Lezioni di analisi matematica

Front matter

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Prefazione

Ecco in questo libro riassunte le lezioni che svolgo al Politecnico di Torino. Nel redigerlo sono partito dalla convinzione che l’insegnamento teorico conserverà l’importanza, che merita, soltanto quando lo si sfrondi di tutto quanto è formale, oppure d’importanza soltanto teorica. La tecnica ha bisogno di concetti matematici, ma non ha per niente bisogno, per es., della concezione più generale degli enti, che possiamo chiamare punto o funzione, o della teoria delle funzioni a derivata non integrabile.

Ridurre perciò le teorie esposte alla parte essenziale; scegliere le dimostrazioni più facili; dimenticare, per quanto possibile, ogni considerazione di indole prevalentemente critica; dare il massimo sviluppo ai procedimenti induttivi, o di intuizione a priori; ricordare che il libro è destinato a giovani, per cui la matematica è mezzo, e non fine; illustrare pertanto le varie teorie con esempi suggeriti anche dalla fisica e dalla meccanica: ecco lo scopo prefissomi: Il lettore dirà se io l’ho raggiunto!

Ho ridotto in questa ultima edizione il numero degli esempi ed esercizi, perchè essi meritavano uno sviluppo maggiore: ad essi il Prof. Vivanti ed io abbiamo dedicato una pubblicazione a parte. L’ordine dei capitoli mi è stato suggerito dalle esigenze del Corso di Meccanica, che richiede svolti al più presto i principi del calcolo integrale, e possibilmente della teoria delle equazioni differenziali. Ma senza alcun danno per la facile lettura dell’opera si potrebbe mutare profondamente l’ordine dei varii Capitoli: Così, per es., si potrebbero invertire i Capitoli 12 e 13, oppure i Capitoli 13, 14 oppure i Capitoli 18, 19 e così via.

Nelle successive edizioni il libro è stato quasi completamente rifatto. Ho continuato l’opera di semplificare le dimostrazioni in quasi tutti i Capitoli del libro, di scegliere esempi semplici fuori dall’ambito delle matematiche pure, di illustrare quelle che io chiamo: locuzioni abbreviate, così comode nelle scienze applicate, che ricorrono al Calcolo. Ho ridotto ancora più i Capitoli dedicati alle equazioni algebriche, cercando di fondere, per quanto possibile, le teorie algebriche con le infinitesimali. Nelle ultime due edizioni, oltre a molti cambiamenti particolari, ho rifatto la trattazione della teoria dei determinanti; ho portato nell’Appendice il paragrafo sulla decomposizione delle frazioni razionali, perchè in questo libro a tale teoria non si ricorre mai, neanche per la ricerca degli integrali indefiniti.

Per quanto riluttante a introdurre nella scuola idee che non siano di primissima importanza, mi sono occupato dei limiti superiore ed inferiore di una classe di numeri, della teoria generale delle serie di potenze, e, ciò che può costituire una novità per un libro elementare, delle funzioni addittive di insieme. Spero però che i metodi seguìti, nuovi per la massima parte, sieno trovati così semplici e spontanei da rendere questi nuovi capitoli utili a una più facile lettura dell’opera complessiva e all’esatta intelligenza dei principii fondamentali del calcolo.

In questa 4ª edizione sono state intercalate in carattere piccolo molte osservazioni di indole critica; cosicchè la differenza fra gli argomenti svolti per lunga tradizione nei nostri primi biennii universitari e quelli di cui qui ci occupiamo sono soltanto i seguenti:

4

4

4

Possa pertanto questo volume essere ancora giudicato non difficile dai giovani cui è destinato; ed essere trovato accettabile anche da un teorico puro!

Numeri reali

ct ct

§ 1. —

§ 2. —

§ 3. —

§ 4. —

Numeri razionali positivi

ct L’aritmetica dopo i numeri interi positivi [il cui studio risolve completamente il problema di contare] considera i numeri fratti positivi, che insieme ai numeri interi risolvono in qualche caso il problema della misura . Se noi, per fissare le idee ci riferiamo ai segmenti, e ne scegliamo uno determinato come unità di misura (potremo dire come metro) noi diciamo che un altro segmento è uguale ad di , o anche che ha per misura , o anche che il rapporto di ad vale

(dove con , sono indicati interi positivi), se è la somma di segmentini uguali , ciascuno dei quali è la parte di (cioè è la somma di segmenti uguali a ). E la definizione di uguaglianza di due numeri fratti (si pone se ) è scelta appunto in modo tale che, se un segmento ha per misura tanto la frazione , quanto l’altra , allora le due frazioni siano uguali .

