Leçons sur le calcul des fonctions

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LEÇON PREMIÈRE.

LEÇON DEUXIÈME.

LEÇON TROISIÈME.

Avertissement

Les Leçons suivantes, destinées à servir de commentaire et de supplément à la première Partie de la Théorie des fonctions analytiques, offrent un cours d’Analyse sur cette partie du calcul qu’on nomme communément infinitésimale ou transcendante, et qui n’est proprement que le Calcul des fonctions.

Ceux qui ont étudié le Calcul différentiel pourront se former, dans ces Leçons, des notions simples et exactes de ce Calcul ils y trouveront aussi des formules et des méthodes nouvelles, ou qui n’ont pas encore été présentées avec toute la clarté et la généralité qu’on pourrait désirer.

Dans cette nouvelle Édition, on a retouché plusieurs endroits pour y mettre plus de clarté et de simplicité, et on a inséré différentes additions dont les principales se trouvent dans les Leçons dix-huitième, vingt et unième et vingt-deuxième. Cette dernière contient un traité complet du Calcul des variations.

Leçon 01

Sur l’objet du Calcul des fonctions et sur les fonctions en général.

Le Calcul des fonctions a le même objet que le Calcul différentiel pris dans le sens le plus étendu, mais il n’est point sujet aux difficultés qui se rencontrent dans les principes et dans la marche ordinaire de ce Calcul : il sert de plus à lier le Calcul différentiel immédiatement à l’Algèbre, dont on peut dire qu’il a fait jusqu’à présent une science séparée.

On connaît les difficultés qu’offre la supposition des infiniment petits, sur laquelle Leibnitz a fondé le Calcul différentiel. Pour les éviter, Euler regarde les différentielles comme nulles, ce qui réduit leur rapport à l’expression zéro divisé par zéro, laquelle ne présente aucune idée.

Maclaurin et d’Alembert emploient la considération des limites et regardent le rapport des différentielles comme la limite du rapport des différences finies, lorsque ces différences deviennent nulles.

Cette manière de représenter les quantités différentielles ne fait que reculer la difficulté ; car, en dernière analyse, le rapport des différences évanouissantes se réduit encore à celui de zéro à zéro.

D’ailleurs on peut observer que c’est improprement qu’on applique le mot connu de limite à ce que devient une expression analytique lorsqu’on y fait évanouir certaines quantités, parce que ces limites, après avoir décru jusqu’à zéro, pourraient encore devenir négatives. De même qu’en Géométrie, on ne peut pas dire à la rigueur que la soustangente soit la limite des sous-sécantes, parce que rien n’empêche la sous-sécante de croître encore lorsqu’elle est devenue sous-tangente.

Les véritables limites, suivant les notions des anciens, sont des quantités qu’on ne peut passer, quoiqu’on puisse s’en approcher aussi près que l’on veut ; telle est, par exemple, la circonférence du cercle à l’égard des polygones inscrit et circonscrit, parce que, quelque grand que devienne le nombre des côtés, jamais le polygone intérieur ne sortira du cercle, ni l’extérieur n’y entrera. Ainsi les asymptotes sont de véritables limites des courbes auxquelles elles appartiennent, etc.

Au reste je ne disconviens pas qu’on ne puisse, par la considération des limites envisagées d’une manière particulière, démontrer rigoureusement les principes du, Calcul différentiel, comme Maclaurin, d’Alembert et plusieurs auteurs après eux l’ont fait. Mais l’espèce de métaphysique que l’on est obligé d’y employer est sinon contraire, du moins étrangère à l’esprit de l’Analyse qui ne doit avoir d’autre métaphysique que celle qui consiste dans les premiers principes et dans les premières opérations fondamentales du calcul.

À l’égard de la méthode des fluxions, il est vrai qu’on ne peut considérer les fluxions que comme les vitesses avec lesquelles, les grandeurs varient, et y faire abstraction de toute idée mécanique ; mais la détermination analytique de ces vitesses dépend aussi, dans cette méthode, de la considération des quantités petites ou évanouissantes ; elle est par conséquent sujette aux mêmes difficultés que le Calcul différentiel.

