Résumé des leçons données à l’école polytechnique sur le calcul infinitésimal

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DONNÉES

À L’ÉCOLE ROYALE POLYTECHNIQUE,

SUR

Avertissement

AVERTISSEMENT.

et ouvrage, entrepris sur la demande du Conseil d’instruction de l’École royale polytechnique, offre le résumé des Leçons que j’ai données à cette École sur le calcul infinitésimal. Il sera composé de deux volumes correspondans aux deux années qui forment la durée de l’enseignement. Je publie aujourd’hui le premier volume divisé en quarante Leçons, dont les vingt premières comprennent le calcul différentiel, et les vingt dernières une partie du calcul intégral. Les méthodes que j’ai suivies diffèrent à plusieurs égards de celles qui se trouvent exposées dans les ouvrages du même genre. Mon but principal a été de concilier la rigueur, dont je m’étais fait une loi dans mon Cours d’analyse, avec la simplicité qui résulte de la considération directe des quantités infiniment petites. Pour cette raison, j’ai cru devoir rejeter les développemens des fonctions en séries infinies, toutes les fois que les séries obtenues ne sont pas convergentes ; et je me suis vu forcé de renvoyer au calcul intégral la formule de , cette formule ne pouvant plus être admise comme générale qu’autant que la série qu’elle renferme se trouve réduite à un nombre fini de termes, et complétée par une intégrale définie. Je n’ignore pas que l’illustre auteur de la Mécanique analytique a pris la formule dont il s’agit pour base de sa théorie des fonctions dérivées. Mais, malgré tout le respect que commande une si grande autorité, la plupart des géomètres s’accordent maintenant à reconnaître l’incertitude des résultats auxquels on peut être conduit par l’emploi de séries divergentes, et nous ajouterons que, dans plusieurs cas, le théorème de semble fournir le développement d’une fonction en série convergente, quoique la somme de la série diffère essentiellement de la fonction proposée [voyez la fin de la ]. Au reste, ceux qui liront mon ouvrage, se convaincront, je l’espère, que les principes du calcul différentiel, et ses applications les plus importantes, peuvent être facilement exposés, sans l’intervention des séries.

Dans le calcul intégral, il m’a paru nécessaire de démontrer généralement l’existence des intégrales ou fonctions primitives avant de faire connaître leurs diverses propriétés. Pour y parvenir, il a fallu d’abord établir la notion d’intégrales prises entre des limites données ou intégrales définies. Ces dernières pouvant être quelquefois infinies ou indéterminées, il était essentiel de rechercher dans quels cas elles conservent une valeur unique et finie. Le moyen le plus simple de résoudre la question est l’emploi des intégrales définies singulières qui sont l’objet de la . De plus, parmi les valeurs en nombre infini, que l’on peut attribuer à une intégrale indéterminée, il en existe une qui mérite une attention particulière, et que nous avons nommée valeur principale. La considération des intégrales définies singulières et celle des valeurs principales des intégrales indéterminées sont très-utiles dans la solution d’une foule de problèmes. On en déduit un grand nombre de formules générales propres à la détermination des intégrales définies, et semblables à celles que j’ai données dans un Mémoire présenté à l’Institut en 1814. On trouvera dans les Leçons 34 et 39 une formule de ce genre appliquée à l’évaluation de plusieurs intégrales définies, dont quelques-unes étaient déjà connues.

Leçon 1

PREMIÈRE LEÇON.

DES VARIABLES, DE LEURS LIMITES ET DES QUANTITÉS INFINIMENT PETITES.