A tutti è nota poi quale importanza abbia (specialmente per i calcoli numerici) la trasformazione di una frazione in un numero decimale. Quando noi scrivamo, per esempio

| ;

noi intendiamo soltanto di scrivere in altro modo le uguaglianze

| ; | .

In altre parole noi abbiamo trasformato le frazioni , , in altre, il cui denominatore è il numero , od una delle sue potenze , , eccetera.

Sarà però qui opportuno (per analogia con quanto segue) scrivere ogni numero decimale limitato come un numero decimale illimitato (con infinite cifre decimali) scrivendo:

ciò che, per note convenzioni, non muta il significato delle precedenti uguaglianze.

Di significato assai più risposto sono le uguaglianze tra un numero fratto generico, e il corrispondente numero decimale (che è o periodico, o periodico misto), quali, ad esempio, le uguaglianze:

che possiamo considerare insieme alle analoghe:

Per esempio la ci dice che il segmento , la cui misura è , è compreso: 4 4 4 In altre parole il segmento di misura contiene una volta, e non due il segmento .

Se da sottraggo il massimo numero di volte possibile (una volta), nel segmento residuo la decima parte di è contenuta tre volte e non quattro volte. Se da sottraggo il massimo numero di volte possibile (tre volte) la decima parte di , nel segmento residuo la centesima parte di è contenuta tre volte e non quattro volte, e così via.

In altre parole la equivale alle seguenti disuguaglianze

Osservazioni perfettamente analoghe valgono per la

, eccetera

Anzi queste osservazioni ci permettono di dare un metodo per sviluppare in numero decimale un numero fratto generico . Se è, per esempio, il segmento, di cui è la misura, si sottragga da il numero massimo possibile di volte il metro . Questo massimo numero è la parte intera dello sviluppo. Dal segmento residuo si sottragga il massimo numero possibile di volte la decima parte di . Questo intero sarà la prima cifra decimale dello sviluppo. Dal segmento residuo si sottragga il massimo numero possibile di volte la centesima parte di . Il numero sarà la seconda cifra decimale del cercato sviluppo. E così via.

Analogo, ma leggermente distinto, è il significato delle

La prima di queste significa che

La seconda significa che:

È a tutti evidente l'analogia tra le , , . Unica differenza è la seguente: In ciascuna delle compare due volte il segno . Nelle il primo dei segni è sostituito da un ; nelle il secondo dei segni è sostituito da .

E ciò perchè il numero è uguale al numero decimale limitato ; il quale compare, a partire da una delle o delle in poi, nei primi membri delle , nei secondi membri delle .

Un fatto analogo si presenta per ogni numero, che sia uguale a un numero decimale limitato. Così, per esempio:

perchè, per nota convenzione aritmetica, si considerano come uguali due numeri decimali l'uno formato da certe cifra seguite da infiniti zeri, l'altro formato dalle stesse cifre (tranne l'ultima cifra non nulla, che viene diminuita di ) seguite da infiniti . Per tali sviluppi decimali valgono disuguaglianze analoghe alle , , mentre per ogni numeri decimale, che non sia del tipo ora studiato, valgono disuguaglianze analoghe alle . I primi numeri si possono scrivere in due modi distinti sotto forma di numero decimale; i secondi si possono scrivere in un sol modo come numeri decimali.

Diremo che due numeri , sono uguali fino alla cifra decimale, se la parte intera e le prime cifre dopo la virgola nello sviluppo decimale di (o in uno dei due sviluppi di , se ammette due sviluppi decimali) sono uguali alla parte intera ed alle prime cifre dopo la virgola nello sviluppo, o in uno dei due sviluppi del numero .

Così, per esempio:

| ;

sono uguali fino alla terza decimale.

