Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin

Addition aux premières recherches sur la nature et la propagation du son

ayant fait l’honneur à ma solution du Problème des cordes vibrantes, de l’attaquer sur quelques points par un écrit particulier, imprimé dans le Tome I de ses Opuscules mathématiques, je vais ajouter ici de nouveaux éclaircissements sur l’analyse de cette solution, qui serviront en même temps de réponse aux objections de cet illustre Géomètre et de confirmation à ma théorie.

I.

La solution en question n’est qu’une application de la formule trouvée dans le Chapitre III de la première Partie (page 72), pour le mouvement d’un fil chargé d’un nombre quelconque de poids, au cas où l’on suppose ce nombre infini ; c’est cette application qui a paru a susceptible de plusieurs difficultés.

1 La formule dont je viens de parler, étant composée d’une suite de termes qui renferment successivement les sinus de tous les arcs

sinus. m’objecte que cela n’est permis que pour tout angle étant un nombre fini, et nullement pour les angles Cette objection prise en elle-même est solide et sans réplique ; mais elle perd toute sa force si on la considère par rapport à la formule dont il s’agit, car je vais prouver directement et invinciblement que les expressions

En remontant à l’analyse du Chapitre cité, il est aisé de trouver que toutes ces expressions viennent (XXI) de l’expression générale

Pour y parvenir, je remarque d’abord (XIX) que

c’est-à-dire de l’équation

Qu’on suppose en sorte que et qu’on mette cette valeur de dans l’équation ci-dessus, il viendra

ce qui donne étant un nombre quelconque entier ; donc donc

2 prétend que j’ai tort de regarder en général l’expression comme égale a zéro, lorsque ().

Je conviens que je ne me suis pas exprimé assez exactement, en disant que est toujours égal à un nombre entier, parce que mais ma proposition n’en est pas moins vraie pour cela. Car on voit par le n que est mis au lieu de qui est de lui-même un nombre entier ; et, à l’égard de il sera aussi un nombre entier, en regardant comme commensurable avec c’est-à-dire en supposant supposition qui est évidemment permise et qui n’apportera pas la moindre limitation à ma solution.

3 attaque aussi les calculs que j’ai faits dans le Chapitre VI pour trouver d’une manière directe et générale la somme d’une suite infinie, telle que

La méthode que j’ai employée dans cette recherche est très-simple ; après avoir transformé la suite proposée en deux autres composées de simples cosinus, j’ai mis à la place de chacun de ces cosinus son expression exponentielle imaginaire, et j’ai cherché la somme de suites résultantes par la méthode ordinaire de la sommation des séries géométriques, en supposant le dernier terme nul comme on le fait communément lorsque la série va à l’infini. m’objecte que cette supposition n’est point exacte, parce que dans la suite

Or je demande si, toutes les fois que dans une formule algébrique il se trouvera par exemple une série géométrique infinie, telle que on ne sera pas en droit d’y substituer quoique cette quantité ne soit réellement égale à la somme de la série proposée qu’en supposant le dernier terme nul. Il me semble qu’on ne saurait contester l’exactitude d’une telle substitution sans renverser les principes les plus communs de l’analyse.

apporte encore un argument particulier pour prouver que la somme de la suite

Je réponds qu’avec un pareil raisonnement on soutiendrait aussi que n’est point l’expression générale de la somme de la suite infinie parce que, en faisant on a ce qui est, ou ou selon que le nombre des termes qu’on prend est pair ou impair, tandis que la valeur de est Or je ne crois pas qu’aucun Géomètre voulût admettre cette conclusion.

II.

Quand même les objections auxquelles nous venons de répondre seraient fondées, ne pourrait pas se dispenser de convenir que les résultats de ma théorie sont nécessairement exacts dans les cas où ces résultats s’accordent avec ceux qu’il a trouvés par la sienne ; ce qui arrive quand la corde a une certaine figure au commencement du mouvement. Or toutes les objections que m’a faites jusqu’ici sont absolument indépendantes de la figure initiale de la corde ; donc, puisque ses objections n’empêchent point ma solution d’être exacte lorsque cette figure a certaines conditions, elles ne l’empêcheront pas non plus d’être exacte en général, quelle que soit la figure initiale de la corde.