Quand on approfondit ces différentes méthodes ou plutôt ces différentes manières d’envisager la même méthode, on trouve qu’elles n’ont d’autre but que de donner le moyen d’obtenir séparément les premiers termes du développement d’une fonction, en les détachant et les isolant, pour ainsi dire, du reste de la série, parce que tous les problèmes dont la solution exige le Calcul différentiel dépendent uniquement de ces premiers termes. Et l’on peut dire qu’on remplissait cet objet sans presque se douter que ce fût là le seul but des opérations du calcul qu’on employait.

La considération des courbes avait fait naître la méthode des infiniment petits, qu’on a ensuite transformée en méthode des évanouissants ou des limites, et la considération du mouvement avait fait naître celle des fluxions. On a transporté dans l’Analyse les principes qui résultaient de ces considérations ; et l’on n’a pas vu d’abord, ou du moins il ne paraît pas qu’on ait vu que les problèmes qui dépendent de ces méthodes, envisagés analytiquement, se réduisent simplement à la recherche des fonctions dérivées qui forment les premiers termes du développement des fonctions données, ou à la recherche inverse des fonctions primitives par les fonctions dérivées.

Newton avait bien remarqué dans sa première solution du problème sur la courbe décrite par un corps grave, dans un milieu résistant, que ce problème devait se résoudre par les premiers termes de la série de l’ordonnée ; mais il se trompa dans l’application de ce principe, et dans sa seconde solution il employa purement la méthode différentielle, en considérant les différences de quatre ordonnées successives ; et, quoiqu’il ait laissé subsister le passage où il dit que le problème se résoudra par les premiers termes de la série, on voit que ce passage n’a plus de rapport immédiat à ce qui précède ni à ce qui suit.

Il est donc plus naturel et plus simple de considérer immédiatement le développement des fonctions, sans employer le circuit métaphysique des infiniment petits ou des limites ; et c’est ramener le Calcul différentiel à une origine purement algébrique, que de le faire dépendre uniquement de ce développement.

Mais, à la naissance du Calcul différentiel, on n’avait pas encore une idée assez étendue de ce qu’on entend par fonction.

Les premiers analystes n’avaient employé ce mot que pour désigner les différentes puissances d’une même quantité ; on en a ensuite étendu la signification à toute quantité formée d’une manière quelconque d’une autre quantité ; et il est aujourd’hui généralement adopté pour exprimer que la valeur d’une quantité dépend, suivant une loi donnée, d’une ou de plusieurs autres quantités données.

Sous ce point de vue on doit regarder l’Algèbre comme la science des fonctions ; il est aisé de voir que la résolution des équations ne consiste, en général, qu’à trouver les valeurs des quantités inconnues en fonctions déterminées des quantités connues. Ces fonctions représentent alors les différentes opérations qu’il faut faire sur les quantités connues pour obtenir les valeurs de celles que l’on cherche, et elles ne sont proprement que le dernier résultat du calcul.

Mais, en Algèbre, on ne considère les fonctions qu’autant qu’elles résultent des opérations de l’Arithmétique, généralisées et transportées aux lettres, au lieu que, dans le Calcul des fonctions proprement dit, on considère les fonctions qui résultent de l’opération algébrique du développement en série lorsqu’on attribue à une ou à plusieurs quantités de la fonction des accroissements indéterminés.

Le développement des fonctions, envisagé d’une manière générale, donne naissance aux fonctions dérivées de différents ordres ; et, l’algorithme de ces fonctions une fois trouvé, on peut les considérer en ellesinnêmes et indépendamment des séries d’où elles résultent. Ainsi, une fonction donnée étant regardée comme primitive, on peut en déduire par des règles simples et uniformes d’autres fonctions que j’appelle dérivées ; et, lorsqu’on a une équation quelconque entre plusieurs variables, on peut passer successivement aux équations dérivées, et remonter de celles-ci aux équations primitives. Ces transformations répondent aux différentiations et aux intégrations ; mais, dans la théorie des fonctions, elles ne dépendent que d’opérations purement algébriques, fondées sur les simples principes du calcul.