Si noti che, secondo tale convenzione, per esempio:

e ;

pure non avendo la prima decimale comune, sono entrambi uguali fino alla prima cifra decimale con

Notiamo che:

La lunghezza di un segmento N commensurabile con M (cioè la cui misura è un numero fratto) ha una misura e una sola, che si può scrivere sotto forma di numero decimale (periodico). E viceversa ogni numero decimale periodico è misura della lunghezza di un segmento N commensurabile con M, e dei segmenti ad esso sovrapponibili, ma di nessun altro segmento.

Se , sono segmenti commensurabili con M, altrettanto avviene del segmento somma ; il quale, come è noto, ha per misura la somma delle misure dei segmenti , .

Se è il più grande dei segmenti , , la misura di è maggiore di quella di e viceversa. (È detto per brevità: misura di anzichè misura della lunghezza di ).

Numeri irrazionali

ct Come è ben noto, le precedenti considerazioni e i precedenti risultati sono stati estesi anche ai segmenti incommensurabili con (per esempio alla diagonale del quadrato, il cui lato è ). Anche per tali segmenti si è definita la misura che è un numero che ancora gode delle proprietà testè enunciate.

Se è un tale segmento, si sottragga da il massimo numero possibile di volte il metro [cioè ]. Dal segmento residuo si sottragga il massimo numero possibile di volte la decima parte di . Dal segmento residuo si sottragga il massimo numero di volte la centesima parte di e così via.

Il simbolo , ..... ottenuto scrivendo dopo l'intero successivamente le cifre , , , ..... si chiama numero irrazionale, e si assume come misura di . Esso è un numero decimale illimitato non periodico (perchè altrimenti sarebbe commensurabile con ).

Ogni segmento N determina così la sua misura; segmenti uguali hanno misure uguali.

Viceversa due segmenti aventi misure uguali sono uguali.

Infatti, se è un intero qualsiasi, i due segmenti contengono lo stesso numero di volte la parte di (cioè il segmento ottenuto dividendo in parti uguali). La differenza dei due segmenti dati non può perciò superare ; e ciò, qualunque sia . Ma, se non è zero, io posso prendere così grande che . Ciò che contraddirebbe al già dimostrato. Quindi , e i due segmenti sono uguali.

Il postulato della continuità della retta ci assicura poi che:

Ogni numero decimale limitato o no è misura di un segmento N (e soltanto dei segmenti uguali a questo).

Vi è dunque una corrispondenza biunivoca tra i segmenti di una retta ed i numeri razionali o no (quando segmenti uguali si considerino come non distinti).

Tutti i numeri fin qui definiti diconsi positivi.

Di due numeri (razionali o irrazionali) positivi disuguali si naturalmente maggiore quello che misura segmento maggiore. È facile trasformare questa definizione. Se, per semplicità, escludiamo i numeri le cui cifre decimali sono da un certo punto in poi tutte uguali a nove, sostituendoli con altri, le cui cifre decimali sono da un certo punto in poi tutte uguali a zero, troviamo, come è ben noto:

Il numero p è maggiore del numero q se

la parte intera di p supera la parte intera di q oppure, se

le parti intere di p, q sono uguali, ma la prima cifra decimale di p supera l’omologa di q oppure, se

i numeri p, q sono uguali fino alle nesima cifra decimale, ma la cifra decimale di p supera l’omologa di q.

Non insistiamo sulle altre ben note proprietà delle disuguaglianze.

Secondo le nostre convenzioni, il numero non è che un simbolo per indicare il rapporto di due grandezze di una stessa classe di grandezze (per cui si può porre il problema della misura). Cosicchè al numero e all’algebra dei numeri potremmo in fondo sostituire il concetto di un tale rapporto e l’algebra dei rapporti. E come simbolo per indicare un rapporto, per esempio, delle lunghezze di due segmenti potremmo addirittura assumere una figura composta con due segmenti uguali ai segmenti dati.

Ognuno capisce quanto ciò sarebbe incomodo: e lo studio dei rapporti, così come ha svolto , indica già quanta complicazione ne verrebbe alla teoria.

Ma non è detto che i simboli da noi introdotti sieno gli unici possibili. Che si possano mutare è ben evidente. Basta, per esempio, pensare che nel nostro sistema (decimale) di numerazione il numero 10 (il numero della dita delle due mani) ha un posto preponderante. Se noi gli sostituissimo un altro numero (è stato già proposto il numero 12) come base del sistema di scrittura dei numeri, sarebbe già cambiato il nostro simbolismo).