On nomme quantité variable celle que l’on considère comme devant recevoir successivement plusieurs valeurs différentes les unes des autres. On appelle au contraire quantité constante toute quantité qui reçoit une valeur fixe et déterminée. Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même variable s’approchent indéfiniment d’une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l’on voudra, cette dernière est appelée la limite de toutes les autres. Ainsi, par exemple, la surface du cercle est la limite vers laquelle convergent les surfaces des polygones réguliers inscrits, tandis que le nombre de leurs côtés croît de plus en plus ; et le rayon vecteur, mené du centre d’une hyperbole à un point de la courbe qui s’éloigne de plus en plus de ce centre, forme avec l’axe des un angle qui a pour limite l’angle formé par l’asymptote avec le même axe ; … Nous indiquerons la limite vers laquelle converge une variable donnée par l’abréviation placée devant cette variable.

Souvent les limites vers lesquelles convergent des expressions variables se présentent sous une forme indéterminée, et néanmoins on peut encore fixer, à l’aide de méthodes particulières, les véritables valeurs de ces mêmes limites. Ainsi, par exemple, les limites dont s’approchent indéfiniment les deux expressions variables

On a évidemment, pour de très petites valeurs numériques de

Par conséquent le rapport toujours compris entre les deux quantités et dont la première sert de limite à la seconde, aura lui-même l’unité pour limite.

Cherchons maintenant la limite vers laquelle converge l’expression tandis que s’approche indéfiniment de zéro. Si l’on suppose d’abord la quantité positive et de la forme désignant un nombre entier variable et susceptible d’un accroissement indéfini, on aura

Supposons maintenant que toujours positif, ne soit plus de la forme Désignons dans cette hypothèse par et les deux nombres entiers immédiatement inférieur et supérieur à en sorte qu’on ait

Supposons enfin que devienne une quantité négative. Si l’on fait dans cette hypothèse

Lorsque les valeurs numériques successives d’une même variable décroissent indéfiniment de manière à s’abaisser au-dessous de tout nombre donné, cette variable devient ce qu’on nomme un infiniment petit ou une quantité infiniment petite. Une variable de cette espèce a zéro pour limite. Telle est la variable dans les calculs qui précèdent.

Lorsque les valeurs numériques successives d’une même variable croissent de plus en plus, de manière à s’élever au-dessus de tout nombre donné, on dit que cette variable a pour limite l’infini positif indiqué par le signe s’il s’agit d’une variable positive ; et l’infini négatif indiqué par la notation s’il s’agit d’une variable négative. Tel est le nombre variable que nous avons employé ci-dessus.

Leçon 2

DEUXIÈME LEÇON.

DES FONCTIONS CONTINUES ET DISCONTINUES. REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUES DES FONCTIONS CONTINUES.

Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles que, la valeur de l’une d’elles étant donnée, on puisse en conclure les valeurs de toutes les autres, on conçoit d’ordinaire ces diverses quantités exprimées au moyen de l’une d’entre elles, qui prend alors le nom de variable indépendante ; et les autres quantités, exprimées au moyen de la variable indépendante, sont ce qu’on appelle des fonctions de cette variable.

Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles que, les valeurs de quelques-unes étant données, on puisse en conclure celles de toutes les autres, on conçoit ces diverses quantités exprimées au moyen de plusieurs d’entre elles, qui prennent alors le nom de variables indépendantes ; et les quantités restantes, exprimées au moyen des variables indépendantes, sont ce qu’on appelle des fonctions de ces mêmes variables. Les diverses expressions que fournissent l’Algèbre et la Trigonométrie, lorsqu’elles renferment des variables considérées comme indépendantes, sont autant de fonctions de ces variables. Ainsi, par exemple,

Lorsque des fonctions d’une ou plusieurs variables se trouvent, comme dans les exemples précédents, immédiatement exprimées au moyen de ces mêmes variables, elles sont nommées fonctions explicites. Mais, lorsqu’on donne seulement les relations entre les fonctions et les variables, c’est-à-dire les équations auxquelles ces quantités doivent satisfaire, tant que ces équations ne sont pas résolues algébriquement, les fonctions n’étant pas exprimées immédiatement au moyen des variables sont appelées fonctions implicites. Pour les rendre explicites, il suffit de résoudre, lorsque cela se peut, les équations qui les déterminent. Par exemple, étant une fonction implicite de déterminée par l’équation

si l’on nomme la base du système de logarithmes que l’on considère, la même fonction, devenue explicite par la résolution de l’équation donnée, sera