Les fonctions dérivées se présentent naturellementdans la Géométrie, lorsqu’on considère les aires, les tangentes, les rayons osculateurs, etc. ; et dans la Mécanique, lorsqu’on considère les vitesses et les forces. Si l’on regarde, par exemple, l’aire d’une courbe comme fonction de l’abscisse, l’ordonnée en est la première fonction dérivée ou fonction prime ; le rapport de l’ordonnée à la sous-tangente est exprimé par la fonction prime de l’ordonnée, et par conséquentpar la seconde fonction dérivée ou fonction seconde de l’aire ; le rayon osculateur dépend des deux premières fonctions dérivées de l’ordonnée, et ainsi de suite. De même, en regardant l’espace parcouru comme fonction du temps, la vitesse en est la fonction prime et la force accélératrice en est la fonction seconde. Ce n’est peut-être pas un des moindres avantages du Calcul des fonctions de fournir, pour ces éléments de la Géométrie des courbes et de la Mécanique, des expressions aussi simples et intelligibles que le sont les expressions algébriques des puissances et des racines.

Lorsqu’on envisage une fonction relativement à une des quantités qui la composent, on fait abstraction de la valeur de cette quantité, et l’on ne considère que la manière dont elle est combinée avec elle-même et avec les autreg quantités. Ainsi la fonction estcensée demeurer la même, tandis que cette quantité varie d’une manière quelconque, pourvu que les autres quantités avec lesquelles elle est mêlée demeurent constantes ce qui introduit naturellement, par rapport aux fonctions, la distinction des quantités en variables et constantes.

Dans l’Algèbre ordinaire, on distingue simplement les quantités en connues et inconnues, et l’on a coutume de désigner les unes par les premières lettres de l’alphabet, et les autres par les dernières. L’application de l’Algèbre à la théorie des courbes a fait d’abord distinguer les quantités qui entrent dans l’équation d’une courbe en données, telles que les axes, les paramètres, etc., et en indéterminées, telles que les coordonnées. Depuis on a envisagé ces mêmes quantités sous l’aspect plus naturel de constantes et de variables et la considération des fonctions porte naturellement à regarder sous ce même point de vue les différentes quantités qui les composent.

Nous appellerons donc simplement fonctions d’une ou de plusieurs quantités toute expression de calcul dans laquelle ces quantités entreront d’une manière quelconque, mêlées ou non avec d’autres quantités regardées comme ayant des valeurs données et invariables, tandis que les quantités de la fonction sont censées pouvoir recevoir toutes les valeurs possibles.

Nous désignerons ordinairement les variables des fonctions par les dernières lettres de l’alphabet et les constantes par les premières Et, pour marquer une fonction d’une variable, nous ferons simplement précéder cette variable de la lettre caractéristique ou Ainsi désignera une fonction de désigneront des fonctions de de

Pour marquer une fonction de deux variables indépendantes comme nous écrirons et ainsi des autres. Lorsque nous voudrons employer d’autres caractéristiques, nous aurons soin d’en avertir.

Si deux fonctions de deux variables différentes c’est-à-dire l’une de et l’autre de y, sont composées de la même manière et avec les mêmes constantes, ces fonctions seront pareilles et pourront être désignées dans un même calcul par la même caractéristique ; ainsi et seront deux fonctions pareilles qui deviendront identiques en faisant Mais si, les deux fonctions étant composées de la même manière, les constantes qu’elles contiennent sont différentes, alors on ne pourra plus, généralement parlant, les représenter par la même caractéristique dans le cours d’un même calcul. Cependant, si les deux fonctions ne diffèrent, par exemple, que par la valeur d’une constante, qui serait dans l’une et dans l’autre, on pourra encore les désigner par la même caractéristique, en les représentant par et comme des fonctions pareilles de et de Ainsi, dans ce cas, les quantités et entreront aussi dans l’expression de la fonction, parce que, quoique constantes dans chaque fonction, elles peuvent être regardées comme variables d’une fonction à l’autre.

Nous n’entrerons ici dans aucun détail sur les différentes formes des fonctions ; mais nous allons considérer la dérivation des fonctions les unes des autres, dans laquelle consiste proprement le Calcul des fonctions.

Leçon 02

Considérons une fonction d’une variable quelconque Si à la place de on substitue étant une quantité quelconque indéterminée, elle deviendra et, par la théorie des séries, on pourra la développer en une suite de cette forme

Il est clair que la forme des fonctions dépendra uniquement de celle de la fonction donnée et l’on déterminera aisément ces fonctions, dans les cas particuliers, par les règles de l’Algèbre ordinaire, en développant la fonction dans une série ordonnée suivant les puissances de

Cette dérivation des fonctions est une opération plus générale que l’élévation aux puissances et l’extraction des racines, et les principaux problèmes d’Analyse, de Géométrie et de Mécanique en dépendent, comme on l’a montré dans la Théorie des fonctions analytiques.