Osservazione critica. — Il presente modo di esporre la teoria dei numeri irrazionali, per quanto molto semplice sotto molti riguardi, ha però l’inconveniente che la definizione pare dipenda appunto dal numero 10 scelto a base del nostro sistema di numerazione. Bisognerebbe perciò definire l’uguaglianza di due numeri (che avessero anche infinite cifre dopo la virgola) scritti in due differenti sistemi di numerazione: ciò che del resto non presenterebbe alcuna difficoltà. Se per esempio si ammettesse di ricorrere alla misura dei segmenti, due tali numeri di direbbero uguali, quando sono misura di segmenti uguali. E sarebbe anche molto facile trasformare questa proprietà in una proprietà equivalente di carattere puramente aritmetico.

Limite superiore e inferiore. Operazioni sui numeri positivi

ct ) Sia G una classe di numeri positivi. Cerchiamo, se esiste, il più grande di questi numeri, che noi indicheremo con . Evidentemente la parte intera di dovrebbe essere la più grande delle parti intere dei numeri . Distinguiamo due casi: 4 B) Tra le parti intere dei numeri di ve ne è una massima; esiste cioè un intero , tale che almeno un numero di abbia come parte intera, ma nessun numero di abbia parte intera maggiore di . In questo caso sia la massima prima cifra decimale di quei numeri di , che hanno come parte intera; sia la massima seconda cifra decimale di quei numeri di , che hanno per parte intera ed per

prima cifra decimale; sia la massima terza cifra decimale di quei numeri di , che hanno per parte intera ed , rispettivamente come prima e seconda cifra decimale. E così via. Noi chiameremo limite superiore dei numeri di il numero , che si ottiene scrivendo dopo le successive cifre decimali , , , ..... Evidentemente il numero cercato coincide, se esiste, con questo numero . 4 4 Una classe di numeri possiede in ogni caso un limite superiore . Se questo appartiene alla classe , esso è anche il massimo numero di . Se esso non appartiene a , la classe non contiene un numero massimo. Se non è , allora è il minimo numero, che non sia superato da alcun numero di ; se k è un intero qualsiasi, esiste in almeno un numero che coincide col limite superiore fino alla cifra decimale inclusa

Perciò sono possibili tre soli casi: 4 4 4

Un numero decimale illimitato è il limite superiore dei numeri decimali limitati, che se ne deducono trascurando le cifre decimali da un certo punto in poi. Così, per esempio, 0,3333..... è il limite superiore dei numeri 0,3; 0,33; 0,333; eccetera.

Se ogni numero della classe soddisfa alla , oppure alla , oppure alla , oppure alla (dove è un numero prefissato), allora il limite superiore soddisferà rispet- tivamente nei primi due casi alla , nel terzo alla , nel quarto alla . Notiamo in particolare che alla disuguaglianza per i numeri di corrisponde per il limite superiore la disuguaglianza attenuata .

) Se nelle precedenti considerazioni, anzichè scegliere la massima parte intera, e successivamente le massime cifre decimali, avessimo scelto la minima parte intera, e successivamente le minime cifre decimali, avremmo definito il limite inferiore di .

Nessun numero di G è minore del limite inferiore l, il quale è il più grande dei numeri che non superano alcun numero di G. Se tra i numeri di G ve ne è uno minimo, e soltanto in tale caso, il numero l appartiene a G , e coincide allora con tale numero minimo. Se k è un intero arbitrario, vi è in G almeno un numero uguale ad l almeno fino alla cifra decimale. Se i numeri m di G soddisfano alla m > h, allora l ≥ h; eccetera eccetera.

Nei casi 2° e 3° del precedente teorema L (che è finito) è anche il limite inferiore della classe G´ formata dai numeri positivi maggiori di ogni numero di G. Il numero L o è il massimo dei numeri di G, perchè appartiene a G, oppure è il minimo dei numeri di G, perchè appartiene a G´.

) La somma di due o più numeri positivi n, m, ... è il limite superiore della classe dei numeri (razionali) ottenuta sommando i numeri decimali limitati dedotti da n, m, ... tenendo conto soltanto di un numero finito di cifre decimali.

