Mémoires extraits des recueils de l’Académie des sciences de Paris et de l’Institut de France

Recherches sur la libration de la Lune

(Prix de l’Académie Royale des Sciences de Paris, tome IX, 1764.)

I.

Cet écrit a pour objet d’examiner les différents mouvements, apparents ou réels, que la Lune peut avoir autour de son centre. Je suppose d’abord que cette Planète a une figure quelconque ; et je cherche le mouvement qu’elle doit recevoir de l’action de la Terre et du Soleil. Quoiqu’un très-grand Géomètre ait déjà donné des méthodes et des for- mules générales, qui peuvent aisément s’appliquer à la recherche dont il s’agit ici, néanmoins il m’a paru plus commode de reprendre la question en entier, et de la résoudre par une méthode que je crois nouvelle à plusieurs égards et qui est d’un usage simple et général pour tous les Problèmes de Dynamique. Cette méthode me conduit naturellement à trois équations générales, qui reviennent au même, pour le fond, que celles qu’on trouve dans les Mémoires de l’Académie de 1754, pages 424 et 425 et, pour en faciliter la comparaison à ceux-qui voudront prendre la peine de la faire, j’expose en peu de mots les principales différences qu’il y a entre elles par rapport à la diversité des dénominations. D’après ces équations, j’examine quels changements l’action de la Terre et du Soleil doit produire dans la rotation de la Lune et dans la position de son axe. Après avoir prouvé que l’action du Soleil est presque insensible par rapport à celle de la Terre, je trouve qu’en supposant, avec , que la Lune est un sphéroïde allongé vers la Terre, cette Planète doit faire autour de son axe une espèce de balancement ou de libration, par lequel sa vitesse de rotation est tantôt accélérée, tantôt retardée ; et j’explique alors avec facilité pourquoi la Lune doit nous montrer toujours à peu près la même face, quoiqu’elle n’ait point reçu d’abord, comme il est très-naturel de l’imaginer, une rotation exactement égale a son mouvement moyen autour de la Terre. Je fais voir ensuite que l’axe de cette Planète doit être sujet à un mouvement semblable à celui de la Terre, comme l’a déjà démontré dans la supposition que la Lune soit un sphéroïde homogène et elliptique dans tous les sens ; mais je diffère essentiellement de lui sur la quantité de la précession-et de la nutation qui doit avoir lieu dans cette hypothèse ; je donne la raison de la différence qui se trouve entre nos résultats, en faisant voir que les formules qui sont vraies pour la Terre ne s’appliquent pas indistinctement à la Lune, comme le suppose cet Auteur. Je fais voir de plus que la figure de la Lune pourrait aussi être telle que la précession de ses points équinoxiaux fût exactement, ou à très-peu près, égale au mouvement des nœuds de la Lune, comme l’a trouvé ; et dans ce cas je démontre qu’il ne doit plus y avoir de nutation sensible dans l’axe de cette Planète. Au reste, c’est aux Astronomes seuls à nous instruire pleinement là-dessus ; mais ; pour les mettre plus à portée de connaître ces différents mouvements, je propose des méthodes que je crois assez simples pour déterminer, par le moyen des observations des taches de la Lune, la position de son axe de rotation et la quantité de sa libration tant apparence que réelle.

Tels sont, en abrégé, les points principaux de la Dissertation suivante. L’Académie Royale des Sciences ayant proposé pour le sujet du Prix de l’année prochaine « Si l’on peut expliquer par quelque raison physique pourquoi la Lune nous présente toujours à peu près la même face ; et comment on peut déterminer par les observations et par la » théorie si l’axe de cette Planète est sujet à quelque mouvement propre, semblable à celui qu’on connaît dans l’axe de la Terre, et qui produit la précession des équinoxes et la nutation » ; j’ose lui présenter le fruit de mon travail sur cette importante matière. S’il ne répond pas entièrement aux vues de cette savante Compagnie, au moins servira-t-il à jeter de nouvelles lumières sur un des principaux phénomènes célestes.

II.