Mais, pour ne rien avancer gratuitement, nous commencerons par examiner la forme même de la série qui doit résulter du développement de toute fonction lorsqu’on y substitue au lieu de et que nous supposons ne devoir contenir que des puissances entières et positives de Cette supposition se vérifie en effet par le développement des différentes fonctions connues ; mais personne, que je sache, n’avait cherché à le démontrer a priori, ce qui me paraît néanmoins d’autant plus nécessaire qu’il y a des cas particuliers où elle peut ne pas avoir lieu.

Je vais d’abord démontrer que, dans la série qui résulte du développement d’une fonction il ne peut se trouver aucune puissance fractionnaire de à moins qu’on ne donne à des valeurs particulières.

En effet, il est clair que les radicaux de ne pourraient venir que des radicaux renfermés dans la fonction même et il est clair, en même temps, que la substitution de au lieu de ne pourrait ni augmenter ni diminuer le nombre des radicaux, ni en changer la nature, tant que et seront des quantités indéterminées. D’un autre côté, on sait, par la théorie des équations, que tout radical a autant de valeurs différentes, ni plus ni moins, qu’il y a d’unités dans son exposant, et que toute fonction irrationnelle a par conséquent autant de valeurs différentes qu’on peut faire de combinaisons des différentes valeurs des radicaux qu’elle renferme. Donc, si le développement de la fonction pouvait contenir un terme de la forme la fonction serait nécessairement irrationnelle, et aurait par conséquent un certain nombre de valeurs différentes, qui serait le même pour la fonction ainsi que pour son développement. Mais ce développement étant représenté par la série

Cette démonstration est générale et rigoureuse, tant que et demeurent indéterminés. Elle cesserait de l’être, si l’on donnait à des valeurs déterminées ; car il serait possible que ces valeurs détruisissent quelques radicaux dans qui pourraient néanmoins subsister dans Nous examinerons à part ces sortes de cas et les conséquences qui en résultent.

Nous venons de voir que le développement de la fonction ne saurait contenir en général des puissances fractionnaires de il est facile de voir aussi qu’il ne pourra contenir non plus des puissances négatives de

Car, si parmi les termes de ce développement il y en avait un de la forme étant un entier positif, en faisant ce terme deviendrait infini ; donc la fonction devrait devenir infinie lorsque par conséquent, il faudrait que devînt infinie, ce qui ne peut avoir lieu que pour des valeurs particulières de

Nous sommes donc assurés que, exprimant une fonction quelconque de x, la fonction peut, généralement parlant, se développer en une série de cette forme

Quoique la forme de ces fonctions dérivées dépende essentiellement de celle de la fonction primitive, il règne néanmoins entre elles une loi générale que nous allons exposer.

Supposons que l’indéterminée soit changée en étant une quantité quelconque indéterminée, et indépendante de il est visible que la fonction deviendra et l’on voit en même temps que l’on aurait le même résultat, si l’on mettait, dans à la place de Donc aussi le résultat sera le même, soit qu’on substitue à la place de ou à la place de dans la série qu’on suppose égale à la fonction

La substitution de au lieu de dans cette série, donnera

savoir, en développant les puissances de et n’écrivant, pour abréger, que les deux premiers termes de chaque puissance, parce que la comparaison de ces termes suffit pour notre objet,

Pour faire maintenant la substitution de au lieu de dans la même série, nous observons que, puisque la fonction devient lorsqu’on change en elle deviendra en y changeant en De même, si sont ce que deviennent les fonctions lorsqu’on y substitue au lieu de et qu’on les développe suivant les puissances de on aura, en changeant en

Donc, par cette substitution, la série deviendra, en omettant les termes qui contiendraient le carré et les puissances plus hautes de

Ce résultat doit être identique avec le précédent, indépendamment des valeurs de et de qui peuvent être quelconques ; il faudra donc que les termes affectés des mêmes puissances et produits de et soient identiques en particulier. Ainsi on aura les équations identiques

Dénotons en général par la fonction dérivée de la fonction en mettant un accent à la caractéristique pour indiquer la dérivation de la fonction. Dénotons de même par la fonction dérivée de la fonction en ajoutant un accent à la caractéristique de la fonction d’où elle est dérivée. Dénotons pareillement par la fonction dérivée de x), et ainsi de suite.

