Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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GUIDO FUBINI

IL PARALLELISMO DI CLIFFORD

NEGLI

Prefazione

Questo lavoro studia il parallelismo negli spazii a curvatura costante positiva, importante elemento della geometria metrica di tali spazii definito per la prima volta da . Si introducono perciò nuove coordinate di retta (parametri di scorrimento) di cui si danno svariati significati geometrici, e per cui si trova un algoritmo semplicissimo che permette di trattarle in modo rapido e sicuro, mentre senza di esso i calcoli riuscirebbero estremamente lunghi e noiosi.

Si può quindi dare una dimostrazione del principio di dualità senza ricorrere a considerazioni dell’assoluto, definire per la prima volta l’angolo di due rette sghembe, ecc. L’applicazione di questi principii alla teoria delle curve, mentre suggerisce per esse l’introduzione di un nuovo elemento: “la torsione di Clifford„, dimostra in nuovo modo e completa un teorema del prof. ; una modificazione delle formule di per lo spazio curvo conduce a confronti, a mio parere notevoli, con lo spazio piano e a nuovi teoremi. L’applicazione della teoria delle parallele allo studio delle congruenze dà in modo diretto le condizioni necessarie e sufficienti affinchè le forme quadratiche differenziali definenti una congruenza siano compatibili, dà immediatamente un criterio per riconoscere se una congruenza è , appena ne siano date le forme fondamentali e permette infine di stabilire alcuni nuovi risultati per la densità di una congruenza.

Applicando questi teoremi alla teoria delle superficie, si ottengono nuove interpretazioni geometriche della curvatura assoluta e della torsione geodetica, si riconduce la teoria delle superficie nello spazio curvo allo studio di quelle rappresentazioni della sfera euclidea in sè stessa, per cui parti corrispondenti hanno area uguale. Si possono quindi generalizzare alcune formule ben note dello spazio euclideo per la teoria della superficie e dei sistemi tripli ortogonali, col cui aiuto si studiano tra l’altro quelle congruenze che per ogni deformazione della superficie di partenza, cui i raggi della congruenza si immaginino invariabilmente uniti, si dispongono sempre in rigate di , e si trovano infine curiosi risultati per l’angolo che formano elementi lineari corrispondenti sulla superficie e sulla sua immagine piana.

L’applicazione di questi risultati alla teoria della superficie conduce, tra l’altro, allo studio di notevoli coppie di elementi sferici, studio che si può anche interpretare nella metrica euclidea e che dà un significato geometrico (sebbene non semplice) della trasformazione di per le superficie pseudosferiche, mentre risolve in nuovo modo il problema di determinare sulla sfera euclidea quei reticoli che la dividono in parallelogrammi infinitesimi equivalenti.

Lo studio della immagine Riemanniana di rette parallele porta a una nuova proprietà caratteristica delle superficie di (isocicliche), proprietà che mentre si può interpretare con la sola metrica euclidea, conduce a nuove proprietà delle superficie isocicliche e delle rigate isoterme (luogo delle binormali di una curva a torsione costante) degli spazii a curvatura costante.

Prime formule

PRIME FORMULE

. Noi sappiamo che nello spazio ellittico esistono certi movimenti speciali, per cui è costante la distanza tra la posizione iniziale e la finale di un punto qualunque, e che ricevettero il nome di scorrimenti. A questi movimenti corrispondono nello spazio euclideo (dove si immagini rappresentato geodeticamente lo spazio curvo) le omografie biassiali che hanno per assi due generatrici d’una medesima serie rigata dell’assoluto e che fanno perciò scorrere su sè stesse le generatrici dell’altra serie rigata. E, conformemente all’esistenza di due serie rigate su una quadrica, gli scorrimenti di uno spazio curvo si scindono in due sistemi affatto distinti: gli scorrimenti destrorsi e gli scorrimenti sinistrorsi.

Da questi speciali movimenti, partì per definire il parallelismo di rette in uno spazio curvo; e noi ora daremo alcune proprietà fondamentali delle rette parallele, facilmente deducibili le une dalle altre e di cui ciascuna può servire come definizione di rette parallele. Diremo dunque con Clifford che due o più rette sono parallele, quando

α) uniscono le posizioni iniziali e finali dei punti di un sistema rigido relative a uno scorrimento

oppure quando

β) si appoggiano alla medesima coppia di generatrici sghembe dell’assoluto

oppure quando

γ) sono esse stesse la posizione iniziale e la posizione finale di una retta sottoposta a uno scorrimento.