Comme il n’est question ici que du mouvement que la Lune doit avoir autour de son centre de gravité, en vertu de l’action du Soleil et de la Terre, il est évident qu’on peut regarder le centré de la Lune comme immobile par rapport à la Terre et au Soleil ; en transportant à ces deux Planètes en sens contraire le mouvement que la Lune a réellement autour d’elles, c’est-à-dire en imaginant que la Terre et le Soleil se meuvent autour du centre de la Lune, supposé fixe, comme les verrait un observateur placé dans ce centre.

Cela posé, j’imagine par le centre de la Lune un plan parallèle à l’écliptique, auquel je rapporte la position des centres de la Terre et du Soleil, comme aussi celle de tous les points de la masse de la Lune. Pour cella, ayant mené du centre de cette Planète dans le plan dont je parle une ligne fixe et dirigée vers le premier point d’Aries, laquelle sert d’axe commun à toutes les abscisses soient l’abscisse et l’ordonnée rectangle qui répondent à la projection du centre de la Terre sur ce plan, et soit l’autre coordonnée rectangle qui exprime la distance du centre de la Terre au point qui en est la projection ; soient aussi les coordonnées semblables pour la position du centre du Soleil ; enfin soient l’abscisse, et les deux ordonnées correspondantes à un point quelconque de la masse de la Lune.

Il est visible :

1 Que la distance de ce point au centre de la Terre sera exprimée par

2 Que la distance du même point au centre du Soleil sera exprimée de même par la quantité

Donc, si l’on nomme la masse de la Terre et celle du Soleil, chaque point de la Lune sera tiré par deux forces, l’une dans la direction de la ligne égale à l’autre suivant la ligne égale à

De plus, si l’on prend l’élément du temps pour constant, on aura pour les forces accélératrices dont le point est sollicité suivant la direction des espaces qu’il parcourt dans l’instant et il faudra, par le principe général de la Dynamique, que ces forces prises en sens contraire et combinées avec les forces tiennent le système de tous les points c’est-à-dire la masse entière de la Lune, en équilibre autour de son centre de gravité supposé fixe.

III.

C’est un principe généralement vrai en Statique que, si un système quelconque de tant de corps ou de points que l’on veut, tirés chacun par des puissances quelconques, est en équilibre, et qu’on donne à ce système un petit mouvement quelconque, en vertu duquel chaque point parcoure un espace infiniment petit, la somme des puissances, multipliées chacune-par l’espace que le point où elle est appliquée parcourt suivant la direction de cette même puissance, sera toujours égale à zéro.

Dans la question présente, si l’on imagine que les lignes deviennent, en variant infiniment peu la position de la Lune autour de son centre,

Les quantités ne sont autre chose que les différentielles des lignes prises à l’ordinaire et affectées de la caractéristique au lieu de la commune pour les distinguer des autres différentielles des mêmes lignes qui ont rapport au mouvement réel du corps.

Quant au signe d’intégration il est mis pour marquer la somme de toutes les formules semblables qui répondent à tous les éléments de la masse de la Lune.

IV.

Scolie. — Le principe de Statique que je viens d’exposer n’est, dans le fond, qu’une généralisation de celui qu’on nomme communément le principe des vitesses virtuelles, et qui est reconnu depuis longtemps par les Géomètres pour le principe fondamental de l’équilibre. est le premier, que je sache, qui ait envisagé ce principe sous un point de vue général et applicable à toutes les questions de Statique, comme on le peut voir dans la de la nouvelle Mécanique de , où cet habile Géomètre, après avoir rapporté d’après le principe dont il s’agit, fait voir, par différentes applications, qu’il conduit aux mêmes conclusions que celui de la composition des forces.

C’est aussi ce même principe qui sert de base à celui que a donné dans les Mémoires de l’Académie de 1740, sous le nom de loi du repos, et que a développé ensuite et rendu très-général dans les Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1751.

Enfin c’est de ce principe que dépend celui de la conservation des forces vives, comme l’a remarqué le premier à la fin de sa Dynamique ; ce qui peut d’ailleurs se démontrer généralement ainsi.