Ces fonctions ne seront autre chose que les coefficients de dans les premiers termes des développements des fonctions

On aura ainsi et comme est la fonction dérivée de on aura et, par conséquent, Ensuite, étant la fonction dérivée de on aura et, par conséquent, et ainsi de suite.

Donc, substituant ces expressions dans la série

Cette expression du développement de a l’avantage de faire voir comment les termes de la série dépendent les uns des autres, et surtout comment, lorsqu’on sait former la première fonction dérivée d’une fonction primitive quelconque, on peut former toutes les fonctions dérivées que la série renferme.

Nous appellerons la fonction fonction primitive, par rapport aux fonctions qui en dérivent ; et nous appellerons celles-ci fonctions dérivées, par rapport à celle-là. Nous nommerons de plus la fonction dérivée première fonction dérivée, ou fonction dérivée du premier ordre, ou simplement fonction prime ; la fonction dérivée de celle-ci, seconde fonction dérivée, ou fonction dérivée du second ordre, ou simplement fonction seconde ; la fonction dérivée de la précédente, troisième fonction dérivée, ou fonction dérivée du troisième ordre, ou simplement fonction tierce, et ainsi de suite.

Mais nous entendrons toujours par fonction dérivée simplement la première fonction dérivée, et par fonction primitive celle d’où elle est censée dérivée. Nous leur donnerons aussi quelquefois, pour plus de simplicité, le simple nom de dérivées ou de primitives.

Si la fonction primitive n’est pas représentée par la caractéristique mais par une autre variable, comme lorsqu’on suppose fonction de donnée par une équation quelconque entre et alors on pourra dénoter de même ses fonctions dérivées par des accents ou traits appliqués la lettre et les appeler simplement prime, seconde, tierce, etc.

Ainsi, étant regardée comme une fonction quelconque de ses fonctions dérivées seront représentées par de sorte que, étant la fonction primitive, sera sa fonction dérivée du premier ordre, ou fonction prime, sera la fonction dérivée du second ordre ou fonction seconde, etc., et on les nommera prime, seconde, etc.

De cette manière, devenant la valeur de deviendra

En général, si l’on a une expression quelconque en on pourra désigner ses fonctions dérivées par des traits appliqués à la même expression renfermée entre deux parenthèses. Ainsi

Et, si l’on a une fonction de plusieurs variables, exprimée en général par on dénotera ses fonctions dérivées relatives à toutes ces variables, en appliquant un, deux, … traits à la carac- ristique ainsi dénotera sa fonction prime, sa fonction seconde, etc.

Quoique les fonctions dérivées doivent leur origine au développement de la fonction primitive lorsqu’on augmente la variable d’une quantité quelconque on voit qu’elles sont indépendantes de cette même quantité qui ne sert, pour ainsi dire, que comme un outil pour former ces fonctions. Ainsi, dès qu’on aura trouvé, par la considération du premier terme du développement, des règles générales pour passer d’une fonction primitive à la fonction dérivée, on pourra faire abstraction de tout développement, et regarder la dérivation des fonctions comme une nouvelle opération d’Algèbre plus générale et d’une beaucoup plus grande étendue que l’élévation aux puissances.

Ceux qui savent le Calcul différentiel n’auront pas de peine à se convaincre que les fonctions dérivées reviennent aux quantités qu’on désigne dans ce Calcul par

Leçon 03

Fonctions dérivées des puissances. Développement d’une puissance quelconque d’un binôme.

Puisque toute fonction dérivée du premier ordre n’est autre chose que le coefficient de dans le développement de la fonction primitive après la substitution de à la place de il s’ensuit que la recherche de la fonction dérivée d’une puissance quelconque se réduit à trouver le terme affecté de dans le développement de la puissance suivant les puissances de

Lorsque l’exposant est un nombre quelconque entier ou fractionnaire, positif ou négatif, on démontre facilement, par les premières opérations de l’Algèbre, que les deux premiers termes de la puissance du binôme sont ainsi, lorsque ou étant un coefficient quelconque, on aura

Comme tout nombre irrationnel peut être renfermé entre des limites rationnelles aussi resserrées que l’on veut, on en pourrait conclure tout de suite la vérité du résultat précédent pour une valeur quelconque irrationnelle de puisqu’on peut, en resserrant les limites, diminuer l’erreur à volonté. Mais, comme il est plutôt question ici de la forme même de la fonction dérivée que de sa valeur absolue dans chaque cas particulier, nous croyons, pour ne rien laisser à désirer sur cette proposition fondamentale, devoir en donner une démonstration aussi générale que rigoureuse.