Questa definizione è la più naturale estensione del teorema: La somma di due o più numeri decimali limitati n, m, ... è maggiore del numero ottenuto sommando quei numeri che si deducono da n, m, ..., trascurando le cifre decimali a partire da un certo posto in poi.

È ben noto che da questa definizione si deduce: Se il segmento N è somma di più segmenti , , ..., la misura di N è eguale alla domma delle misure dei segmenti , , ...

Sono ben note le seguenti proprietà dell'addizione:

(proprietà commutativa)

(proprietà associativa).

In modo perfettamente analogo si definisce il prodotto di due o più numeri positivi; e si dimostrano poi le seguenti proprietà fondamentali della moltiplicazione:

(proprietà commutativa)

(proprietà associativa)

(proprietà distributiva)

La differenza [quoziente] di due numeri , si definisce poi come quel numero [quel numero ] che sommato con [moltiplicato per ] riproduce il numero .

Esistono regole di calcolo numerico per eseguire nel modo più rapido, ed evitando calcoli inutili, le operazioni elementari dell'aritmetica sui numeri decimali limitati od illimitati, quando sia prefissata l'approssimazione, che si esige dal risultato finale.

Queste regole possono essere assai utili per chi abbia da eseguire calcoli numerici. E il loro studio, di cui qui non ci possiamo occupare, perchè estraneo all'argomento di questo corso, è perciò assai raccomandabile per ogni calcolatore.

Restando nell'ambito dei numeri positivi o nulli, si può parlare della differenza , soltanto se .

Non si può parlare del quoziente se .

Con , se è un numero positivo, ed è un intero positivo, si indica il prodotto di fattori uguali ad . E si pone poi ; e, se , . Il simbolo si considera privo di significato.

Se è un intero positivo, con si indica il numero tale che . Se aumenta, aumenta tanto la quanto la . Se , sono interi positivi ed , con si intende la . Se poi è un numero positivo qualsiasi, con si intende il limite superiore delle potenze , quando sia uno dei numeri ottenuti da , tenendo conto soltanto di un numero finito di cifre decimali (dell'esponente ).

È noto che, se , sono numeri positivi o nulli arbitrari, allora:

Numeri reali

ct Insieme ai numeri positivi l’algebra considera, come è noto, anche i numeri negativi; i quali con le seguenti convenzioni, trovano pure applicazione nel problema della misura dei segmenti. fi

) Una retta si dice orientata, se è fissato su di essa un verso che si assume come positivo (nella figura e in quanto segue da sinistra a destra). Un segmento orientato di tale retta si ritiene percorso nel verso dal punto al punto , e si ritengono distinti i segmenti (orientati) , i cui versi sono opposti.

Misura algebrica di un segmento di è il rapporto di tale segmento al segmento unitario, preso col segno + o col segno — , secondo che il verso del segmento (il verso da a ) coincide col verso positivo o col verso negativo di . E se noi indichiamo con uno stesso simbolo un segmento e la sua misura, e per convenzione poniamo in generale , avremo , . Cioè:

La misura di un segmento cambia di segno se ne invertiamo gli estremi.

I numeri razionali o irrazionali, positivi o negativi, fin qui definiti, hanno ricevuto complessivamente il nome di numeri reali. Se è un numero reale, con ne indichiamo il valore assoluto; indichiamo cioè con lo stesso numero , se è positivo e il numero cambiato di segno, se è negativo.

Due numeri si diranno uguali se hanno uguale segno e uguale valore assoluto. I numeri negativi si considerano minori di zero e dei numeri positivi. Di due numeri negativi si considera maggiore quello che è minore in valore assoluto.

Siano dati i segmenti , ; preso un punto qualsiasi di , si consideri il segmento uguale (e quindi anche ugualmente orientato) a , e quindi il segmento uguale (e quindi anche ugualmente orientato) a . Il segmento (ed ogni segmento ad esso uguale) si dirà somma dei segmenti , . Questa definizione coincide evidentemente con la solita, quando i segmenti, , sono entrambi positivi.

Diremo poi somma di due numeri , il numero che misura il segmento somma dei due segmenti che hanno per misura oppure .

Si riconosce facilmente che:

1° Il segno della somma di due numeri è uguale al segno dell'addendo, il cui valore assoluto è più grande.