Soit un système quelconque de tant de corps qu’on voudra qui pèsent, ou qui soient attirés vers des centres par des forces quelconques ; soient les forces qui agissent sur le corps et les distances respectives de ce corps aux centres de ces forces ; soient aussi les forces des corps et leurs distances aux centres des forces ; si l’on imagine que tous ces corps se meuvent, durant un instant quelconque par les espaces avec les vitesses il faudra, par le principe général de la Dynamique, que le système des Corps animés chacun des forces

dans la direction même dea espaces soit en équilibre avec les forces

Mettant, au lieu de ses valeurs et intégrant, on aura

Au reste le principe de Statique que je viens d’exposer, étant combiné avec le principe de Dynamique donné par , constitue une espèce de formule générale qui renferme la solution de tous les Problèmes qui regardent le mouvement des corps. Car on aura toujours une équation semblable à l’équation (A) (Article précédent), et toute la difficulté ne consistera plus qu’à trouver l’expression analytique des forces qu’on suppose agir sur les corps et des lignes suivant lesquelles ces forces agissent, en n’employant dans ces expressions que le plus petit nombre possible de variables indéterminées, de manière que leurs différentielles désignées par le soient entièrement indépendantes les unes des autres ; après quoi, faisant séparément égaux à zéro les termes qui se trouveront multipliés par chacune des différentielles dont je parle, on aura tout d’un coup autant d’équations particulières qu’il en faudra pour la solution du Problème, comme on le verra dans les Articles qui suivent.

V.

Il est aisé de voir que ces trois variables suffiront pour déterminer, à chaque instant, la situation de la Lune par rapport à son centre, qui est censé immobile ; aussi ce seront les seules qu’il faudra faire varier dans les différentielles des lignes Soient de plus

Il est visible que ces trois nouvelles indéterminées ne dépendent nullement de la position de la Lune sur son centre, mais seulement de la situation particulière de chacun de ces points par rapport à tous les autres. Ainsi ces quantités ne seront variables dans nos formules que relativement aux intégrations indiquées par le signe dans l’équation (A).

Au reste il est bon de remarquer d’avance que, comme on suppose que le centre de rotation de la Lune soit dans son centre même de gravité, on aura, par la propriété connue de ce centre, les trois conditions suivantes

VI.

Maintenant, pour avoir les valeurs des coordonnées exprimées en je considère que l’angle peut être regardé comme exprimant la déclinaison du point vu du centre de la Lune, et rapporté à l’équateur lunaire ; et que, dans cette supposition, l’angle que je nommerai pour abréger, sera l’ascension droite du même point comptée à l’ordinaire depuis le nœud descendant de l’équateur. Donc, en rapportant le point au plan de l’écliptique lunaire (j’appelle ainsi le plan que nous avons imaginé parallèle à l’écliptique et passant par le centre de la Lune), lequel est incliné à l’équateur de l’angle on trou- vera facilement, par les formules de la Trigonométrie, sa latitude que j’appellerai et sa longitude que je nommerai car on aura, comme il est aisé de le démontrer,

Mais il est clair d’autre part que l’angle n’est autre chose que l’angle fait par le rayon avec le plan des et et que que je nomme est l’angle que la projection de sur ce plan fait avec l’axe des on aura donc, comme il est facile de le concevoir même sans figure,

VII.

On différentiera d’abord ces valeurs de en faisant varier seulement (Article V), et en mettant la caractéristique au lieu de la pour avoir celles de on différentiera ensuite les mêmes valeurs deux fois à l’ordinaire, pour avoir les différentio-différentielles après quoi on fera les produits

et, après avoir effacé ce qui se détruit, et mis pour

On multipliera cette quantité par et l’on en prendra l’intégrale en faisant varier seulement (Article v) ; on aura ainsi la valeur de

VIII.

Remarque. Il y a plusieurs moyens d’abréger le calcul de la valeur de

Je différentie à présent cette équation par c’est-à-dire en affectant les différentielles de au lieu de j’aurai, après avoir divisé par

donner une idée de la méthode que je propose. Maintenant je considère que est la même chose que comme il est aisé de s’en convaincre en considérant la nature du Calcul différentiel ; il en est de même des autres différences affectées des on peut donc mettre partout au lieu de et l’on aura

On peut remarquer encore que cette valeur ne différe de celle de

point de semblables différentielles, ont des signes contraires. Ainsi, ayant la valeur de

IX.