Puisque

On aura donc aussi, pour un autre exposant quelconque

Ainsi sera le coefficient de dans le développement de la puissance Mais ce coefficient doit être représenté par puisque la fonction devient en y substituant pour Donc il faudra que la fonction désignée par la caractéristique soit telle que l’on ait

Pour trouver d’une manière générale la forme de la fonction diaprés cette condition, je supposerai que la quantité soit changée en et que la quantité le soit en étant quelconque ; alors la fonction demeurera la même, et les fonctions deviendront

La première de ces conditions donne

On aura donc

Tout se réduit donc à trouver la valeur de la fonction primitive d’après la fonction dérivée

Or il est facile de voir que ne peut être que de la forme étant une constante arbitraire ; car on peut se convaincre qu’il n’y a que cette expression qui puisse donner pour sa fonction dérivée.

On peut d’ailleurs le démontrer directement comme il suit puisqu’on a en général

Substituant cette valeur de on aura en général

dantes de dont la valeur doit se déterminer par la considération de quelques cas particuliers.

Pour cela, on fera d’abord et l’on aura

D’où l’on conclura enfin

Donc, puisque

La démonstration précédente ne laisse rien à désirer pour la rigueur et la généralité. Elle ne dépend que des fonctions dérivées de la forme la plus simple, et fournit, dès le commencement, un exemple remarquable de leur usage dans l’Analyse.

On peut donc établir pour règle générale que la fonction dérivée d’une puissance quelconque d’une variable est égale à la puissance d’un degré moindre d’une unité de la même variable, multipliée par l’exposant de la puissance donnée.

De là et de la loi du développement des fonctions résulte une démonstration aussi simple que générale, et peut-être la seule rigoureuse qu’on ait encore donnée de la formule du binôme pour un exposant quelconque.

En effet, puisqu’on vient de trouver que

donne

Donc, puisqu’on a trouvé, en général,

Si l’on divise toute l’équation par et qu’on y mette ensuite à la place de on aura

Cette formule résulte de la précédente en y faisant mais il n’aurait pas été rigoureux de l’en déduire de cette manière, puisqu’on a déjà remarqué que le développementde la fonction en puissances entières de peut cesser d’être exact dans des cas particuliers de la valeur de

Si maintenant on multiplie l’équation précédente par et qu’on y substitue ensuite à la place de on aura

La méthode, que nous avons employée plus haut pour trouver direc- tement la fonction primitive d’une quantité constante, peut être appliquée à d’autres cas. En effet, si dans la formule générale

Si maintenant on aura

Si on aura

Si on aura

En général, si on aura, en prenant les fonctions dérivées,

donc, substituant ces valeurs,

Or on a, par le développement,

En effet, la fonction dérivée de cette quantité sera, par la règle générale,

Leçon 04

Fonctions dérivées des quantités exponentielles et logarithmiques. Développement de ces quantités en séries.

La fonction dans laquelle est la variable et est une constante, conduit naturellement à la considération de la fonction dans laquelle la variable est et où est une constante. Ces sortes de quantités s’appellent exponentielles, parce qu’elles ne varient qu’à raison de l’exposant.

Pour trouver la fonction dérivée de il n’y aura, suivant le principe général, qu’à substituer à la place de et développer suivant les puissances de le coefficient du terme affecté de sera la fonction cherchée.

Cette substitution donne la fonction

Supposons on aura

En ordonnant les termes de cette série suivant les puissances de il est facile de voir que les deux premiers termes du développement de seront

Soit, pour agréger,

Le coefficient dépend, comme l’on voit, de la quantité qui est comme la base de l’exponentielle, et l’on nomme communément ce coefficient le module.

On peut ainsi établir cette règle, que la foncton dérivée d’une quantité exponentielle est égale à cette exponentielle multipliée par un coefficient constant qui dépend de la base de l’exponentielle, et qu’on nomme le module.

Puisque la dérivée de est la dérivée de celle-ci sera et la dérivée de cette dernière sera de même et ainsi de suite.