2° Il valore assoluto della somma di due numeri è uguale alla somma o alla differenza dei valori assoluti dei due addendi, secondo che questi hanno o non hanno lo stesso segno.

Queste proprietà potrebbero servire alla definizione puramente analitica della somma di due numeri.

Si estendono facilmente queste definizioni alla somma di più numeri, e si dimostrano le solite regole del calcolo algebrico.

Se , , , sono tre punti qualsiasi di , è per definizione:

, | ossia | .

Così se , , , sono punti qualsiasi di , è:

| .

donde: | .

Più in generale, se sono punti qualsiasi di , è .

E questa formola vale anche se i punti non sono tutti distinti.

) Si definisce poi il prodotto di due o più numeri reali (fattori) quel numero che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti dei fattori, e il segno + o il segno — secondo che vi è numero pari o dispari di fattori negativi.

Si definiscono poi la sottrazione e la divisione come le operazioni inverse de11’addizione e della moltiplicazione, estendendo quindi le solite regole del calcolo algebrico.

Un numero è minore o maggiore di un altro numero , secondochè è negativo o positivo.

) È poi evidente che se , sono numeri reali qualsiasi

.

Se , allora .

) Se è una classe di numeri negativi , e se , , sono i limiti superiore e inferiore dei numeri , allora e si dicono rispettivamente il limite inferiore e superiore dei numeri di . Queste definizioni appariranno spontanee a chi pensi che (secondo le proprietà da noi ricordate) di due numeri negativi si considera come minore quello che è maggiore in valore assoluto.

Se è una classe che contiene sia numeri positivi , sia numeri negativi , si dirà limite superiore (inferiore) di il limite superiore (inferiore) dei numeri positivi (negativi ) che appartengono a .

Anche in questo caso generale si può ripetere quanto per tali limiti si disse al .

) Se , sono due classi di numeri reali tali che il limite inferiore di coincida con il limite superiore di , noi diciamo che le classi , sono contigue, che è la classe superiore e che è il numero di separazione delle due classi. In tal caso nessun numero di può essere inferiore ad alcun numero di ; e, preso un intero positivo arbitrario, esiste tanto in che in almeno un numero che coincide con fino alla decimale. I due numeri così scelti in e in differiranno al più per .

Viceversa, se nessun numero della classe è inferiore ad un numero della classe , e se per ogni numero intero positivo esistono un numero di e un numero di , la cui differenza non supera , è ben evidente che le classi , sono contigue, e che è la classe superiore.

) La teoria delle potenze e delle radici rapidamente riassunta al si estende con qualche modificazione ai numeri negativi. Così, se è negativo, ed intero positivo, la è positiva se è pari, negativa se è dispari. Se ne deduce che, se è pari ed è negativo, il simbolo si deve considerare come sprovvisto di significato nell’attuale campo dei numeri reali.

E se, pure essendo pari, la è positiva, il simbolo ha un doppio significato. Perchè se è un numero positivo tale che , cosicchè , anche soddisfa alla analoga uguaglianza , cosicchè anche si può con- siderare come radice della . Salvo però avvertenza contraria, col simbolo indicheremo sempre la radice positiva.

Se è dispari, ha sempre uno e uno solo significato.

Secondo tali convenzioni non si parlerà mai di una potenza , quando è negativo, e dei due numeri interi , il secondo è pari. Nè parleremo mai di una potenza se è negativo, è irrazionale.

Se è un numero negativo, poniamo .

Vale anche nel caso attuale la formola

in tutti i casi in cui i simboli , hanno un significato.

) Se tre numeri , , sono legati dalla , noi diremo che è il logaritmo di in base , e scriveremo . La base si suppone positiva e quasi sempre maggiore di 1 (anzi assai spesso uguale a 10). Si dimostra:

4 4 4

| .

Applicazioni geometriche

ct ct

§ 5. —

§ 6. —

§ 7. —

Misura (algebrica) degli angoli

ct ) È uso universale misurare gli angoli, assumendo ad unità di misura il grado: che di solito si definisce come la novantesima parte di un angolo retto (e soltanto da pochissimi come la centesima parte di un angolo retto). La sessantesima parte del grado dicesi minuto primo, la sessantesima parte di un minuto primo dicesi minuto secondo.