Jusqu’ici la position de l’axe de rotation, autour duquel nous supposons que la Lune tourne en décrivant d’occident en orient l’angle est ahsolument arbitraire, et nous pourrons prendre telle ligne qu’il nous plaira pourvu qu’elle passe par le centre de gravité ; mais le calcul sera beaucoup simplifié si l’on suppose qu’abstraction faite des forces étrangères, la rotation de la Lune doive être uniforme, et son axe une ligne fixe et invariable. Voyons donc les conditions qui résultent de ces suppositions pour cela il n’y a qu’à faire

donc l’équation à vérifier sera

Telles sont les conditions nécessaires pour que la Lune puisse d’elle-même tourner uniformément autour d’un axe fixe ; par conséquent si l’on suppose, comme les observations de la libration paraissent le démontrer, que ces conditions aient lieu dans la rotation de la Lune, il faudra négliger, dans la valeur (Article VII) de

une expression de cette forme

X.

Scolie I. — On aurait tort de croire que les conditions

Pour cela, imaginons pour un moment que la position de la Lune, que je considérerai ici comme un corps quelconque, soit fixe par rap- port au plan de son écliptique ; et cherchons la position du plan de l’équateur de manière que l’on ait

on aura

La première nous donne

racines réelles et égales, l’une positive et l’autre négative ; donc, puisque

on aura au moins une valeur de et par conséquent de l’angle et cette valeur étant substituée dans l’expression de \operatorname{tang}\pi ci-dessus, on aura l’angle \pi correspondant. Ayant les angles \varepsilon et on aura, comme on le voit, la position du plan cherché de l’équateur par rapport au plan donné de l’écliptique. Si et alors \operatorname{tang}\pi=0, et le plan cherché tomberait dans le plan donné, ce qui est évident, parce que les deux équations

mais, en reprenant les équations qui résultent immédiatement de ces deux dernières équations et y mettant et on trouve

plan comme donné, on trouvera encore deux autres plans qui auront la même propriété, et dont la position par rapport à celui-là sera déterminée par les équations

XI.

Scolie II. — À l’égard des quantités de l’Article IX [équations (G)], il est clair que leur valeur dépend entièrement de la figure et de la constitution intérieure de la Lune ; car, soit la densité d’une particule quelconque on trouvera aisément

blant les termes. Comme la figure de la Lune est sensiblement sphérique, on ne s’éloignera pas de la vérité en la regardant comme formée de différentes couches à peu près sphériques et dont chacune soit partout de la même densité ; soit donc le rayon variable d’une couche quelconque de densité uniforme, étant le rayon de cette couche, qui est perpendiculaire au plan de l’équateur, une quantité constante très-petite, et une fonction quelconque de et qui soit nulle, lorsque On remarquera : 1 que la quantité sera une fonction de seulement ; 2 que, si l’on néglige les carrés et les puissances plus hautes de on aura, en faisant, pour abréger,

Soit

on aura donc

Quant à la masse de la Lune, on la trouve en intégrant l’expression de savoir, dans la supposition présente,

Donc, nommant cette masse on aura, aux quantités de l’ordre de près,

des limites entre lesquelles ce rapport doit nécessairement demeurer. Il est clair : 1 que, si exprime la valeur de à la surface,

XII.

Scolie III. — On peut au reste déterminer la figure de la Lune par la Théorie, en supposant qu’elle ait été originairement fluide, et qu’elle ait conservé, en se durcissant, la forme qu’elle aurait dû prendre, en vertu de la gravitation mutuelle de ses parties, combinée avec la force centri- fuge et avec l’attraction de la Terre. Pour cela, nous supposerons que le premier méridien de la Lune, d’où l’on commence à compter les angles soit celui qui passe par la Terre, lorsque le lieu moyen de cette Planète est égal à son lieu vrai, et nous regarderons l’attraction de la Terre comme agissant dans le sens du diamètre de l’équateur qui se trouve dans le premier méridien ; ce qui est vrai à très-peu près, à cause que la Lune nous présente toujours sensiblement la même face. Or soient le rapport de la force centrifuge à la pesanteur sous l’équateur de la Lune et la distance moyenne du centre de la Lune à la Terre ; on trouvera généralement pour la figure de chaque couche

et

XIII.