Ainsi, en faisant on aura

Donc, substituant ces valeurs dans le développementde on aura

C’est la série dont nous n’avions trouvé ci-dessus que les deux premiers termes. Elle peut servir, comme l’on voit, à réduire toute puissance en une série ordonnée suivant les puissances de son exposant.

On peut par cette série déterminer directement la valeur de en

En faisant on aura

Et, lorsque la valeur de se trouvera exprimée par la série très simple

C’est le nombre qu’on désigne ordinairement par et qui est par conséquent la base des exponentielles dont le module est l’unité.

Ainsi, en faisant on aura simplement et conséquemment

Si, dans l’équation trouvée ci-dessus

Ainsi l’on a entre les trois constantes et la relation

Cette équation donne aussi

donnée ci-dessus, on aura

Cette série est plus propre que la précédente à donner la valeur de lorsque est un nombre plus grand que l’unité.

En faisant on a

On peut exprimer toute quantité variable par une constante élevée à une puissance variable ; alors l’exposant de cette puissance devient une fonction de la même quantité, et cette fonction est, dans le sens le plus général, le logarithme de la quantité proposée. D’où l’on voit que les fonctions logarithmiques ne sont proprement que les réciproques des fonctions exponentielles.

Nous dénotons, en général, les logarithmes d’une quantité par le mot mis en avant de cette quantité en forme de caractéristique. Ainsi exprimera le logarithme ou la fonction logarithmique de et cette fonction sera donnée par l’équation où base de l’exponentielle, sera en même temps la base du système logarithmique.

Pour trouver maintenant la fonction dérivée de on fera, en général,

en posant

Donc, remettant pour sa valeur, et ordonnant les termes suivant les puissances de on aura cette équation identique

La comparaison des autres termes donnera les valeurs de mais il est plus simple de les déduire successivement de celle de

La constante dépend de la base du système logarithmique, par les mêmes formules que nous avons trouvées plus haut : relativement, aux logarithmes, elle s’appelle le module du système logarithmique.

De là résulte cette règle générale, que la fonction dérivée du loga- rithme d’une variable est égale à l’unité divisée par celle variable multipliée par le module du système logarithmique.

Puisque

Ayant ainsi le logarithme d’un nombre quelconque on peut par cette série trouver celui d’un autre nombre plus grand et la série sera d’autant plus convergente que la différence des deux nombres aura un moindre rapport au nombre

Par la théorie des logarithmes, on a

Soit on aura

Cette série n’est convergente et par conséquent ne peut servir à trouver le logarithme d’un nombre donné que lorsque ce nombre diffère peu de l’unité ; mais on peut la rendre convergente, dans tous les cas, par la substitution de au lieu de car, puisque est égal à on aura, en multipliant par

Or, quel que soit le nombre on peut toujours en extraire la racine d’un degré tel que soit un nombre aussi peu différent de l’unité qu’on voudra ; ainsi la formule précédente donnera toujours la valeur de avec toute l’exactitude qu’on pourra désirer.

Si l’on prend négativement, alors devient et la série qui exprime devient, en changeant les signes,

Si est la base des logarithmes, en sorte que on pourra, par les mêmes formules, déterminer aussi exactement qu’on voudra la valeur du module car, en faisant on aura

Il est clair que les deux séries que nous venons de donner pour l’expression de logz seront nécessairement convergentes aussitôt qu’on aura extrait de une racine telle que soit une fraction moindre que l’unité ; car alors sera une fraction plus petite encore, puisque

Ainsi, puisque dans la première série les termes sont alternatifs, le second et le troisième, le quatrième et le cinquième, etc., formeront des sommes négatives ; de sorte que la première série donnera

Au contraire, la seconde série, ayant tous ses termes positifs, donnera

Ainsi l’on a tout de suite deux limites pour la valeur de qu’on peut resserrer autant que l’on veut, en prenant toujours plus grand.

On aura, par la même raison, si

Puisqu’on a

Ainsi l’on sera sûr d’avoir, par ces expressions, les logarithmes exacts jusqu’à chiffres, en prenant la racine de telle manière qu’il y ait après la virgule zéros avant les chiffres significatifs.

En général, puisque l’erreur va en diminuant à mesure que l’on prend l’exposant de la racine plus grand, on peut dire qu’elle deviendra nulle ou comme nulle, si l’on prend infiniment grand de sorte qu’on pourra regarder alors l’une et l’autre des deux formules