Ce raisonnement est simple, et ne peut pas avoir échappé au savant Géomètre dont nous parlons ; aussi s’est-il attaché dans la suite à combattre seulement la généralité de ma solution, et à la borner comme la sienne aux courbes assujetties à la loi de continuité. Il se fonde sur ce que j’ai fait usage de la méthode de pour trouver la valeur d’une quantité qui, dans certains cas, est méthode qui suppose que la quantité proposée soit une fonction algébrique.

Mais je le prie de faire attention que, dans ma solution, la détermination de la figure de la corde à chaque instant dépend uniquement des quantités et lesquelles n’entrent point dans l’opération dont il s’agit. Je conviens que la formule à laquelle j’applique la méthode de est assujettie à la loi de continuité ; mais il ne me paraît pas s’ensuivre que les quantités et qui constituent le coefficient de cette formule, le soient aussi, comme le prétend.

III.

Je viens maintenant aux difficultés que a faites contre la théorie de , et qui peuvent aussi s’appliquer à la mienne ; ce sont celles qui regardent la construction que a donnée pour trouver la figure de la corde à chaque instant ; construction qui est précisément la même que celle qui résulte de ma théorie (XL).

1 prétend que cette construction ne peut satisfaire à l’équation de la corde vibrante

« Soit pris, dit-il dans le § VII du Mémoire sur les vibrations de Cordes sonores, imprimé dans le même volume, , sur l’axe donc, regardant comme constante, et faisant on aura

il s’ensuit que en ne faisant varier que est

2 Faisant nous aurons

Je réponds que, dans l’équation générale

l’ordonnée telle que et en menant les cordes

2 prétend ensuite que la courbure doit être nulle aux extrémités et « Car soit, dit-il dans le § VIII, et égaux à on a, en ne faisant varier que

Ce raisonnement est semblable à celui auquel je viens de répondre, et se réfute par conséquent de la même manière. En effet, la valeur de au point n’est pas

3 Autre argument de pour prouver que la courbure doit être uniforme dans chaque portion infiniment petite de la courbe Il donne à la différence deux valeurs différentes à volonté, et il trouve que, pour que la valeur de soit toujours la même et égale à celle de il faut que les flèches qui appartiennent à différents arcs infiniment petits soient toujours proportionnelles aux carrés des portions correspondantes de l’axe ; ce qui ne peut avoir lieu que dans des arcs de courbure uniforme, comme le démontre fort au long dans le § X de son Mémoire.

À cela je répondrai qu’il n’est nullement nécessaire, pour la géné- ralité de ma solution, que les différences demeurent indéterminées et puissent être supposées quelconques, comme je l’ai déjà remarqué plus haut. Il me suffit qu’on prenne toujours

4 apporte de plus une raison métaphysique pour faire voir en général que le mouvement de la corde ne peut être représenté par aucune construction quand la courbure fait un saut en quelque point de la courbe initiale. « C’est, dit-il dans le § XI, que dans ce cas il y a proprement au point deux rayons osculateurs différents, quoique coïncidents quant à la direction, dont l’un appartient à la portion de courbe et l’autre à la portion de courbe Or la force accélératrice en chaque point de la corde étant en raison inverse du rayon osculateur, lequel des deux rayons communs au point doit servir à déterminer la force en ce point ? C’est ce qu’il est impossible de fixer, et il l’est par conséquent aussi de résoudre le Problème dans ce cas-là. En effet, supposons que la figure initiale de la corde soit composée de deux différentes courbes ainsi réunies en ; je demande quelle est la force accélératrice du point , lorsque la corde commence à se mouvoir ? »

La réponse est bien simple : la courbe étant continue, il est clair qu’on peut toujours prendre, à quelque point que ce soit, trois ordonnées consécutives et infiniment proches or les différences de ces trois ordonnées constituent la valeur de à laquelle la force accélératrice du point du milieu est nécessairement proportionnelle par la nature du Problème, quel que soit d’ailleurs le rayon osculateur en ce point.

