B) a un ou plusieurs couples de racines égales, il est clair que l’équation (D) aura une ou plusieurs valeurs de égales à zéro ; de sorte qu’elle sera alors divisible une ou plusieurs fois par Cette division faite, lorsqu’elle a lieu, soit l’équation restante disposée à rebours, de cette manière :

Donc sera nécessairement moindre qu’aucune des valeurs de c’est-à-dire qu’aucune des différences entre les racines réelles et inégales de l’équation proposée (B).

Donc :

1 Si alors on sera sûr que l’équation (B) n’aura pas de racines réelles dont les différences soient moindres que l’unité ; ainsi, dans ce cas, on pourra faire sans scrupule () ;

2 Mais, si ou alors il peut se faire qu’il y ait dans l’équation (B) des racines dont les différences soient moindres que l’unité ; mais, comme la plus petite de ces différences sera toujours nécessairement plus grande que on pourra toujours prendre ou (numéro cité).

En général, soit le nombre entier qui est égal ou immédiatement plus grand que et l’on pourra toujours prendre

12. Scolie I. — Quant à la manière de trouver la limite des racines d’une équation, la plus commode et la plus exacte est celle de Newton, laquelle consiste à trouver un nombre dont, les racines de l’équation proposée étant diminuées, l’équation résultante n’ait aucune variation de signe, car alors cette équation ne pourra avoir que des racines négatives par conséquent, le nombre dont les racines de la proposée auront été diminuées surpassera nécessairement la plus grande de ces racines.

Ainsi, pour chercher la limite des racines de l’équation

Si l’on voulait éviter tout tâtonnement, il n’y aurait qu’à prendre pour le plus grand coefficient des termes négatifs de l’équation (F), augmenté d’une unité ; car il est facile de prouver qu’en donnant à cette valeur, les quantités seront toujours positives.

Cette manière d’avoir la limite des racines d’une équation quelconque est due, je crois, à Maclaurin ; mais en voici une autre qui donnera le plus souvent des limites plus approchées.

Soient

Au reste, il faut observer que les limites trouvées de l’une ou de l’autre de ces deux manières seront rarement les plus prochaines limites. Pour en avoir de plus petites, on essayera successivement pour des nombres moindres, et l’on prendra le plus petit de ceux qui satisferont aux conditions que soient des nombres positifs.

13. Scolie II. — Ayant donc trouvé la limite de l’équation (F) et pris égal ou immédiatement plus grand que on fera (), et l’on substituera successivementdans l’équation proposée, à la place de l’inconnue, les nombres

et donnent des résultats de signe contraire, il y aura une racine entre et et par conséquent, le nombre entier qui approchera le plus de sera la valeur entière approchée de cette racine ().

Ainsi l’on connaîtra par ce moyen, non-seulement le nombre des racines positives et inégales de l’équation proposée, mais encore la valeur entière approchée de chacune de ces racine.

Au reste, il est clair que si l’on trouvait un ou plusieurs résultats égaux à zéro, les nombres qui auraient donné ces résultats seraient des racines exactes de l’équation proposée.

Pour faciliter et abréger ce calcul, on fera encore les remarques suivantes :

1 Si l’on cherche par les méthodes des numéros précédents la limite des racines positives de l’équation proposée, il est clair qu’il sera inutile d’y substituer à la place de l’inconnue des nombres plus grands que cette limite. En effet, il est facile de voir qu’en substituant des nombres plus grands que cette limite, on aura toujours nécessairement des résultats positifs. Ainsi, nommant la limite dont il s’agit, le nombre des substitutions à faire sera égal à et par conséquent toujours limité.

En général, sans chercher la limite il suffira de pousser les substitutions jusqu’à ce que le premier terme de l’équation ou la somme des premiers termes, s’il y en a plusieurs consécutifs avec le même signe soit égale ou plus grande que la somme de tous les termes négatifs ; car il est facile de prouver, par la méthode du , qu’en donnant à l’inconnue des valeurs plus grandes, on aura toujours à l’infini des résultats positifs.