L’esistenza di due specie di scorrimenti dimostra l’esistenza di due specie di rette parallele: parallele destrorse e parallele sinistrorse; osserviamo però che da un solo scorrimento noi possiamo dedurre tanto parallele destrorse, quanto sinistrorse; e ciò secondo che ci serviamo della generazione α) o della generazione γ) di rette parallele.

Noi riporteremo qui le formule definenti uno scorrimento, nelle quali supporremo, come si farà sempre d’ora in poi, uguale a la curvatura dello spazio ambiente, indicheremo con e le coordinate di della posizione iniziale e della posizione finale di uno stesso punto, e indicheremo con e con otto costanti legate dalle relazioni

Avremo per scorrimenti di prima specie:

per scorrimenti di seconda specie

Con le coordinate di Weierstrass di punto e di piano, una retta (geodetica) si definisce dando le coordinate di un suo punto qualunque e le coordinate piano normale in alla retta stessa; quindi in una maniera che, sebbene sia molto comoda in alcuni studii, pure è tutt’altro che simmetrica. È principio fondamentale del presente lavoro l’introduzione di un nuovo sistema di coordinate, che, come spero, apparirà per le sue applicazioni assai appropriato alla natura dello spazio ellittico.

Sia dunque una retta definita al modo di , e ne siano e due punti coniugati tali cioè Di scorrimenti che portino il punto nel punto ne abbiamo uno destrorso e uno sinistrorso; e, indicando con le costanti relative all’uno e con le costanti relative all’altro, sarà intanto

perchè

e quindi

Noi assumeremo le (che subito calcoleremo) come coordinate di una retta nello spazio ellittico e daremo loro il nome di “parametri di scorrimento„ della retta stessa. Essi, si vede subito, saranno indipendenti dalla coppia di punti coniugati scelti sulla retta.

Osserviamo intanto che una retta è individuata, appena ne siano dati i parametri di scorrimento (e lo dimostreremo del resto effettivamente col calcolo); infatti essi definiscono due scorrimenti di specie diversa che lasciano fissa la retta, e quindi definiscono insieme le quattro generatrici dell’assoluto cui essa si appoggia, ciò che basta a individuare la retta insieme alla sua retta polare; questa indeterminazione, che può anche essere utile quando si studiino insieme due figure polari, si toglierà più sotto con considerazioni di segni.

Per il calcolo effettivo dei sei parametri di scorrimento si osservi che le (1) diventano per noi

Risolvendo, ricordando le si ha

legate appunto dalla

Analogamente si ha

donde si ricava

con la

Prese le (4) e le (4') come formule definenti le le (3) e le (3') danno le coordinate del piano normale nel punto alla nostra retta, appena sia noto questo punto .

È facile ora riconoscere ciò che distingue i paramenti di scorrimento di due rette polari. Prendiamo per es. la retta normale nel punto (1, 0, 0, 0) al piano (0, 1, 0, 0) e la retta polare normale nel punto (0, 0, 1, 0) al piano (0, 0, 0, 1).

Per l’una avremo per l’altra

3

Cambiando i segni a una delle due terne dei parametri di scorrimento di una retta, si ottiene la retta polare.

Noi vedremo spesso che le rette polari hanno nello spazio ellittico l’uffizio che nello spazio piano hanno le direzioni opposte.

Il cangiare contemporaneamente i segni a tutti e 6 i parametri di scorrimento non muta la retta corrispondente, perchè ciò equivale a cambiare in oppure in , oppure scambiando i punti , . (Cfr. le osservazioni finali).

Ma i calcoli con le riuscirebbero faticosissimi, se noi non introducessimo un algoritmo semplice, che ci permetterà di trattare poi con la massima sicurezza e facilità queste nuove coordinate di retta e di passare da queste alle usuali formole in coordinate di . Osserviamo perciò che si può scrivere:

e analogamente

Se ora e sono due quaderne di variabili, noi indicheremo con tre espressioni formate con le , e con le appunto come sono formate con e ; e analogamente indicheremo con espressioni formate con e come le con e .