Se poi vogliamo parlare di misura algebrica degli angoli posti nel piano del foglio col vertice in , fi dovremo cominciare ad assumere come positivo uno dei versi secondo cui può rotare un raggio di origine intorno ad mantenendosi nel piano del foglio; e in generale assumeremo come verso positivo il verso contrario a quello secondo cui si muoverebbero gli indici di un orologio posto nel piano del foglio col quadrante rivolto al lettore; questo verso è quello che trasporta (nel caso della figura 1) il raggio sul raggio attraverso l’angolo acuto. L’angolo descritto da un raggio (semiretta) , che ruota attorno alla propria origine , sarà considerato come positivo o come negativo secondo che la rotazione è avvenuta nel verso scelto come positivo o nel verso opposto; alla misura (per esempio in gradi) di quest’angolo premetteremo nei due casi rispettivamente il segno + o il segno — . L’angolo [oppure ] di due raggi , , aventi l’origine comune , sarà poi per definizione l’angolo di cui primo raggio deve rotare intorno ad per sovrapporsi al secondo raggio .

Quest’angolo non è determinato, ma anzi ha infiniti valori: infatti, se un giro positivo di gradi porta in , un giro

negativo di porta ancora in ; è, poichè un giro di ( essendo un qualsiasi intero positivo) porta in , anche un giro positivo di , oppure un giro negativo di porta in . Quindi, se è la misura (algebrica) di in gradi, sono altrettanti valori della misura dello stesso angolo, qualunque sia l’intero positivo o negativo; e viceversa, se è un valore di tutti gli altri valori di differiscono da per un multiplo di . Noi considereremo naturalmente questi infiniti valori come equivalenti, ossia considereremo come equivalenti due angoli e , quando la loro differenza è un multiplo di e scriveremo in tal caso , e anche talvolta .

Se è nota la posizione di un raggio uscente da , la posizione di ogni altro raggio uscente da è determinata, quando si conosca un valore dell’angolo . È poi evidente che se sono due raggi aventi la stessa origine e se con un giro di gradi intorno ad (essendo numero positivo o negativo qualunque) il raggio si sovrappone a , con un giro uguale ma di segno contrario il raggio si sovrappone ad , cosicchè:

Se , , sono tre raggi posti nello stesso piano ed aventi la stessa origine , se un giro di gradi porta nel raggio , e un giro di gradi porta nel raggio , allora un giro di gradi porterà in : quindi

In generale se , , , ....., , sono raggi posti nello stesso piano ed uscenti da si avrà:

) Se , sono due punti, per raggio intenderemo sempre il raggio uscente da e contenente .

Siano ora , due rette, su ciascuna delle quali è fissato il verso positivo, che si incontrino in un punto : se , sono due punti di , tali che i segmenti , siano positivi, l’angolo sarà per definizione l’angolo dei raggi , .

Se , non s’incontrano, e se , sono due segmenti positivi di , , per angolo s’intende l’angolo del raggio col raggio parallelo ad ed avente la stessa orientazione di (vale a dire tale che i segmenti , cadano da una stessa banda della retta ).

Se indica una retta, su cui è fissato un certo verso come positivo, si suole indicare con la stessa retta, in cui si sia invertito il verso considerato come positivo; sono evidenti allora le seguenti uguaglianze:

Similmente si trova:

) Come unità di misura degli angoli è però teoricamente preferibile un’altra unità di misura, che sarà ora definita e che verra sempre adottata in questo libro.

Sia un angolo qualsiasi di vertice : si descriva una circonferenza avente il centro , il raggio arbitrario, e sia la lunghezza dell’arco di circonferenza sotteso dall’angolo (al centro) . Il rapporto è uguale alla lunghezza di detto arco, quando si assuma come unità di misura delle lunghezze il raggio . Questo rapporto non varia al variare di (perchè archi di cerchi concentrici sottesi da uno stesso angolo al centro hanno lunghezze proporzionali al raggio del cerchio su cui giacciono) ed è proporzionale all’angolo . Noi assumeremo questo rapporto come misura dell’angolo e chiameremo radiante l’angolo che in questo sistema di misura ha per misura 1; il radiante sarà quindi l’angolo che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio. Se , l’arco di cerchio corrispondente è uguale all’intera circonferenza e ha per lunghezza ; quindi l’angolo di , misurato in radianti, ha per misura