2 Au lieu de substituer à la place de l’inconnue les fractions on y mettra d’abord à la place de ou, ce qui revient au même, on multipliera le coefficient du second terme par celui du troisième terme par et ainsi des autres ; et l’on substituera ensuite à la place de les nombres naturels jusqu’à la limite de cette équation, ou bien jusqu’à ce que le premier terme ou la somme des premiers, quand il y en a plusieurs consécutifs avec le même signe, soit égale ou plus grande que la somme des négatifs ; par ce moyen, les résultats seront tous des nombres entiers, et les racines de l’équation proposée se trouveront nécessairement entre les nombres consécutifs qui donneront des résultats de signes contraires, ces nombres étant divisés par comme nous l’avons vu plus haut.

3 Soit le degré de l’équation dans laquelle il s’agit de substituer successivement les nombres naturels je dis que, dès que l’on aura trouvé les premiers résultats, c’est-à-dire ceux qui répondent à on pourra trouver tous les suivants par la seule addition.

Pour cela, il n’y aura qu’à chercher les différences des résultats trouvés, lesquelles seront au nombre de ensuite les différences de ces différences, lesquelles ne seront plus qu’au nombre de et ainsi de suite jusqu’à la différence .

Cette dernière différence sera nécessairement constante, parce que l’exposant de la plus haute puissance de l’inconnue est ainsi l’on pourra continuer la suite des différences aussi loin qu’on voudra, en répétant seulement la même différence trouvée ; ensuite, par le moyen de cette suite, on pourra, par la simple addition, continuer celle des différences , et, à l’aide de celle-ci, on pourra continuer de même la suite des différences , et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on arrive à la première suite, qui sera celle des résultats cherchés.

Il est bon d’observer ici que, si les termes correspondants des différentes suites dont nous parlons étaient tous positifs, les termes suivants dans chaque suite seraient tous aussi positifs. Or, puisque la dernière différence est toujours positive, il est clair qu’on parviendra nécessairement dans-chaque suite à des termes tous positifs ; ainsi il suûira de continuer toutes ces suites jusqu’à ce que leurs termes cor- respondants soient devenus tous positifs_1, parce qu’alors on sera sûr que la série des résultats, continuée aussi loin qu’on voudra, sera toujours positive, et que, par conséquent, elle ne contiendra plus aucune variation de signe.

Pour éclaircir cela par un exemple, soit proposée l’équation

La dernière de ces quatre séries sera, comme l’on voit, celle des résultats qui viennent de la substitution des nombres naturels à la place de dans l’équation proposée ; et comme les termes de la septième colonne, savoir sont tous positifs, il s’ensuit que les termes suivants seront tous aussi positifs ; de sorte que la série des résultats, continuée aussi loin qu’on voudra, n’aura plus aucune variation de signe.

14. Remarque. — On avait déjà remarqué que l’on pouvait trouver la valeur approchée de toutes les racines réelles et inégales d’une équation quelconque, en y substituant successivement à la place de l’inconnue différents nombres en progression arithmétique ; mais cette remarque ne pouvait pas être d’une grande utilité, faute d’avoir une méthode pour déterminer la progression que l’on doit employer dans chaque cas, en sorte que l’on soit assuré qu’elle fasse connaître toutes les racines réelles et inégales de l’équation proposée. Nous en sommes heureusement venus à bout, à l’aide du problème du , et nous verrons encore, ci-après d’autres usages de ce même problème par rapport aux racines égales et imaginaires.

Au reste, la recherche de la quantité () ne serait point nécessaire si l’équation proposée n’avait que des racines réelles ; mais les conditions par lesquelles, on peut reconnaître d’avance la réalité de toutes les racines ; lorsqu’elle a lieu dans une équation donnée, dépendent de l’équation même des différences ou de formules équivalentes. (Voir la Note VIII.)

Chapitre 2

15. Nous n’avons considéré, dans le Chapitre précédent, que les racines réelles et inégales de l’équation proposée (B) ; supposons maintenant que cette équation ait des racines égales. Dans ce cas, il faudra () que l’équation (D) soit divisible autant de fois par qu’il y aura de combinaisons de racines égales deux à deux ; par conséquent, il faudra qu’il y ait dans cette équation (D) autant des derniers termes qui manquent ; ainsi on connaîtra par ce moyen combien de racines égales il y aura dans la proposée.

Mais on peut s’assurer d’avance si l’équation proposée a des racines égales, et même trouver ces racines indépendamment de l’équation (D) ; car puisque, dans le cas des racines égales, on a nécessairement (), l’équation (C) du même numéro donnera pour ce cas ainsi il faudra que les deux équations en et aient lieu en même temps lorsque est égal à une quelconque des racines égales de l’équation (B).