Il reste encore a trouver la valeur des deux termes et de l’équation (A). Pour cela, soient

On aura, comme il est très-facile de le concevoir,

Soient aussi

Il est visible qu’on aura

On fera donc toutes ces substitutions dans l’expression de et de (Article II), et l’on aura, après quelques réductions fort simples, en substituant pour leurs valeurs [Article VI, équations (E)], et réduisant,

On aura de même

Substituant au lieu de sa valeur et faisant, pour abréger, après avoir développé les sinus et les cosinus de

XIV.

Je différentie maintenant la valeur de qu’on vient de trouver, en faisant varier seulement et en écrivant au lieu de j’aurai, en retenant les lettres et divisant par

On a de plus, en négligeant les carrés et les autres puissances de vis-à-vis de

On multipliera donc ensemble ces valeurs de et de en ayant attention de rejeter tous les termes qui renfermeraient

savoir, comme il est facile de le voir, par la seule inspection des formules (M), Article précédent,

On a de même

Donc, si l’on fait, pour abréger,

On remarquera que dans ces formules j’ai mis pour sa valeur et pour mais j’ai conservé dans les autres termes les lettres tant pour rendre les expressions moins composées que pour les raisons qu’on verra plus bas.

XV.

On cherchera d’une manière semblable la valeur de et pour cela il suffira de remarquer : 1 que, dans l’expression de (Article XIII), on peut négliger les termes vis-à-vis de parce que le rayon de l’orbite du Soleil est incomparablement plus grand que le rayon de l’orbite de la Lune ; 2 que la valeur de ne différera, après cela, de celle de qu’en ce qu’il y aura, au lieu de

XVI.

Remarque. — La valeur de de l’Article XIII nous fournit un moyen commode et simple de trouver lâ position du centre apparent de la Lune par rapport à son équateur et à son premier méridien. Car, comme la quantité exprime la distance de chaque point \alpha de la Lune au centre de la Terre, il est évident qu’elle sera la plus petites, lorsque le rayon sera dans la ligne qui joint les centres de la Lune et de la Terre, c’est- à-dire qui passe par le centre apparent de la Lune ; donc si l’on fait la distance du centre apparent de la Lune au plan de l’équateur lunaire la distance du méridien qui passe par le centre apparent au premier méridien il n’y aura qu’à mettre, dans l’expression de au lieu de et au lieu de et faire ensuite sa différentielle égale à zéro, en regardant et comme variables ; ce qui donnera

et par là

On trouvera de la même manière, en changeant simplement en et faisant les angles et qui donnent le centre apparent de la Lune vue du Soleil, c’est-à-dire du centre de l’hémisphère éclairé ; et, combinant ces angles avec les angles et il serait aisé de déterminer généralement les phases de cette Planète.

XVII.

Corollaire général. — Il faut maintenant substituer dans l’équation (A) les valeurs que nous avons trouvées (Articles IX, XIV et XV) ; ce qui la changera en celle-ci

La première de ces équations servira à déterminer les lois de la rota- tion de la Lune autour de son axe, la seconde à déterminer la nutation, et la troisième à déterminer la précession.

XVIII.

Scolie. — Les équations (1), (2), (3), que nous venons de trouver, répondent exactement aux équations (G), (H), (K) données par , dans les Mémoires de l’Académie de l’année 1754, pages 424 et 425, pour la précession des équinoxes et la nutation de l’axe de la Terre, en vertu de l’action du Soleil et de la Lune.

Pour en faire la comparaison, on remarquera :

1 Que les angles dans les formules de , répondent dans les nôtres aux compléments des angles,

2 Que les lignes et dans celles-là ont dans celles-ci pour valeurs et et que les angles sont la même chose que les compléments des angles

3 Que les angles répondent aux compléments des angles

4 Que les angles et répondent ici aux angles

Enfin on mettra dans les formules citées au lieu de et et au lieu de et

XIX.