Se noi ricordiamo lo sviluppo del prodotto di due matrici a due linee nella somma dei prodotti dei loro minori corrispondenti, e lo sviluppo di un determinante del quarto ordine nella somma dei prodotti dei minori del II ordine staccati dalla matrice formata dalle prime due linee per i minori complementari, otteniamo facilmente la seguente identità fondamentale:

Indicando con il determinante del 2.° membro, questa identità si può scrivere:

Se noi vogliamo trovare il valore di in funzione basterà che noi lo innalziamo al quadrato; otterremo così un determinante i cui termini sono proprio della forma prescritta; estraendo poi la radice quadrata avremo, a meno del segno, il valore di . E se ne deduce:

I. Se si ha

come si poteva prevedere ricordando le (5) e (5').

II. Se le le , le , le formano quattro quaderne affatto distinte e , mentre

si ha

e, senza preoccuparci per ora del segno, basti osservare che esso cambia, scambiando due delle quattro quaderne.

III. Se , ma e , mentre

si ha

L’ambiguità di segno che comparisce nel II di questi casi, e che deve sempre comparire per il modo in cui noi calcoliamo il determinante appena non sia nullo, non ci causa nessun imbarazzo; e ciò perchè scambiando i simboli coi simboli si ha un’identità che differisce dalla (8), come un facile calcolo rivela, soltanto per il segno di . Ora, siccome noi consideriamo sempre contemporaneamente le due specie di parallelismo e di simboli, ci basterà fare il calcolo con una sola specie di simboli, p. es. coi simboli non accentati; otterremo così, è vero, dei termini a segno indeterminato; ma sarà affatto inutile il conseguire la determinazione di questo segno, poichè se con parallelismo in un certo senso noi dobbiamo usare un segno, dobbiamo poi usare il segno opposto quando si consideri il parallelismo nell’altro verso.

Noi abbiamo già visto come per mezzo delle (6) e delle (6') si possano calcolare i parametri di scorrimento di una retta, definita al solito per mezzo di due suoi punti e distanti di . Ora noi vogliamo mostrare come, dati i parametri di scorrimento di una retta, si possa tornare alla determinazione usuale della retta stessa. Cerchiamo, a tal fine, le coordinate del punto dove la retta, i cui parametri di scorrimento siano incontra p. es. il piano . Posto nelle (3) e (3') e confrontando i valori di che se ne ricavano, otteniamo

Poichè, essendo , deve essere , si ha infine

È facile allora per mezzo delle (3) o delle (3)' calcolare le corrispondenti .

Ci proponiamo ora di studiare i significati geometrici dei parametri di scorrimento di una retta. La loro proprietà fondamentale è di essere “invarianti per parallelismo„, come ci dice il seguente teorema:

“Se due rette hanno uguali, oppure uguali e di senso opposto i tre parametri di una medesima terna esse sono parallele, in un senso o nell’altro, secondo che la terna in discorso è la prima o la seconda„.

Infatti in tal caso esiste uno scorrimento che le fa scorrere tutte e due sopra sè stesse. Questo teorema, che scaturisce immediatamente dalle nostre considerazioni, è per noi fondamentale; e non sarà perciò male stabilirlo in modo diretto sia a riprova dei calcoli, sia perchè così otterremo alcune formule che ci saranno assai utili in seguito.

Sia una retta intersezione di due piani e che per semplicità supporremo ortogonali. L’assoluto essendo definito da

un sistema delle sue generatrici si può immaginare definito da

dove varia da generatrice a generatrice. Ogni punto che appartenga ai due piani soddisfa alle:

cosicchè per trovare a quali generatrici della serie (α) si appoggia la nostra retta basta eliminare le fra le (α) e le (β); otteniamo così

ossia:

Affinchè la retta di intersezione dei piani e si appoggi alla medesima coppia di generatrici, sia cioè parallela (nel senso determinato dalla serie rigata (α)) alla nostra retta, si deduce subito che deve essere:

Analogamente si procederebbe per l’altra serie di generatrici dell’assoluto; le formule precedenti non solo ridimostrano il nostro teorema, ma danno l’espressione dei parametri di scorrimento di una retta in funzione delle coordinate di due piani perpendicolari passanti per la retta.

Noi spesso dovremo trovare le traccie su un piano delle parallele tirate per il suo polo a una retta; e le chiameremo le “immagini di Clifford„ della retta relative al piano stesso; dette e le coordinate delle due traccie, avremo, dalle (3) e (3') quando si prenda per punto il punto

Per mezzo di queste uguaglianze e indicando con la distanza dei due punti definita da le (9) diventano

che per mezzo delle (3) o delle (3') ci danno:

Si verifica subito che:

“Le due immagini di di due rette polari relative a un piano e le traccie su questo piano delle rette stesse si dividono armonicamente; una di queste traccie divide per metà un segmento terminato alle immagini„.