Lorsqu’on veut désigner une fonction explicite d’une seule variable ou de plusieurs variables sans déterminer la nature de cette fonction, on emploie l’une des notations

Souvent, dans le calcul, on se sert de la caractéristique pour indiquer les accroissements simultanés de deux variables qui dépendent l’une de l’autre. Cela posé, si la variable est exprimée en fonction de la variable par l’équation

Plus généralement, si l’on suppose

Il est bon d’observer que, des équations (1) et (2) réunies, on conclut

Soient maintenant et deux quantités distinctes, la première finie, la seconde infiniment petite, et le rapport infiniment petit de ces deux quantités. Si l’on attribue à la valeur finie la valeur de donnée par l’équation (5), deviendra ce qu’on appelle la différence finie de la fonction et sera ordinairement une quantité finie. Si, au contraire, l’on attribue à une valeur infiniment petite, si l’on fait par exemple

Lorsque, la fonction admettant une valeur unique et finie pour toutes les valeurs de comprises entre deux limites données, la différence

On dit encore que la fonction est, dans le voisinage d’une valeur particulière attribuée à la variable fonction continue de cette variable toutes les fois qu’elle est continue entre deux limites, même très rapprochées, qui renferment la valeur en question.

Enfin, lorsqu’une fonction cesse d’être continue dans le voisinage d’une valeur particulière de la variable on dit qu’elle devient alors discontinue, et qu’il y a pour cette valeur particulière solution de continuité. Ainsi, par exemple, il y a solution de continuité dans la fonction pour dans la fonction pour étant un nombre entier quelconque ; etc.

D’après ces explications, il sera facile de reconnaître entre quelles limites une fonction donnée de la variable est continue par rapport à cette variable. (Voir, pour de plus amples développements, le Chapitre II de la I Partie du Cours d’Analyse, publié en 1821).

Concevons à présent qué l’on construise la courbe qui a pour équation en coordonnées rectangulaires Si la fonction est continue entre les limites à chaque abscisse comprise entre ces limites correspondra une seule ordonnée ; et de plus, venant à croître d’une quantité infiniment petite croîtra d’une quantité infiniment petite Par suite, à deux abscisses très rapprochées correspondront deux points très rapprochés l’un de l’autre, puisque leur distance sera elle-même une quantité infiniment petite. Ces conditions ne peuvent être satisfaites qu’autant que les différents points forment une ligne continue entre les limites

Exemples. — Construire les courbes représentées par les équations

Déterminer les formes générales de ces mêmes courbes.

Leçon 3

TROISIÈME LEÇON.

DÉRIVÉES DES FONCTIONS D’UNE SEULE VARIABLE.

Lorsque la fonction reste continue entre deux limites données de la variable et que l’on assigne à cette variable une valeur comprise entre les deux limites dont il s’agit, un accroissement infiniment petit, attribué à la variable, produit un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même. Par conséquent, si l’on pose alors les deux termes du rapport aux différences

fonction le nom de fonction dérivée, et on la désigne, à l’aide d’un accent, par la notation

Dans la recherche des dérivées des fonctions d’une seule variable il est utile de distinguer les fonctions que l’on nomme simples, et que ´l’on considère comme résultant d’une seule opération effectuée sur cette variable, d’avec les fonctions que l’on construit à l’aide de plusieurs opérations et que l’on nomme composées. Les fonctions simples que produisent les opérations de l’Algèbre et de la Trigonométrie (voir la I Partie du Cours d’Analyse, Chap. I) peuvent être réduites aux suivantes

pour

Dans ces dernières formules, la lettre désigne le nombre qui sert de limite à l’expression Si l’on prend ce nombre pour base d’un système de logarithmes, on obtiendra les logarithmes népériens ou hyperboliques, que nous indiquerons toujours à l’aide de la lettre Cela posé, on aura évidemment

Les diverses formules qui précèdent étant établies seulement pour les valeurs de auxquelles correspondent des valeurs réelles de on doit supposer positive dans celles de ces formules qui se rapportent aux fonctions et même à la fonction lorsque désigne une fraction de dénominateur pair ou un nombre irrationnel.

Soit maintenant une seconde fonction de liée à la première par la formule

pour

Nous remarquerons, en finissant, que les dérivées des fonctions composées se déterminent quelquefois aussi facilement que celles des fonctions simples. Ainsi, par exemple, on trouve, pour

Leçon 4

QUATRIÈME LEÇON.

DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS D’UNE SEULE VARIABLE.

Soient toujours une fonction de la variable indépendante une quantité infiniment petite, et une quantité finie. Si l’on pose sera encore une quantité infiniment petite, et l’on aura identiquement

Ainsi la différentielle de la variable indépendante n’est autre chose que la constante finie Cela posé, l’équation (2) deviendra

Différentier une fonction, c’est trouver sa différentielle. L’opération par laquelle on différentie s’appelle différentiation.

En vertu de la formule (4), on obtiendra immédiatement les différentielles des fonctions dont on aura calculé les dérivées. Si l’on applique d’abord cette formule aux fonctions simples, on trouvera

On établira de même les équations

Ces diverses équations, ainsi que celles auxquelles nous sommes parvenus dans la Leçon précédente, ne doivent être considérées jusqu’à présent comme démontrées que pour les valeurs de auxquelles correspondent des valeurs réelles des fonctions dont on cherche les dérivées.

En conséquence, parmi les fonctions simples, celles dont les différentielles peuvent être censées connues pour des valeurs réelles quelconques de la variable sont les suivantes

Il est encore essentiel d’observer que, conformément aux conventions établies dans la I Partie du Cours d’Analyse, nous faisons usage de l’une des notations

plus petite valeur numérique ou, si ces arcs sont deux à deux égaux et de signes contraires, celui qui a la plus petite valeur positive ; en conséquence, sont des arcs compris entre les limites et des arcs compris entre les limites et

Lorsqu’on suppose et l’équation (1), dont le second membre a pour limite peut être présentée sous la forme

Supposons maintenant les fonctions et liées par l’équation

puis, en passant aux limites et ayant égard à la formule (7),

Exemples :

Leçon 5

CINQUIÈME LEÇON.

Dans les Leçons précédentes, nous avons montré comment l’on forme les dérivées et les différentielles des fonctions d’une seule variable. Nous allons ajouter aux recherches que nous avons faites à ce sujet de nouveaux développements.

Soient toujours la variable indépendante et un accroissement infiniment petit attribué à cette variable. Si l’on désigne par plusieurs fonctions de et par les accroissements simultanés qu’elles reçoivent, tandis que l’on fait croître de les différentielles seront, d’après leurs définitions mêmes, respectivement égales aux limites des rapports

Cela posé, concevons d’abord que la fonction soit la somme de toutes les autres, en sorte qu’on ait

Lorsqu’on divise par les deux membres de cette dernière équation, elle devient

Premièrement, si l’on désigne par un nombre entier, et par des quantités constantes, on trouvera

Soit maintenant

et, dans tous les cas possibles,

Exemples :

Soit encore

Exemples :

Si les fonctions se réduisent à des fonctions entières, le rapport deviendra ce qu’on nomme une fraction rationnelle. On déterminera facilement sa différentielle à l’aide des formules (6) et (14).

Après avoir formé les différentielles du produit et du quotient on obtiendra sans peine celles de plusieurs autres expressions telles que En effet, on trouvera pour

Exemples :

Nous terminerons cette Leçon en recherchant la différentielle d’une fonction imaginaire. On nomme ainsi toute expression qui peut être ramenée à la forme et désignant deux fonctions réelles. Cela posé, si l’on appelle limite d’une expression imaginaire variable ce que devient cette expression quand on y remplace la partie réelle et le coefficient de par leurs limites respectives, et si, de plus, on étend aux fonctions imaginaires les définitions que nous avons données pour les différences, les différentielles et les dérivées des fonctions réelles, on reconnaîtra que l’équation

Si l’on suppose en particulier

Ajoutons que les formules (4), (5), (6), (11) et (14) subsisteront lors même que les constantes ou les fonctions comprises dans ces formules deviendront imaginaires.

SIXIÈME LEÇON.

Après avoir appris à former les dérivées et les différentielles des fonctions d’une seule variable, nous allons indiquer l’usage qu’on peut en faire pour la solution de plusieurs problèmes.

Problème I. — La fonction étant supposée continue par rapport à dans le voisinage de la valeur particulière on demande si, à partir de cette valeur, la fonction croît ou diminue, tandis que l’on fait croître ou diminuer la variable elle-même.

Solution. — Soient les accroissements infiniment petits et simultanés des variables Le rapport aura pour limite On doit en conclure que, pour de très petites valeurs numériques de et pour une valeur particulière de la variable le rapport sera positif si la valeur correspondante de est une quantité positive et finie, négatif si cette valeur de est une quantité finie, mais négative. Dans le premier cas, les différences infiniment petites. étant de même signe, la fonction croîtra ou diminuera, à partir de en même temps que la variable Dans le second cas, les différences infiniment petites étant de signes contraires, la fonction croîtra si la variable diminue, et décroîtra si la variable augmente.

Ces principes étant admis, concevons que la fonction demeure continue entre deux limites données Si l’on fait croître la variable par degrés insensibles depuis la première

Leçon 6

SIXIÈME LEÇON.

Après avoir appris à former les dérivées et les différentielles des fonctions d’une seule variable, nous allons indiquer l’usage qu’on peut en faire pour la solution de plusieurs problèmes.

Problème I. — La fonction étant supposée continue par rapport à dans le voisinage de la valeur particulière on demande si, à partir de cette valeur, la fonction croît ou diminue, tandis que l’on fait croître ou diminuer la variable elle-même.

Solution. — Soient les accroissements infiniment petits et simultanés des variables Le rapport aura pour limite On doit en conclure que, pour de très petites valeurs numériques de et pour une valeur particulière de la variable le rapport sera positif si la valeur correspondante de est une quantité positive et finie, négatif si cette valeur de est une quantité finie, mais négative. Dans le premier cas, les différences infiniment petites. étant de même signe, la fonction croîtra ou diminuera, à partir de en même temps que la variable Dans le second cas, les différences infiniment petites étant de signes contraires, la fonction croîtra si la variable diminue, et décroîtra si la variable augmente.

Ces principes étant admis, concevons que la fonction demeure continue entre deux limites données Si l’on fait croître la variable par degrés insensibles depuis la première

limite jusqu’à la seconde, la fonction y ira en croissant toutes les fois que sa dérivée étant finie aura une valeur positive, et en décroissant, toutes les fois que cette même dérivée obtiendra une valeur négative. Donc la fonction ne pourra cesser de croître pour diminuer ou de diminuer pour croître qu’autant que la dérivée passera du positif au négatif ou réciproquement. Il est essentiel d’observer que, dans ce passage, la fonction dérivée deviendra nulle si elle ne cesse pas d’être continue.

Lorsqu’une valeur particulière de la fonction surpasse toutes les valeurs voisines, c’est-à-dire toutes celles qu’on obtiendrait en faisant varier en plus ou en moins d’une quantité très petite, cette valeur particulière de la fonction est ce qu’on appelle un maximum.

Lorsqu’une valeur particulière de la fonction est inférieure à toutes les valeurs voisines, elle prend le nom de minimum.

Cela posé, il est clair que, si les deux fonctions sont continues dans le voisinage d’une valeur donnée de la variable cette valeur ne pourra produire un maximum ou un minimum de qu’en faisant évanouir

Problème — Trouver les maxima et minima d’une fonction de la seule variable

Solution. — Soit la fonction proposée. On cherchera d’abord les valeurs de par lesquelles la fonction cesse d’être continue. À chacune de ces valeurs, s’il en existe, correspondra une valeur de la fonction elle-même qui sera ordinairement ou une quantité infinie, ou un maximum ou un minimum.

On cherchera, en second lieu, les racines de l’équation

Soit une de ces racines ou une de ces valeurs. La valeur correspondante de savoir sera un maximum si, dans le voisinage de la fonction dérivée est positive pour et négative pour Au contraire, sera un minimum si la fonction dérivée est négative pour et positive pour Enfin, si, dans le voisinage de la fonction dérivéc était ou constamment positive ou négative, la quantité ne serait plus ni un maximum ni un minimum.

Exemples. — Les deux fonctions qui deviennent discontinues en passant du réel à l’imaginaire, tandis que la variable diminue en passant par zéro, obtiennent, pour une valeur nulle, laquelle représente un minimum de la première fonction et un maximum de la seconde.

Les deux fonctions dont les dérivées passent du positif au négatif en se réduisant à zéro ou à l’infini pour une valeur nulle de ont l’une et l’autre zéro pour valeur minimum. Quant aux deux fonctions dont les dérivées deviennent encore nulles ou infinies pour mais restent positives pour toute autre valeur de elles n’admettent ni maximum ni minimum.

La fonction dont la dérivée est obtient, pour la valeur minimum ce qu’on vérifie aisément en mettant la fonction donnée sous la forme

La fonction dont la dérivée est obtient, pour quand surpasse l’unité, la valeur minimum

La fonction dont la dérivée est obtient, pour la valeur maximum

La fonction dont la dérivée est obtient, pour la valeur maximum

Problème III. — Déterminer l’inclinaison d’une courbe en un point donné.

Solution. — Considérons la courbe qui a pour équation en coordonnées rectangulaires Dans cette courbe, la corde menée du point au point forme, avec l’axe des prolongé dans le sens des x positives, deux angles, l’un aigu, l’autre obtus, dont le premier mesure l’inclinaison de la corde par rapport à l’axe des x. Si le second point vient à se rapprocher à une distance infiniment petite du premier, la corde se confondra sensiblement avec la tangente menée à la courbe par ce premier point, et l’inclinaison de la corde, par rapport à l’axe des deviendra l’inclinaison de la tangente ou ce qu’on nomme l’inclinaison de la courbe par rapport au même axe. Cela posé, comme l’inclinaison de la corde aura pour tangente trigonométrique la valeur numérique du rapport il est clair que l’inclinaison de la courbe aura pour tangente trigonométrique la valeur numérique de la limite vers laquelle ce rapport converge, c’est-à-dire de la fonction dérivée

Si la valeur de est nulle ou infinie, la tangente à la courbe sera parallèle ou perpendiculaire à l’axe des C’est ordinairement ce qui arrive quand l’ordonnée devient un maximum ou un minimum.

Exemples :

Problème IV. — On demande la véritable valeur d’une fraction dont les deux termes sont des fonctions de la variable dans le cas où l’on attribue à cette variable une valeur particulière, pour laquelle la fraction se présente sous la forme indéterminée

Solution. — Soit la fraction proposée, et désignant deux fonctions de la variable et supposons que la valeur particulière réduise cette fraction à la forme c’est-à-dire qu’elle fasse évanouir et Si l’on représente par les accroissements infiniment petits et simultanés des trois variables on aura, pour une valeur quelconque de

Exemples. — On aura, pour

SEPTIÈME LEÇON.

Nous avons considéré dans la Leçon précédente les fonctions de la variable qui, pour une valeur particulière de la variable, se présentent sous la forme indéterminée. Il arrive souvent que cette forme se trouve remplacée par l’une des suivantes : Ainsi, lorsque croît indéfiniment avec les valeurs particulières des deux fonctions

Soit proposée d’abord la fonction désignant un nombre supérieur à l’unité, et concevons que l’on cherche la véritable valeur de cette fonction pour On observera que, pour des valeurs de supérieures à la fonction dérivée étant toujours positive, la fonction donnée sera toujours croissante avec D’ailleurs, si l’on repré-

Leçon 7

SEPTIÈME LEÇON.

Nous avons considéré dans la Leçon précédente les fonctions de la variable qui, pour une valeur particulière de la variable, se présentent sous la forme indéterminée. Il arrive souvent que cette forme se trouve remplacée par l’une des suivantes : Ainsi, lorsque croît indéfiniment avec les valeurs particulières des deux fonctions

Soit proposée d’abord la fonction désignant un nombre supérieur à l’unité, et concevons que l’on cherche la véritable valeur de cette fonction pour On observera que, pour des valeurs de supérieures à la fonction dérivée étant toujours positive, la fonction donnée sera toujours croissante avec D’ailleurs, si l’on repré-

sente par de un nombre entier susceptible d’un accroissement indéfini, l’expression

Cherchons, en second lieu, la véritable valeur de la fonction pour la base des logarithmes étant un nombre supérieur à l’unité. Comme, en faisant on trouvera

Cherchons encore la valeur de pour Comme on aura évidemment

Lorsqu’on remplace, dans les formules (2) et (3), par on en conclut que les fonctions et convergent respectivement vers les limites et tandis que l’on fait converger vers la limite zéro.

Nous allons maintenant faire connaître une relation digne de remarque qui existe entre la dérivée d’une fonction quelconque et le rapport aux différences finies Si dans ce rapport on attribue à une valeur particulière et si l’on fait, en outre, il prendra la forme Cela posé, on établira sans peine la proposition suivante :

Démonstration. — Désignons par deux nombres très petits, le premier étant choisi de telle sorte que, pour des valeurs numériques de inférieures à et pour une valeur quelconque de comprise entre les limites le rapport

qui, étant tous de même signe, aient des valeurs numériques inférieures à les fractions

Corollaire. - Si la fonction dérivée est elle-même continue entre les limites en passant d’une limite à l’autre, cette fonction variera de manière à rester toujours comprise entre les deux valeurs et et à prendre successivement toutes les valeurs intermédiaires. Donc alors toute quantité moyenne entre et sera une valeur de correspondante à une valeur de renfermée entre les limites et ou, ce qui revient au même, à une valeur de de la forme

ou, ce qui revient au même, la suivante :

Exemples. - En appliquant la formule (7) aux fonctions on trouve

Leçon 8

HUITIÈME LEÇON.

DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. DÉRIVÉES PARTIELLES ET DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES.

Soit une fonction de plusieurs variables indépendantes Désignons par une quantité infiniment petite, et par

Cela posé, concevons que l’on attribue aux variables des accroissements quelconques et soit l’accroissement correspondant de la fonction en sorte qu’on ait

Si l’on assigne à des valeurs finies la valeur de donnée par l’équation (1), deviendra ce qu’on appelle la différence finie de la fonction et sera ordinairement une quantité finie. Si, au contraire, désignant un rapport infiniment petit, l’on suppose

On détermine facilement la différentielle totale de la fonction

Exemples :

Il est essentiel d’observer que, dans la valeur de donnée par l’équation (8), le terme est précisément la différentielle qu’on ’obtiendrait pour la fonction

Pour abréger, on supprime ordinairement dans les équations (9) les lettres que nous avons placées au bas de la caractéristique et l’on représente simplement les dérivées partielles de prises relativement à par les notations

Les définitions et les formules ci-dessus établies s’étendent sans difficulté au cas où la fonction devient imaginaire. Ainsi, par exemple, si l’on pose les dérivées partielles de et sa différentielle totale seront respectivement données par les équations

Nous indiquerons, en finissant, un moyen fort simple de ramener le calcul des différentielles totales à celui des fonctions dérivées. Si dans l’expression on considère comme seule variable, et si l’on pose en conséquence

mais encore

Leçon 9

NEUVIÈME LEÇON.

USAGE DES DÉRIVÉES PARTIELLES DANS LA DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS COMPOSÉES. DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS IMPLICITES.

Soit une fonction quelconque des quantités variables que nous supposerons être elles-mêmes fonctions des variables indépendantes sera une fonction composée de ces dernières variables ; et, si l’on désigne par des accroissements arbitraires simultanément attribués à les accroissements correspondants des fonctions seront liés entre eux par la formule

Soient d’ailleurs les dérivées partielles de la fonction prises successivement par rapport à Comme l’équation (6) de la Leçon précédente a lieu pour des valeurs quelconques des variables et de leurs accroissements on en conclura, en remplaçant par et la fonction par la fonction

et que l’on divise par les deux membres de l’équation (2), on en tirera

En appliquant la formule (4) à des cas particuliers, on trouvera

Dans le cas particulier où l’on suppose fonction de la seule variable fonction de la seule variable fonction de la seule variable on peut arriver directement à l’équation (4), en partant de la formule (10) de la Leçon précédente. En effet, en vertu de cette formule, on aura généralement

Soit maintenant une seconde fonction des variables indépendantes Si l’on a identiquement, c’est-à-dire pour des valeurs quelconques de ces variables,

Dans ces dernières équations, est évidemment une fonction implicite de la variable une fonction implicite des variables

De même, si l’on admet que les variables cessant d’être indépendantes, soient liées entre elles par une équation de la forme

Comme on aura d’ailleurs, dans le premier cas,

Lorsqu’on désigne par la fonction les équations (11) et (12) peuvent s’écrire simplement comme il suit :

Si les variables au lieu d’être assujetties à une seule équation de la forme étaient liées entre elles par deux équations de cette espèce, telles que

En général, si variables sont liées entre elles par équations, telles que

Leçon 10

DIXIÈME LEÇON.

THÉORÈME DES FONCTIONS HOMOGÈNES. MAXIMA ET MININA DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES.

On dit qu’une fonction de plusieurs variables est homogène lorsque, en faisant croître ou décroître toutes les variables dans un rapport donné, on obtient pour résultat la valeur primitive de la fonction multipliée par une puissance de ce rapport. L’exposant de cette puissance est le degré de la fonction homogène. En conséquence, sera une fonction de homogène et du degré si, désignant une nouvelle variable, on a, quel que soit

Démonstration. Soient la fonction donnée et ses dérivées partielles par rapport à à à etc. Si l’on différentie les deux membres de l’équation (1), en y considérant seule comme variable, on trouvera

puis, en divisant par et posant

Corollaire. — Pour une fonction homogène d’un degré nul, on aura

Exemples. — Appliquer le théorème aux fonctions et

Lorsqu’une fonction réelle de plusieurs variables indépendantes atteint une valeur particulière qui surpasse toutes les valeurs : voisines, c’est-à-dire toutes celles qu’on obtiendrait en faisant varier en plus ou en moins de quantités très petites, cette valeur particulière de la fonction est ce qu’on appelle un maximum.

Lorsqu’une valeur particulière d’une fonction réelle de est inférieure à toutes les valeurs voisines, elle prend le nom de minimum.

La recherche des maxima et minima des fonctions de plusieurs. variables se ramène facilement à la recherche des maxima et minima des fonctions d’une seule variablė. Supposons, en effet, que