Résolution de l’équation (1)

J’observerai d’abord qu’en regardant la Lune comme peu différente d’un globe, ainsi qu’elle l’est en effet, les quantités sont incomparablement plus petites que les quantités (Article XI) ; d’où il surit que, dans l’expression de (Article IX), on peut négliger les termes qui renferment et vis à vis de ceux qui renferment ce qui la réduit à

1 Que

2 Qu’en substituant pour et pour leurs valeurs [Article XIV, (M)],

3 Que la quantité qui dénote la tangente de la latitude de la Lune (Article XIII), est toujours une quantité assez petite, puisque sa plus grande valeur est d’environ

4 Que l’angle qui représente l’inclinaison de l’équateur lunaire à l’écliptique (Article V), est aussi très-petit ; car, suivant les observations de , on a et, suivant celles de , on a seulement

D’où il s’ensuit qu’on aura à très-peu près

Mais nous nous contenterons ici de prendre simplement pour la valeur de ce qui nous donnera

Soit maintenant le mouvement moyen de la Lune autour de la Terre, on aura, en regardant l’orbite de cette Planète comme circulaire,

(il faudrait mettre à la vérité au lieu de mais la différence qui en résulte est trop petite pour qu’il soit nécessaire d’en tenir compte ici). Donc

On trouvera de même, en nommant le mouvement moyen de la Terre autour du Soleil,

environ ;

Or, par l’Article XIV on a

donc, puisque

De plus, si l’on suppose, ce qui est permis, que le premier méridien de la Lune soit celui qui passe par la Terre, lorsque le lieu vrai de cette Planète est égal à son lieu moyen, il est clair que l’angle, qui représente la distance du méridien qui passe par le centre apparent de la Lune à son premier méridien (XVI), sera toujours très-petit ; car, suivant les observations de la libration, cet angle ne va guère au delà de degrés ; par conséquent on aura à très-peu près, et avec une exactitude suffisante pour notre objet, et Donc enfin

Il ne reste plus qu’à trouver la valeur de pour cela, on remarquera que est la longitude vraie de la Lune (Article XIII) ; par conséquent, si l’on appelle le rapport du mouvement de l’anomalie moyenne de la Lune à son mouvement moyen, et qu’on n’ait égard qu’à sa première inégalité, on aura

étant, suivant , et un nombre très-peu différent de l’unité ; d’où l’on tire

Faisant donc ces substitutions dans l’équation (4) ci-dessus, on la changera en celle-ci

est l’une des deux constantes indéterminées introduites par la double intégration, l’autre ayant été supposée telle que l’angle soit nul lorsque c’est-à-dire lorsque le lieu vrai de la Lune est le même que son lieu moyen.

De là il est facile de voir que, si l’on veut tenir compte des autres inégalités du mouvement vrai de la Lune, et qu’on suppose pour cela

XX.

Conséquences qui résultent de la formule précédente par rapport à la libration de la Lune et à sa rotation.

Comme l’équateur lunaire n’est que très-peu incliné à l’écliptique, il est clair que l’angle représentera, sans erreur sensible, la libration de la Lune en longitude ; d’où l’on voit que cette libration différera un peu de celle qui a été supposée jusqu’à présent par les Astronomes. Pour en faire la comparaison avec plus de facilité, on mettra l’expression de sous la forme suivante

La première est représentée par les termes

La seconde est contenue dans les termes

La troisième enfin est celle qui est représentée par les termes

Terre, mais simplement de sa figure non sphérique. Elle sera la plus grande, lorsque

Au reste, soit que ou non, la durée d’une libration entière composée d’une allée et d’un retour, sera toujours égale à la durée d’une oscillation totale du même pendule, ou bien elle sera au temps périodique de la Lune comme

À l’égard de la rotation de la Lune, comme on a trouvé dans l’Article XIX

à très-peu près,

D’où l’on voit :

1 Que la rotation moyenne de la Lune est égale à son mouvement moyen autour de la Terre, moins le mouvement moyen de ses points équinoxiaux ; condition nécessaire pour que cette Planète nous présente toujours à peu près la même face ;

2 Que la vitesse de la rotation vraie de la Lune est variable ; cette vitesse étant à celle du mouvement moyen autour de la Terre dans le rapport de à c’est-à-dire de

Ainsi, faisant on a

XXI.