Sarà per noi ancora opportuno di notare che i parametri di scorrimenti di una retta, anche moltiplicati per un qualunque fattore, soddisfanno alla:

Dunque noi potremo sempre immaginare 6 quantità legate da questa relazione come coordinate omogenee di retta, in quanto che si può fissare a meno del segno un fattore di proporzionalità (in un modo solo) in tal guisa che esse divengano i 6 parametri di scorrimento di una retta. La forma delle ci dà il seguente teorema:

“I parametri di scorrimento (invarianti per parallelismo) di una retta non sono altro che le coordinate di (somme e differenze opportune delle coordinate di ) della retta stessa, quando si prenda per tetraedro fondamentale un tetraedro autopolare rispetto all’assoluto.„

Questo teorema può venire utile per lo studio dei complessi algebrici di rette negli spazii ellittici; e noi ne daremo più tardi un esempio.

Una prima notevolissima applicazione di queste coordinate è la definizione di angolo di due rette qualsiasi (ciò che finora non s’era fatto che per rette complanari). Noi chiameremo angolo di due rette tanto l’angolo definito da

quanto l’angolo generalmente distinto dal precedente, che riesce definito dalla

nelle quali formule intendiamo con i parametri di una retta e con i parametri omologhi dell’altra. Questa definizione scaturisce spontanea dal seguente teorema:

“L’angolo di una coppia di rette complanari e quello delle parallele tirate ad esse da un punto qualunque sono uguali, purchè le due parallele siano tirate in un medesimo verso„.

Infatti, esiste allora uno scorrimento (destrorso o sinistrorso a secondo del senso del parallelismo) che porta il punto comune alla prima coppia di rette nel punto , e la prima coppia di rette nella coppia di parallele per il punto .

Il teorema si può dimostrare anche analiticamente: Se le rette date sono le rette il loro angolo è definito da ; l’angolo delle parallele tirate dal punto è dato da

oppure da

a seconda del verso del parallelismo; l’identità (8) ci dimostra che è in ambi i casi .

E allora si vede che gli angoli definiti dalle

non sono altro per le (10) che gli angoli formati dalle due coppie di parallele tirate dal punto alle due rette date in un verso o nell’altro; e per teor. precedente si vede che invece di tirare queste parallele dal punto si possono tirare queste parallele da un punto qualunque dello spazio, senza che per questo muti la determinazione dell’angolo.

Se le due rette sono le rette e abbiamo per l’angolo delle due rette la seguente formula:

a seconda che l’angolo si misura con parallele in un senso o nell’altro cioè per le identità (8) si ha

dove con intendiamo la distanza del punto al punto , dal punto al punto ecc. Senza soffermarci al significato geometrico di si osservi che:

“Il determinante è nullo e l’angolo di due rette ammette una sola determinazione allora e allora soltanto che le due rette sono complanari„. (Cfr. le osserv. finali).

Questo teorema ammette un notevole corollario, quando sia applicato a rette infinitamente vicine complanari:

“Se noi delle generatrici di una rigata facciamo le immagini di relative a un piano qualunque, le due linee così ottenute si corrisponderanno in modo che archi corrispondenti siano uguali allora e allora soltanto che la rigata è sviluppabile„.

E se ricordiamo ( A) che una rigata è a curvatura nulla solo se è una rigata di Clifford, vediamo che a questo teorema si contrappone l’altro:

“Una rigata è a curvatura nulla soltanto se una delle sue immagini di Clifford si riduce a un punto„.

E noi vediamo subito un nuovo significato delle coordinate di ; esse misurano gli angoli, che in un verso e nell’altro una retta forma coi sei spigoli del tetraedro di riferimento o, come si può dire, con una terna di rette ortogonali.

Così, essendo i parametri di scorrimento nient’altro che coordinate proiettive di una retta, e potendosi perciò definire un complesso lineare con un’equazione

dove sono costanti, noi vediamo per le (12) che un complesso lineare ammette in uno spazio ellittico la seguente definizione metrica:

“Le rette di un complesso lineare sono quelle e tutte quelle, per cui è costante , dove e sono gli angoli che una di esse forma con una retta fissa„.