5 fait voir dans le même paragraphe, que si la courbure n’était pas nulle en il s’ensuivrait de la construction de et de la mienne, qu’il y aurait un saut dans le qui répond à un point quelconque lorsque savoir que sa force accélératrice passerait brusquement et sans degrés de la valeur qu’elle a en cet instant à une autre valeur, qui différerait de celle-là d’une quantité du même ordre ; ce qui serait contraire à la nature de la force accélératrice.

Je réponds que cet inconvénient aurait lieu en effet, si les forces accélératrices qui agissent sur chaque point de la corde à chaque instant avaient une valeur finie ; mais, dans notre cas, ces forces sont toujours infiniment petites, puisqu’on suppose infiniment petit, par rapport à par conséquent l’accroissement de la force du point sera aussi infiniment petit ; ce qui n’a plus rien de choquant.

6 ajoute encore une nouvelle considération pour prouver que le mouvement de la corde ne peut être soumis à aucun calcul analytique quand la courbure est finie en et « Qu’on se représente, dit-il, § XII, la corde au commencement de son mouvement ; si la courbure n’est pas nulle en le rayon osculateur y sera donc fini ; par conséquent la force accélératrice y sera aussi finie et tendra à donner du mouvement au point cependant ce point étant fixement arrêté est incapable de se mouvoir ; ainsi, d’un côté est finie lorsque et lorsque et de l’autre est toujours égal à zéro au point quelle que soit la valeur de La nature en ce point arrête, pour ainsi dire, brusquement le calcul ; on a deux forces accélératrices voisines et infiniment peu différentes, l’une au point l’autre au point infiniment proche de celui-là ; la seconde de ces forces produit un mouvement, la première n’en saurait produire, quoique par l’équation

ainsi la loi du mouvement n’étant pas continue pour tous les points de la courbe, ne peut être représentée avec exactitude par l’équation dont il s’agit. »

À cela je réponds :

1 Qu’il ne me paraît nullement exact de dire que la force accélératrice est finie en et tend à donner du mouvement à ce point. Car il est facile de voir que les points et par où la corde est attachée, ne sont réellement sollicités par aucune force accélératrice perpendiculaire à l’axe, mais simplement tirés par la force de tension de la corde, laquelle agit presque dans la direction même de l’axe, et qui doit être détruite par l’hypothèse du Problème.

2 Sans m’embarrasser de la valeur, quelle qu’elle soit, du rayon osculateur en et je considère que le qui répond exactement à ces points, est toujours nul de lui-même, suivant ma construction, comme on l’a fait voir plus haut. D’où je conclus que le calcul est parfaitement d’accord avec la nature.

Voilà les principales objections de sur la construction que et moi avons donnée pour le mouvement des cordes vibrantes. Il me paraît d’y avoir pleinement satisfait, et d’avoir montré en même temps que cette construction a toute la généralité dont la question est susceptible.

Quant aux autres difficultés que propose dans le même Mémoire contre la théorie de , et qui sont tirées de la considération des fonctions algébriques, il est clair qu’elles ne touchent point à ma solution, mais servent seulement à confirmer ce que j’avais déjà avancé (XV) sur l’insuffisance de la méthode de ces deux grands Géomètres, pour conduire à une théorie exacte et complète du mouvement des cordes sonores.

Au reste, quelque générale que soit la solution que j’ai trouvée de cet important Problème, je suis bien éloigné de penser qu’elle puisse donner le vrai mouvement de la corde, quand sa figure est composée de deux ou plusieurs lignes qui font des angles entre elles ; car il est évi- dent que l’équation différentielle

Application de la méthode exposée dans le Mémoire précédent à la solution de différents Problèmes de Dynamique

, dans une Addition à son excellent ouvrage qui a pour titre : Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes : sive solutio Problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti, a démontré ce principe que, dans les trajectoires que des corps décrivent par des forces centrales, l’intégrale de la vitesse, multipliée par l’élément de la courbe, fait toujours un maximum ou un minimum.

Je me propose ici de généraliser ce même principe, et d’en faire voir l’usage pour résoudre avec facilité toutes les questions de Dynamique.

Principe général. — Soient tant de corps qu’on voudra qui agissent les uns sur les autres d’une manière quelconque, et qui soient de plus, si l’on veut, animés par des forces centrales proportionnelles à des jonctions quelconques des distances ; que dénotent les espaces parcourus par ces corps dans le temps et que soient leurs vitesses à la fin de ce temps ; la formule

I.

Problème I. — Trouver le mouvement d’un corps attiré vers tant de centres fixes qu’on voudra par des forces exprimées par des fonctions quelconques des distances.

Solution. — Comme il n’y a ici qu’un seul corps la formule qui doit être un maximum ou un minimum sera simplement on aura donc, suivant la méthode expliquée dans le Mémoire précédent, l’équation

Soient les distances du corps aux centres des forces on aura, comme tous les Géomètres le savent,

par parties les termes

Il faut maintenant chercher le rapport que les différences ont entre elles, ce qui se fera différemment selon les différentes sortes de coordonnées qu’on emploiera pour représenter la trajectoire. Et, premièrement, soient prises trois coordonnées rectangles on aura

Qu’on fasse disparaître dans cette expression les différentielles de \delta x,\delta y,\delta z par la méthode des intégrations par parties, pratiquée dans le Mémoire précédent, on aura la transformée suivante :

Il ne s’agit plus que d’exprimer les différences par les Pour cela, on cherchera les valeurs analytiques des lignes rapportées aux coordonnées et on prendra leurs différentielles en mettant pour Soit supposé, en général,

Faisant toutes ces différentes substitutions dans l’équation (A), elle deviendra

équation qui doit avoir lieu, quelques valeurs qu’on suppose aux différences c’est pourquoi l’on fera les trois équations suivantes :

Si on met au lieu de qu’on multiplie la première équation par la seconde par la troisième par et qu’ensuite on les intègre, on aura

II.

Remarque. — Quant aux termes

fera évanouir les premiers et les derniers \delta x,\delta y,\delta z, et par conséquent aussi tous les termes en question. (Voyez l’ du Mémoire précédent.)

III.

Corollaire. — Imaginons que le mobile sollicité par les mêmes forces soit contraint de se mouvoir sur une surface courbe donnée par l’équation en changeant en on aura substituant cette valeur de dans l’équation (B), et faisant les deux coefficients de et de chacun égal à zéro, on aura deux équations

IV.

Autre solution. — Qu’on prenne, à la place des deux coordonnées rectangles un rayon variable qui tourne autour d’un point fixe dans le même plan des et des et dont la position à chaque instant soit déterminée par un angle Conservant la troisième coordonnée qu’on imaginera élevée de l’extrémité du rayon perpendiculairement au plan de l’angle il est facile de trouver que l’élément de la courbe sera

Mettant donc cette valeur dans la formule intégrale et faisant disparaître les différentielles de par la voie ordinaire des intégrations par parties, on aura

Après la substitution de cette valeur de dans l’équation (A) de l’Article I, il n’y aura plus qu’à réduire les différences aux différence Pour cela soit supposé, en général,

les trois premiers termes de cette équation le seront aussi. Donc, pour satisfaire au reste de l’équation, indépendamment des différences indéterminées \delta\varphi,\delta x,\delta z, on fera chacun de leurs coefficients égal à zéro, et l’on aura pour les équations générales du mouvement du corps

savoir, à cause de

Enfin, la troisième équation étant multipliée par et ensuite intégrée, deviendra

V.

Corollaire. — Si le corps était obligé de se mouvoir sur une surface courbe donnée, alors rapportant cette surface aux trois variables et la supposant exprimée par l’équation

VI.

Remarque I. — Nous avons supposé que les forces étaient comme des fonctions quelconques des distances cependant il est facile de démontrer, par les principes de Dynamique, que les équations trouvées sont générales pour toutes sortes de forces accélératrices, et l’on peut d’ailleurs s’en convaincre par cette seule raison que les équations dont il s’agit ne renferment point la loi suivant laquelle les forces croissent ou décroissent, mais seulement les quantités et les directions instantanées de ces forces, comme il est aisé de le voir en substituant pour et leurs valeurs. Au reste, à examiner les solutions précédentes, il est évident que l’hypothèse de

savoir

VII.

Remarque II. — Ce Problème est le seul auquel ait appliqué son principe. Il l’a aussi résolu pour les deux cas des coordonnées rectangles et des rayons partant d’un centre fixe. Mais pour pouvoir comparer ses solutions avec les nôtres, il faut remarquer :

1 Que n’a considéré que des courbes à simple courbure ;

2 Qu’il n’a cherché le maximum ou le minimum de la formule qu’eu égard à la variabilité de l’ordonnée dans le premier cas, et à celle de l’angle que nous avons nommé dans le second. (Voyez l’Addition citée au commencement de ce Mémoire.)

Au reste, il est clair que par notre méthode on pourra encore varier la solution de ce Problème en plusieurs autres manières, selon les différentes sortes de coordonnées qu’on choisira pour représenter la trajectoire cherchée.

VIII.

Problème II général. — Soit un système quelconque de plusieurs corps, qui soient sollicités par tant de forces centrales qu’on voudra, savoir : par les forces par les forces par les forces et qui agissent de plus les uns sur les autres par des forces quelconques d’attraction mutuelle ; trouver le mouvement de chacun de ces corps.

Solution. — Tout se réduit à rendre la formule

Maintenant, soient les distances du corps aux centres des forces et celles des autres corps aux centres de leurs forces Soient, outre cela, la distance entre le corps et le corps et la force avec laquelle chaque point de l’un attire chaque point de l’autre ; de même la distance entre les corps et et leur force d’attraction, et ainsi de suite. Soient encore la distance entre le corps et le corps et leur attraction, et ainsi pour tous les autres corps ; on aura, par le principe général de la conservation des forces vives, l’équation

Il faut maintenant trouver les valeurs des différences et cette recherche dépend, comme on le voit, de la nature des coordonnées qu’on emploie pour représenter les courbes décrites par chaque corps.

IX.

Premier cas. — Soient, comme dans l’, trois coordonnées rectangles qui déterminent la position du corps dans un temps quelconque, et soient de même d’autres coordonnées rectangles et parallèles à celles-là pour la position des autres corps dans le même temps ; on aura, comme dans l’Article cité,

Qu’on substitue ces valeurs dans l’équation (D), et qu’on fasse disparaître, comme à l’ordinaire, les différentielles de on aura, en négligeant tous les termes hors du signe qui peuvent être supposés nuls par la remarque de l’,

Il ne s’agira plus maintenant que de substituer dans cette équation, au lieu de

sa valeur tirée de l’équation (U), et de réduire ensuite les différences

X.

Corollaire. — Supposons le système entièrement libre, et que les corps agissent les uns sur les autres d’une manière quelconque ; supposons outre cela que tous les corps soient sollicités par trois forces dirigées parallèlement aux coordonnées et qui soient les mêmes pour chacun d’eux ; on mettra dans l’équation (U) à la place de et l’on aura

Cette valeur de étant substituée dans l’équation (E), soit fait

Or,

donc, ces équations deviendront celles-ci :

d’où l’on voit que si l’on prend à chaque instant dans le système un point tel que sa position soit déterminée par trois coordonnées, l’une parallèle à et égale à

XI.

Second cas. — Soit pris, comme dans l’, au lieu des deux coordonnées rectangles et un rayon vecteur avec un angle et soient de même substitués aux autres coordonnées les rayons vecteurs partant du même point fixe que le rayon avec les angles correspondants pris dans le même plan de l’angle on trouvera, comme dans l’Article cité,

et de même

XII.

Corollaire. — Si le système est entièrement libre ou qu’il soit simplement assujetti à se mouvoir autour d’un point fixe, et que toutes les forces sollicitatrices des corps concourent à ce point, prenant ce point pour le centre des rayons vecteurs et faisant,

différences quelle que soit l’action réciproque des corps les uns sur les autres ; il est de plus évident que toutes les différences qui entrent dans la valeur de seront aussi indépendantes de la différence d’où il suit que tous les termes de l’équation (F) qui se trouveront affectés de la différence après les substitutions de à la place de devront être égaux à zéro séparément du reste de l’équation ; on aura donc en général, après avoir effacé le l’équation

ces aires, multipliée par la masse du corps qui la décrit, est toujours proportionnelle au temps.

Le lecteur qui sera curieux de voir une démonstration de ce théorème tirée des principes de Mécanique, la trouvera dans un Mémoire de , imprimé parmi ceux de l’Académie royale des Sciences de Paris, année 1747 ; il y trouvera aussi l’usage de ce même théorème pour résoudre plusieurs questions de Dynamique.

Au reste, nous remarquerons que l’équation (G) renferme le principe que ont appelé la conservation du moment du mouvement circulatoire, et qui consiste en ce que la somme des produits de chaque corps par sa vitesse circulatoire \frac{uxd\varphi}{ds} et par sa distance au centre de est constante pendant le mouvement du système. (Voyez les Mémoires de l’Académie royale des Sciences de Berlin, année 1745, et les Opuscules de imprimés à Berlin en 1746.)

La même équation (G) renferme aussi le principe de , que la somme des produits de chaque corps par sa vitesse et par la perpendiculaire menée du centre sur la direction du corps, fait toujours une quantité constante. (Voyez les Mémoires de l’Académie de Paris, années 1749, 1752.)

XIII.

Remarque. — Il est aisé de trouver, par la méthode que j’ai donnée dans la Remarque de l’ que l’équation (U) sera exacte en général toutes les fois que la formule

minimité de la formule intégrale

XIV.

. — Trois corps s’attirent mutuellement par des forces d’attraction trouver les orbites des corps par rapport au corps regardé comme en repos.

Solution. — Les mêmes noms étant conservés que dans l’ on fera de plus, comme dans l’,

Mais pour mieux représenter les orbites relatives des corps soient pris, au lieu des coordonnées rectangles deux rayons vecteurs avec deux angles correspondants tels que l’on ait

ayant fait ces substitutions dans les valeurs de on aura

Maintenant, si l’on veut regarder l’orbite du corps comme connue, on prendra les différences en supposant constantes ; on aura

Avant que de faire ces substitutions dans l’équation (D) de l’Article VIII je remarque que les corps dont on cherche le mouvement étant entièrement libres par l’hypothèse du Problème, les différences de leurs coordonnées sont nécessairement indépendantes entre elles ; d’où il suit qu’on peut faire pour chacun de ces corps un calcul à part, en ne considérant à la fois que les variations des trois coordonnées ou

Qu’on ne prenne d’abord que les trois premières pour variables, il est clair qu’on aura par conséquent l’équation mentionnée deviendra simplement

Pour appliquer cette équation au Problème présent, on commencera par substituer, à la place des sa valeur trouvée ci-dessus, en y mettant, pour plus de simplicité, au lieu de son égale ensuite on intégrera par parties tous les termes qui renfermeront des différences affectées du double signe après avoir changé ce signe dans son équi- valent cette opération donnera les transformées suivantes :

En joignant ensemble toutes ces transformées, et y ajoutant le terme on aura la valeur de exprimée par la formule suivante :

À présent, pour avoir la valeur de

Or il est facile de trouver que

Ayant fait ces substitutions, on ajoutera ensemble les valeurs de et de et l’on aura une formule intégrale, dont chaque terme contiendra une des différences et qui devra être égale à zéro, quelles que soient les valeurs de ces différences. On trouvera donc, en faisant séparément égal à zéro chacun de leurs coefficients, et divisant par

Qu’on fasse maintenant, dans les expressions de les changeantes variables au lieu des on trouvera, par des raisonnements et des opérations semblables aux précédentes, trois autres équations, qui ne différeront des équations ci-dessus que parce qu’il y aura à la place de et réciproquement, et ces équations seront celles de l’orbite du corps

XV.

Corollaire I — Si l’on ne connaissait pas l’orbite absolue du corps alors, pour déterminer les valeurs des quantités il faudrait aussi faire varier les trois changeantes dans les valeurs de ce qui donnerait

On substituerait ces valeurs dans l’équation générale (D) de l’ et faisant après les réductions ordinaires les trois coefficients de chacun égal à zéro, on aurait trois équations, par lesquelles on pourrait déterminer les valeurs de Au reste, ces équations reviendraient au même que celles de l’, en y faisant chacun égal à zéro.