Remarque. — Jusqu’ici les Astronomes avaient toujours supposé que la Lune tournait autour de son centre d’un mouvement parfaitement uniforme, et ils avaient été obligés, en conséquence, pour sauver le phénomène de la non-rotation apparente de cette Planète, d’imaginer qu’elle eût reçu d’abord une vitesse de rotation exactement égale à celle de son mouvement moyen autour de la Terre, ou plutôt de celui de ses points équinoxiaux ; ce qui était néanmoins très-difficile à comprendre. Il me semble que la Théorie précédente fournit un dénouement tout simple de ce paradoxe, ou, pour mieux dire, ce paradoxe n’a point lieu dans la Théorie que je viens de donner de la rotation de la Lune, Ainsi je puis, à cet égard, me flatter d’avoir pleinement satisfait à la première partie de la question proposée par l’Académie.

XXII.

Scolie. — Si l’on suppose la Lune homogène, et que sa figure soit celle d’un sphéroïde dont l’équateur et les méridiens seraient des ellipses, comme dans l’Article XII on trouvera (Articles XI et XII), en faisant

Si l’on veut que l’allongement de la Lune vers la Terre ait été produit par l’action même de la Terre sur cette Planète supposée fluide, alors on aura (Article XII)

Pour évaluer cette expression, nous ferons, avec ,

( est le rayon de la Terre) ; ensuite nous prendrons

mois périodiquesenviron jours.

On peut regarder au reste tout ce que nous venons de dire sur la lubration de la Lune comme un commentaire de la Proposition , des Principes Mathématiques.

XXIII.

Résolution de l’équation (2)

On aura d’abord, en négligeant dans la valeur de (Article IX) les termes qui renferment les quantités très-petites et

ou simplement, à cause de très-petit, et de et très-petits aussi par rapport à comme on le verra dans la suite,

En second lieu, on aura (Article XIV)

On mettra ici, comme dans l’Article XIX, au lieu de et au lieu de c’est-à-dire au lieu de ou bien simplement à cause que l’angle est toujours très-petit, et l’on aura

On substituera donc ces valeurs dans l’équation proposée (2), et, ôtant ce qui se détruit en vertu de l’équation (1), on aura, après avoir mis au lieu de et effacé les termes qui contiennent comme dans l’Article XIX l’équation

Or (Article XIII)

à très-peu près,

Et, en supposant que soient les valeurs de lorsque on aura

XXIV.

Résolution de l’équation (3)

1 La valeur de est, par l’Article IX, en négligeant les termes multipliés par les constantes très-petites

2 La valeur de est, par l’Article XIV [en mettant au lieu de et au lieu de comme dans l’Article précédent, et négligeant de plus la quantité infiniment petite du second ordre comme on l’a fait toujours],

3 On mettra, comme dans l’Article précédent, au lieu de au lieu de au lieu de et au lieu de on effacera le terme par les raisons alléguées (Article XIX), et, divisant toute l’équation (3) par on aura

Ce qui donne, en intégrant, après avoir mis au lieu de ,

On remarquera que la valeur de peut être négligée, parce qu’elle ne contiendra pas le diviseur qui se trouve dans les autres termes.

XXV.

Conséquences qui résultent des formules précédentes (8), (9), par rapport à la précession des équinoxes et à la nutation de l’axe de la Lune.

Si l’on fait, ce qui est permis,

D’où l’on voit :

1 Que, si n’est pas =0, l’inclinaison de l’équateur sera sujette à une diminution ou augmentation constante selon que sera positive ou négative ;

2 Que la valeur de c’est-à-dire la précession moyenne des équinoxes, sera

3 Que le pôle de l’équateur de la Lune décrira, pendant une révolution des nœuds de l’orbite par rapport aux nœuds de l’équateur, un petit cercle dont le rayon sera