Questa retta colle notazioni precedenti sarebbe la retta i cui parametri sono , , ,

Anche nello spazio curvo vale dunque il teorema:

“Un complesso lineare ammette sempre una retta tale che i movimenti elicoidali attorno a essa riportano il complesso in sè stesso„.

Si vedrebbe pure facilmente che il luogo dei punti tali che l’angolo delle parallele tirate per uno di essi a una retta fissa è costante, è una rigata di , e si avrebbe così una generazione delle rigate di Clifford, per mezzo dei movimenti elicoidali attorno a una retta; generazione identica in fondo a quella data dal prof. nella memoria più volte citata; essa però, vista in questa forma differente, si può interpretare proiettivamente così:

“Le proiettività che lasciano fissa una quadrica e due suoi punti portano un punto qualunque dello spazio nei punti di una quadrica che ha comuni con la precedente le generatrici per „.

Oss. Non è possibile, a mio credere, definire il parallelismo di piani, che, per la legge di dualità, porterebbe a definire insieme il parallelismo di punti; si può però definire il parallelismo di elementi (insieme di punto e piano che si appartengono). Diremo così che l’elemento definito dal punto e del piano è parallelo all’elemento quando esiste uno scorrimento che porti in in , in .

Il piano è generato dalle parallele tirate per alle rette di passanti per .

La distanza da a è uguale all’angolo di con .

Le normali in ad e in a sono parallele.

La cosa più interessante in tutto questo è l’esistenza di figure duali che si corrispondono con parallelismo di elementi corrispondenti e la conseguente dimostrazione del principio di dualità senza considerazione dell’assoluto.

Ma per brevità io ne dimostrerò l’esistenza, appunto partendo dall’assoluto; presa una figura , consideriamone la figura polare , che uno scorrimento qualsiasi porti in . Le figure sono appunto due figure duali che si corrispondono nel modo anzidetto.

Il parallelismo di Clifford e la teoria delle curve

Il prof. (loc. cit.) dimostrò le seguenti formule che sono la generalizzazione delle formule di per le curve di uno spazio piano:

dove rappresentano rispettivamente l’arco, la prima e la seconda curvatura nel punto generico di una curva, e dove con , , si indicano rispettivamente i coseni di direzione della tangente, della normale principale e della binormale alla curva nel punto .

Nei calcoli che seguono, come anche in tutto il resto del lavoro, noi, partendo da quanto s’è visto al §. 3, faremo i calcoli con una sola terna di parametri di scorrimento. Tiriamo dal punto le parallele alle tangenti fino a incontrare il piano polare; l’arco della così ottenuta indicatrice delle tangenti è dato da

Sostituiamo in queste formule ai differenziali i valori dati dalle succitate formule del prof. Bianchi; e sviluppiamo, ricordando le identità (8) del §. 3. Otterremo

che vale anche per le parallele nell’altro senso, perchè (§. 3) mancano termini col doppio segno; ciò che si spiega osservando che tangenti consecutive sono complanari e ricordando il teor. del §. 6. Dunque:

“Il rapporto di uno qualunque degli angoli formati da due tangenti consecutive all’arco compreso tra i punti di contatto è uguale alla curvatura della curva nel punto corrispondente.

Consideriamo ora invece una retta generica normale nel punto alla curva e ne siano i coseni di direzione, dove è costante; l’immagine di della rigata formata da esse, ha l’arco definito dalla: , cioè, differenziando e ricordando le formule del prof. dalla:

Dove, per le più volte citate identità e considerazioni del §. 3, il doppio segno si deve al doppio senso del parallelismo.

Per si ha ; noi porremo

ritenendo però che spesso indicheremo con tutte e due queste espressioni, e chiameremo e le due torsioni di Clifford di una curva in un punto. Abbiamo allora:

“Il rapporto dell’angolo di due binormali consecutive misurato in un senso determinato all’arco compreso tra i loro piedi è uguale alla torsione di Clifford corrispondente„. Donde si ha, sotto una forma lievemente differente, un teorema del prof. Bianchi (loc. cit.) che qui risulta dedotto in maniera diretta:

“Condizione necessaria e sufficiente affinchè le binormali a una curva siano parallele in un verso, è che la corrispondente torsione di sia nulla.