XVI.

. — Les équations qu’on trouverait par la méthode du Corollaire précédent ne renfermeraient point les forces mais seulement les changeantes avec leurs différences ; mais, pour ne pas trop charger de différentielles les équations du mouvement des corps il sera mieux de chercher les valeurs de en considérant directement les orbites absolues de ces deux corps.

Que soient les ordonnées rectangles des orbites dont nous parlons : on parviendra à une équation qui sera la même que l’équation (E) du Problème II, et dans laquelle, à cause que les corps sont libres, il faudra faire les coefficients de chacun égal à zéro. Or il est facile de trouver que

Mettant cette valeur de

Par là, les valeurs de de l’ deviendront, après quelques réductions fort simples,

XVII.

Problème IV. — Un corps étant sollicité par tant de forces qu’on voudra et tirant après lui deux autres corps par le moyen de deux fils de longueurs données, trouver le mouvement de chacun de ces trois corps. On suppose, pour plus de simplicité, qu’ils se meuvent tous trois dans le même plan.

Solution. — Soient les longueurs données des fils, c’est-à-dire les distances invariables des corps au corps les coordonnées rectangles de la courbe décrite par le corps et les angles que les lignes forment à chaque instant avec l’axe des prenant pour les coordonnées rectangles des autres corps on aura

On substituera ces valeurs dans les intégrales

Et l’on aura pour la même expression que pour en marquant seulement d’un trait les lettres et comme il est aisé de s’en assurer par le calcul.

Pour avoir maintenant la valeur de

on aura recours à l’équation générale (U) de l’ laquelle donnera pour le cas présent

Il n’y a plus qu’à mettre ces différentes transformées dans l’équation (D) ; or, si l’on fait, pour abréger,

XVIII.

Corollaire I. — Si le corps était mù dans une rainure courbe représentée par l’équation

faire ensuite chacun des trois coefficients de égal à zéro ; ce qui donnerait pour les équations du mouvement des corps

Si le corps était, outre cela, obligé de se mouvoir avec une vitesse dont la loi à chaque point de la courbe fût donnée, alors, comme le mouvement de ce corps serait entièrement donné, on aurait et c’est pourquoi il faudrait supprimer les équations et et mettre dans les deux autres au lieu de leurs valeurs données.

XIX.

Corollaire II. — Supposons que les trois corps au lieu de se tenir par des fils, soient attachés à une verge inflexible, en sorte que l’angle des lignes soit constant et égal à on aura donc en ce cas

XX.

Corollaire III. — Si l’on veut de plus, dans le cas du Corollaire précédent, que le corps se meuve dans une rainure courbe dont l’équation soit mettant, comme dans l’Article XVIII au lieu de et faisant chacun égal à zéro les coefficients de et on aura simplement les deux équations

Mais si la vitesse du corps est aussi donnée, en ce cas, et étant nuls, il ne restera que l’équation

XXI.

Corollaire IV — Si les corps étaient liés par un même fil, de longueur donnée, le long duquel l’autre corps pût couler librement par le moyen d’un anneau, on pourrait résoudre le Problème de la même manière en faisant les quantités variables dans les expressions de et de leurs différences

Pour cela, il n’y aurait qu’à augmenter la valeur de trouvée ci-dessus (Article XVII) de la quantité

Et l’autre formule intégrale serait aussi augmentée de la même quantité, en marquant seulement d’un trait les deux lettres et Par là, l’équation (H) deviendrait de cette forme :

dans laquelle

Maintenant, les deux corps étant attachés fixement aux extrémités du fil qui est supposé inextensible, il faut que la somme des lignes et soit constante ; soit cette somme, c’est-à-dire la longueur totale du fil, égale à on aura

XXII.

Corollaire V. — Si le corps était fixe, ou, ce qui revient au même, si le fil qui joint les deux corps passait à travers un anneau immo- bile, on aurait pour lors et chacun égal à zéro, et les équations du mouvement des deux corps seraient