Affinchè la retta uscente dal punto d’una curva e con coseni di direzione con (dove sono costanti, generi al variare del punto una rigata di Clifford, deve essere uguale a zero l’arco di una delle sue immagini di Clifford; cioè

e coi soliti procedimenti

dove indica la corrispondente torsione di Clifford. La curva è quindi un’elica; ma qui si aggiunge un’interpretazione nuova della condizione , dicendo che deve essere costante il rapporto della prima curvatura a una torsione di Clifford.

Se noi esprimessimo invece che la nostra rigata è a curvatura nulla si troverebbero le

che non coincidono con la (α) che per elementi reali. Se ne deduce l’esistenza di “rigate singolari immaginarie generabili come le rigate di Clifford da rette invariabilmente unite al triedro principale di una curva, che non sono a curvatura nulla sebbene abbiano nulla una delle indicatrici di Clifford; le loro generatrici sono perciò tangenti all’assoluto„.

Aggiungerò di volo che invece tutte e sole le curve per cui sono tali che esiste una retta invariabilmente unita al triedro principale generante una sviluppabile.

Basta infatti esprimere (§. 6) che le immagini di della rigata generata da questa retta si corrispondono con uguaglianza di lunghezza d’arco per trovare, con le notazioni precedenti

Queste considerazioni preliminari ci suggeriscono immediatamente un’idea, che ci servirà a stabilire una nuova forma assai notevole, a mio parere, delle formule del prof. già citate. A queste formule il prof. Bianchi giunse esaminando i coseni di direzione della tangente, della normale principale, della binormale. Noi esamineremo invece i parametri di scorrimento delle stesse, che indicheremo rispettivamente con

Per quanto s’è visto è

Queste formule basterebbero col procedimento identico a quello che si segue per le formule di nello spazio piano a dare le seguenti formule:

e le analoghe per ecc. Però vi sarebbe l’ambiguità di segno nei secondi membri delle (14) proveniente dal fatto che nelle (13) comparisce solo e noi estraendo le radici quadrate saremmo incerti se dovessimo tenere oppure Ma le formule (14) si verificano facilmente partendo dalle formule del prof. . Quanto alle

basta ricordare i valori effettivi dei nostri parametri e la loro dimostrazione riesce immediata; osserviamo ora p. es. la

Ricordiamo che

Per le formule del prof. Bianchi si deduce, ricordando che e che ,

Ora non è altro che un parametro di scorrimento della retta polare della binormale; e quindi per un teorema già dimostrato (§. 2) è uguale a a seconda del senso del parallelismo; e la (γ) è dimostrata. In modo analogo si dimostrerebbero le altre formule (14).

Dalle (14), che così singolarmente si avvicinano alle formule di per lo spazio piano, deduciamo alcuni risultati, a mio credere, degni di nota.

Poichè l’integrazione di ciascuno dei due gruppi (14) di formule, si riduce a un’equazione di , otteniamo:

“La effettiva costruzione di una curva di cui siano nate la curvatura e la torsione in funzione dell’arco si riduce all’integrazione di due equazioni di Riccati„.

Così se due curve si corrispondono punto a punto con parallelismo in un verso del triedro principale e per cui siano e la prima curvatura, la torsione di corrispondente e l’arco in punti corrispondenti, si ha

ciò che permette (come già osservò il prof. per lo spazio piano) di ridurre la costruzione di una curva di cui siano date le equazioni intrinseche a quella di una curva per cui sia oppure

L’analogia delle (14) con le formule di dà immediatamente alcuni teoremi, per la cui dimostrazione basta ripetere parola per parola quanto si fa per dimostrare gli analoghi nello spazio piano. Così p. es.

Se due curve hanno parallele le normali principali in punti corrispondenti, è costante l’angolo di tangenti corrispondenti e le curvature dell’una sono funzioni lineari di quelle dell’altra (ciò che può servire per lo studio delle curve di nello spazio curvo).

Così si può dedurre in altro modo da quanto si è fatto sopra tutta la teoria delle eliche, ecc. ecc. Quanto m’importa d’osservare, è che spesso i calcoli riescono più semplici nello spazio curvo, che nello spazio piano. Se noi p. es. volessimo trovare le evolute di una curva, basterebbe che noi cercassimo quando la rigata generata da una normale alla curva con coseni di direzione dove è funzione di ) genera una sviluppabile, cioè quando le due immagini di Clifford della rigata si corrispondono con uguaglianza d’arco “„. Ora è

Partendo dalle solite osservazioni del §. 3, usando delle (14) e ricordando che ammette due determinazioni, si vede che basta annullare i termini con doppio segno della precedente espressione per trovare la condizione voluta; e calcolando si ottiene così:

Il risultato più notevole e di cui vedremo in seguito alcune applicazioni è dato dalla seguente proposizione:

A ogni curva dello spazio ellittico corrispondono due curve , dello spazio piano che corrispondono alla (e quindi anche tra di loro) punto per punto con uguaglianza d’arco e di prima curvatura, e le cui torsioni in punti corrispondenti differiscono di una costante. Viceversa, due curve , dello spazio piano che si corrispondono punto a punto con uguaglianza d’arco e di prima curvatura, mentre le loro torsioni in punti corrispondenti differiscono di una costante , danno senza quadrature una curva di uno spazio ellittico a curvatura che loro corrisponde punto a punto con uguaglianza di arco e di prima curvatura e che ha per torsioni di in un punto le torsioni di e di nei punti corrispondenti.

La prima parte di questo teorema è evidente per le (14); dimostriamo la seconda parte. Se noi chiamiamo , , i coseni di direzione della tangente, della normale principale e della binormale in un punto di e con , , i coseni delle rette corrispondenti di , se noi indichiamo con , l’arco e la curvatura di e (in punti corrispondenti) e con e le corrispondenti torsioni, avremo per le formule di nello spazio piano

Poichè noi potremo immaginare le , le e e le come parametri di scorrimento di tre rette dello spazio curvo. Poichè per le (α) si ha la retta descrive (§. 6) una sviluppabile, cioè inviluppa una curva ; e, poichè per le (α)

la retta è precisamente la binormale a questa curva nel suo punto generico; e poichè

la retta è precisamente la normale principale alla curva nel suo punto generico.

Questi ultimi ragionamenti si potrebbero fare anche se nulla si sapesse circa alle torsioni di e di ; ma in tal caso non si potrebbe più dire che, se è l’arco della , si ha . Se noi supponiamo invece che e per maggior semplicità supponiamo che , allora si vede subito che ; infatti si è visto che in uno spazio a curvatura , l’arco è definito da

Che la differenza costante sia non toglie la generalità; che se fosse una costante distinta da si avrebbe, come si intende facilmente, una curva di uno spazio ellittico a curvatura differente da . (Del resto con una similitudine si può sempre passare da una tal coppia di curve a una coppia di curve, per cui sia ).

Dimostrato che la corrisponde alle , con uguaglianza di arco, le (α) confrontate con le (14) dimostrano il nostro teorema completamente.

Un corollario che ci sarà di grande utilità è il seguente:

“A una coppia di curve dello spazio piano a torsione costante, ma distinta, che si corrispondano con uguaglianza di arco e di prima curvatura corrisponde una curva a torsione costante dello spazio curvo e viceversa„.

E qui appare sotto nuova luce il teorema che con quadrature si possono trovare tutte le curve a torsione costante dello spazio piano; perchè dal teorema poco fa dimostrato si deduce:

“Il problema di trovare le curve a torsione costante dello spazio piano e quello di trovare tutte le curve piane degli spazii ellittici sono equivalenti. Quindi poichè la risoluzione dell’uno è immediata, l’altro è completamente risoluto„.

Infine osserviamo che la generalizzazione agli spazii curvi, ottenuta recentemente dal prof. , della trasformazione delle curve a torsione costante si può per questi teoremi interpretare nella metrica euclidea come una trasformazione di quelle coppie di curve a torsione costante, ma distinta, che si corrispondono con uguaglianza d’arco e di prima curvatura.

Delle superficie di scorrimento

A titolo di esempio, voglio enunciare qui un teorema semplicissimo circa alle superficie di scorrimento, a quelle superficie cioè che possono esser generate da uno scorrimento continuo d’una curva e che (Bianchi A) ammettono perciò una seconda consimile generazione:

Condizione necessaria e sufficiente affinchè una superficie sia di scorrimento lungo le e le è che le tangenti alle lungo una siano parallele e così pure le tangenti alle lungo una Allora si potrà nelle forme quadratiche definenti la superficie porre , e fatto , si dovrà avere ; viceversa se , la superficie è di scorrimento lungo le , le .

L’elemento lineare della immagine di della rigata formata dalle tangenti a una lungo una è dato (indicando con differenziali parziali rispetto a ) dalla: