Leçons sur les applications du calcul infinitésimal à la géométrie

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SUR

LES APPLICATIONS DU CALCUL INFINITÉSIMAL À LA GÉOMÉTRIE ;

Par M. Augustin-louis CAUCHY,

Avertissement

AVERTISSEMENT

et ouvrage, destiné à faire suite au Résumé des Leçons sur le Calcul infinitésimal offrira les applications de ce calcul à la géométrie. Il sera divisé en trois volumes, dont les deux premiers comprendront celles des applications géométriques du calcul différentiel et du calcul intégral qui sont relatives à la première année du Cours d’analyse de l’École royale polytechnique. Je publie aujourd’hui le premier volume, qui renferme les principales applications du calcul différentiel. Dans la solution des différens problèmes j’ai cherché à concilier la rigueur des démonstrations avec la simplicité des méthodes. Lorsqu’on fait usage de coordonnées rectilignes, soit rectangulaires, soit obliques, l’un des principaux moyens d’abréger les calculs consiste à résoudre les questions proposées à l’aide de formules dont chacune exprime l’égalité de plusieurs fractions qui soient des fonctions semblables ou des fonctions symétriques des trois coordonnées. L’utilité de ces formules se fait remarquer même dans les applications de l’analyse algébrique aux problèmes qui concernent la ligne droite et le pian. C’est ce que l’on reconnaîtra sans peine en jetant les yeux sur les Préliminaires placés en tête de l’ouvrage.

On trouvera dans la neuvième, la vingt-unième et la vingt-deuxième Leçon, une nouvelle théorie des contacts des courbes et

des surfaces courbes, qui a l’avantage de reposer sur des définitions indépendantes du système de coordonnées que l’on adopte, et de présenter en même temps une idée très-nette du rapprochement plus ou moins considérable de deux courbes ou de deux surfaces qui ont entre elles un contact d’un ordre plus ou moins élevé.

Du reste, en composant cet ouvrage j’ai mis à profit les travaux des géomètres qui ont écrit sur le même sujet, ainsi que les lumières de . Je dois à ce dernier, entre autres choses, la définition que j’ai donnée, dans la dix-septième Leçon, du rayon de courbure d’une courbe quelconque ; et c’est d’après ses conseils que j’ai placé la théorie du cercle osculateur avant celle des contacts des divers ordres.

Préliminaires

PRÉLIMINAIRES.

REVUE DE QUELQUES FORMULES DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

Avant d’exposer les applications géométriques du Calcul infinitésimal, il sera fort utile d’établir quelques notions et quelques formules préliminaires tel est l’objet dont nous allons d’abord nous occuper.

Nous déterminerons ordinairement la position d’un point dans l’espace à l’aide de trois coordonnées rectilignes relatives à trois axes des des et des passant par l’origine des coordonnées, et formés par les intersections mutuelles des trois plans coordonnés des des et des Ces coordonnées seront rectangulaires lorsque les trois axes seront perpendiculaires entre eux.

Nous nommerons axe une droite menée par un point quelconque de l’espace, et prolongée indéfiniment dans les deux sens ; et nous dirons qu’un axe de cette espèce se divise en deux demi-axes aboutissant au point que l’on considère, et dont chacun se prolonge indéfiniment dans un seul sens. Par conséquent, chacun de ces deux demi-axes aura toujours une direction déterminée. Si l’on considère en particulier les trois axes des chacun d’eux sera divisé, à l’origine, en deux demi-axes, sur l’un desquels se compteront les

coordonnées positives, tandis que l’on comptera sur l’autre les coordonnées négatives.

D’après ces définitions, il est clair que, si l’on tient compte seulement des angles qui renferment au plus degrés (nouvelle division), deux axes ou deux droites, tracés de manière à se couper, comprendront toujours entre eux deux angles, l’un aigu, l’autre obtus, tandis que deux directions ou deux demi-axes, aboutissant à un point donné, formeront un seul angle, tantôt aigu, tantôt obtus. Lorsque deux directions ou deux demi-axes aboutiront à deux points différents de l’espace, ils seront censés former entre eux le même angle que formeraient deux demi-axes parallèles et prolongés dans les mêmes sens à partir d’un point unique. Cela posé, t’angle que deux directions formeront entre elles sera toujours complètement déterminé, et l’on pourra en dire autant des angles formés par une direction avec les demi-axes des coordonnées positives.

Concevons maintenant que, par un point pris à volonté dans l’espace, on ait mené deux demi-axes et qu’un rayon mobile, d’une longueur indéfinie, aboutissant au point tourne, dans le plan de ces deux demi-axes, avec un mouvement de rotation en vertu duquel il décrive l’angle en passant de la position à la position Supposons de plus que, par le point on ait élevé un troisième demi-axe situé hors du plan Un spectateur qui posera les pieds sur le plan, de manière à s’appuyer contre le demi-axe, verra le rayon vecteur se mouvoir, en passant devant lui, de sa droite à sa gauclie ou de sa gauche à sa droite, ce que nous exprimerons en disant que le mouvement de rotation a lieu de droite à gauche ou de gauche à droite. On doit observer, au reste, que, si par le point on élevait à la fois deux demi-axes situés, le premier d’un côté du plan, le second de l’autre côté, le même mouvement de rota- tion paraîtrait s’effectuer autour de l’un de ces demi-axes de droite à gauche, et autour de l’autre de gauche à droite.

Considérons à présent un angle solide trièdre qui ait pour arêtes trois demi-axes, aboutissant au point et concevons qu’un rayon mobile, d’une longueur indéfinie, mené par le point fasse le tour de l’angle solide en s’appliquant successivement sur les trois faqes Son mouvement de rotation sur chaque face sera un mouvement de rotation de droite à gauche ou de gauche à droite autour de l’arête située hors du plan de cette face. De plus, il est facile de voir que les trois mouvements sur les trois faces seront de même espèce. Supposons, par exemple, que les trois demi-axes dont il s’agit se réduisent aux demi-axes des coordonnées positives et coïncident avec les directions Si la disposition de ces demi-axes est celle que l’on adopte le plus ordinairement, les trois mouvements de rotation auront lieu de droite à gauche autour de ces trois demi-axes, lorsque le rayon mobile, en faisant le tour de l’angle solide, passera successivement de la position à la position et de celle-ci à la position Si le demi-axe des positives était transporté de l’autre côté du plan des alors les mouvements de rotation de droite à gauche auraient lieu dans le cas où le rayon mobile prendrait successivement les trois positions

Afin de bien distinguer les deux espèces de mouvements que peut prendre un rayon mobile assujetti à passer par l’origine et à parcourir successivement les trois faces de l’angle solide nous dirons que ce rayon mobile a, dans chacun des plans coordonnés, un mouvement direct de rotation, s’il passe successivement de la position à la position et de celle-ci à la position Nous dirons, dans le cas contraire, que le même rayon vecteur a un mouvement de rotation rétrograde. En conséquence, si l’on adopte la disposition la plus ordinaire pour les demi-axes des coordonnées positives, les mouve- ments directs de rotation autour de ces demi-axes auront lieu de droite à gauche, et les mouvements rétrogrades de gauche à droite.

Nous appliquerons les mêmes dénominations aux deux espèces de mouvements que peut prendre un rayon vecteur mobile en tournant autour d’un point de manière parcourir successivement les trois faces d’un angle solide quelconque ; et quand le mouvement de rotation du rayon vecteur sur chaque face aura lieu de droite à gauche autour de l’arête située hors de cette face, ce mouvement sera nommé direct ou rétrograde, suivant que les mouvements de rotation des plans coordonnés, tournant de droite à gauche autour des demi-axes seront eux-mêmes directs ou rétrogrades.

Une droite \mathrm\overline{AB}, menée d’un point supposé fixe à un point supposé mobile, sera généralement désignée sous le nom de rayon vecteur. Nommons ce rayon vecteur,

c’est-à-dire, dans les deux cas, par la valeur numérique du produit

De même, les produits seront respectivement égaux aux projections orthogonales du rayon vecteur sur les axes des et prises tantôt avec le signe tantôt avec le signe suivant que chacune de ces projections sera dirigée dans le sens des coordonnées positives ou négatives.

Les trois projections orthogonales du rayon vecteur, prises avec les signes que nous venons d’indiquer, sont ce que nous appellerons désormais ses projections algébriques sur les axes des des et des elles sont, en vertu de ce qui précède, équivalentes aux trois produits

De plus, il est facile de s’assurer qu’elles sont respectivement égales aux trois différences

Supposons à présent qu’au point on substitue l’origine même des coordonnées. Si l’on désigne par le rayon vecteur mené de cette origine au point et par les angles que forme ce rayon vecteur avec les demi-axes des coordonnées positives, les formules (1), (2), (4) se trouveront remplaeées par les suivantes

Si l’on compare ces dernières équations aux formules (12), on en conclura

Nous allons maintenant passer en revue quelques problèmes qui se résolvent facilement à l’aide des principes ci-dessus établis.

Problème I. — Trouver les équations de la droite qui passe par le point et qui, prolongée dans un certain sens, forme avec les demiaxes des coordonnées positives les angles

Solution. — Les équations cherchées se trouvent comprises dans une formule que l’on tire des équations (1), savoir :

Corollaire. — Lorsque le point est remplacé par l’origine des coordonnées, les formules (18) et (19) se réduisent à

Problème II. — Trouver l’angle compris entre deux rayons vecteurs, tracés dans le plan des et menés de l’origine, le premier au point le second au point ainsi que la surface du triangle renfermé entre ces mêmes rayons vecteurs.

Solution. — Soient les deux points que l’on considère, et l’origine des coordonnées. Soient, en outre, les coordonnées polaires du point et celles du point Désignons par et les angles que les rayons vecteurs forment avec le demi-axe des positives, et par les angles qu’ils forment avec le demi-axe des positives. Enfin nommons l’angle compris entre les deux rayons vecteurs. Un rayon vecteur mobile qui décrirait cet angle, nécessairement inférieur à degrés, en passant directement de la position à la position aurait évidemment dans le plan des un mouvement de rotation déterminé, ou direct, ou rétrograde. Cela posé, concevons que le rayon vecteur mobile, avant de parvenir à la position ait décrit, avec un mouvement de rotation direct, et en partant de la position un angle quelconque, qui pourra surpasser la somme de quatre angles droits cet angle sera l’une des valeurs qu’il est permis d’attribuer à la coordonnée polaire De plus, si, en passant de la position à la position le rayon vecteur continue de se mouvoir dans le même sens, l’angle qu’il aura décrit quand il sera parvenu à la position sera l’une des valeurs qu’il est permis d’attribuer à la coordonnée polaire On aura donc, dans cette hypothèse,

Corollaire I. — Lorsque les rayons vecteurs font partie d’une même droite, on a

Corollaire II. — Lorsque les rayons vecteurs sont perpendiculaires entre eux,, on a

Alors on tire des formules (27), (30) et (33)

Probleme III. — Trouver l'angle compris entre deux rayons vecteurs tracés dans l'espace, et menés de l'origine, le premier au point le second au point ainsi que la surface du triangle formé par ces mêmes rayons vecteurs.

Solution. — Soient toujours et les deux points que l'on considère ; les rayons vecteurs et l'angle qu'ils comprennent entre eux. Soient encore les angles formés par ces rayons vecteurs avec les demi-axes des des et des prolongés dans le sens des coordonnées positives. Enfin, nommons la distance On aura, en vertu des formules déjà établies,

Cette dernière formule suffit pour déterminer l’angle compris entre les limites et On en déduit facilement la valeur de

Corollaire I. — Lorsque les rayons vecteurs font partie d’une même droite, on a

Les doubles signes que renferment les formules (54) et (55) doivent être remplacés par le signe lorsque les rayons vecteurs sont dirigés dans le même sens, et par le signe lorsque ces rayons vecteurs sont dirigés en sens contraires.

Corollaire II. — Lorsque les rayons vecteurs sont perpendiculaires entre eux, on a

Corollaire III. — Les projections du triangle sur les plans coordonnés sont respectivement égales (voir le second problème) aux valeurs numériques des quantités

Corollaire IV. — Considérons maintenant deux demi-axes qui, aboutissant, non plus à l’origine des coordonnées, mais à deux points différents de l’espace, forment toujours, avec les axes des et prolongés dans le sens des coordonnées positives, des angles représentés par les lettres Ces deux demi-axes seront censés former entre eux le même angle que deux demi-axes parallèles et prolongés dans le même sens à partir de l’origine des coordonnées. Donc, si l’on nomme l’angle des deux demi-axes proposés, on aura encore

Corollaire V. — En s’appuyant sur la formule (48), on peut facilement transformer les coordonnées rectangulaires en d’autres, coordonnées rectangulaires comptées sur des axes qui passent toujours par le point et qui, prolongés dans le sens des coordonnées positives, forment respectivement avec les demi-axes des positives le premier les angles le second les angles le troisième les angles En effet, soit toujours le rayon vecteur mené de l’origine au point On aura

Problème IV. — Trouver les équations d’un plan passant par le point et perpendiculaire à la droite qui, prolongée dans un certain sens, forme, avec les demi-axes des coordonnées positives, les angles

Solution. — Soient les coordonnées d’un point quelconque du plan et le rayon vecteur mené du point au point Les cosinus des angles que forme ce rayon vecteur avec les demi-axes des coordonnées positives étant respectivement

De plus, le rayon vecteur étant renfermé dans le plan, sera censé former un angle droit avec chacune des lignes perpendiculaires au plan. Donc le cosinus représenté par l’expression (65) sera nul, et l’on aura

Corollaire I. — Représentons par la perpendiculaire abaissée de l’origine des coordonnées sur le plan que l’on considère, et supposons que les angles soient précisément ceux que forme cette perpendiculaire avec les demi-axes des coordonnées positives. Enfin désignons par le rayon vecteur mené de l’origine au point Le cosinus de l’angle aigu compris entre ce rayon vecteur et la perpendiculaire sera évidemment

Corollaire II. — Si l’on fait, pour abréger,

Corollaire III. — Si l’on supposait `

dans lesquelles on devrait préférer le signe ou le signe suivant que la quantité serait positive ou négative. De plus, l’équation (67), ramenée à la forme

Problème V. — Étant donnés les angles et que deux rayons vecteurs menés de l’origine aux points et forment avec les demi-axes des coordonnées positives, on demande les angles que forme, avec les mêmes demi-axes, la perpendiculaire élevée par l’origine sur le plan du triangle

Solution. — La droite devant être perpendiculaire à chacun des demi-axes on aura [en vertu de la formule (57)]

Problème VI. — Étant donnés les angles que forment avec les demi-axes des coordonnées positives trois rayons vecteurs menés de l’origine, le premier du point le second au point le troisième au point on demande les angles que chaque rayon vecteur forme avec le plan des deux autres, et le volume de la pyramide triangulaire comprise entre ces rayons vecteurs,

Solution. — Soient les trois points que l’on considère, et désignons par les rayons vecteurs Soient en outre les angles respectivement compris entre les rayons vecteurs et et et Enfin, représentons par les angles que chacun des rayons vecteurs forme avec le plan des deux autres et supposons qu’un rayon mobile, assujetti à tourner autour du point et à parcourir avec un mouvement de rotation direct les trois faces de l’angle solide rencontre toujours les rayons vecteurs dans l’ordre qu’indiquent les indices

Corollaire I. — Le parallélépipède dans lequel trois arêtes coïncident avec les rayons vecteurs a un volume six fois plus ·grand que celui de la pyramide et par conséquent égal à la valeur numérique du polynôme

Corollaire II. — La formule (86) fournit le moyen de transformer les coordonnées rectangulaires d’un point quelconque de l’èspace en coordonnées rectilignes comptées positivement sur les demi-axes c’est-à-dire sur les rayons vecteurs En effet, soit le rayon vecteur mené de l’origine au point et supposons les rayons vecteurs disposés comme ils doivent l’être pour que la formule (86) subsiste. Alors, si les rayons vecteurs sont situés du même côté du plan l’expression qu’on obtiendra en divisant par le second membre de la formule (86), et remplaçant dans ce second membre par par par savoir

désignera la perpendiculaire abaissée du point sur le plan dont il s’agit. Les expressions (91) et (92) représenteraient le même sinus et la même perpendiculaire, pris avec le signe si le rayon vecteur n’était plus situé par rapport au plan du même côté que le rayon vecteur De plus, il est facile de s’assurer que le produit

Pour éliminer des équations (96) les quantités et il suffit d’ajouter ces équations, après les avoir respectivement multipliées par En opérant ainsi, et ayant égard à la formule (95), on trouvera

Corollaire III. — La formule (86) subsiste évidemment, quel que soit le point auquel aboutissent les trois rayons vecteurs et dans le cas même où ce point ne coïncide pas avec l’origine des coordonnées.

Corollaire IV. — Si les rayons vecteurs au lieu d’aboutir à un point unique, aboutissaient trois points différents de l’espace, chacune des trois quantités

Corollaire V. — Lorsque les rayons vecteurs sont perpendiculaires l’un à l’autre, les quantités vérifient les ̃équations (63) et (64). En même temps, chacun des angles

Problème VII. — Trouver la plus courte distance entre la droite menée par le point de manière à former avec les demi-axes des coordonnées positives les angles et la droite menée par le point de manière à former avec les mêmes demi-axes les angles

Solution. — Soit le rayon vecteur mené du point au point Soit de plus l’angle compris entre les droites données, chacune étant prolongée dans le sens que déterminent les valeurs des angles ou et nommons l’angle formé par le rayon vecteur avec un plan parallèle aux deux droites. Le produit

(voir le problème précédent et son corollaire III) sera équivalent, au signe près, à la quantité qu’on obtient en remplaçant, dans le dernier membre de la formule (86),

Corollaire. — Lorsque les droites données se rencontrent, leur plus courte distance s’évanouit, et l’on a par suite

Leçon 1

CALCUL DIFFÉRENTIEL.

PREMIÈRE LEÇON.

INCLINAISON D’UNE COURBE PLANE EN UN POINT DONNÉ. ÉQUATIONS DE LA TANGENTE ET DE LA NORMALE À CETTE COURBE.

Considérons une courbe plane représentée par une équation entre deux coordonnées rectangulaires Désignons par les accroissements simultanés que prennent et dans le passage d’un point à un autre. Menons par le point un demi-axe parallèle à l’axe des et dirigé dans le sens des positives. Enfin, concevons qu’un rayon vecteur mobile, appliqué d’abord sur ce demi-axe, tourne autour du point avec un mouvement de rotation direct ou rétrograde, et s’arrête, après une ou plusieurs révolutions, dans une position telle qu’il coincide alors avec la corde menée du point au point Si l’on nomme l’angle qu’aura décrit le rayon vecteur, cet angle étant pris avec le signe ou avec le signe selon que le mouvement de rotation aura été direct ou rétrograde, il suffira, pour déterminer de remplacer, dans la seconde des formules (23) de la page 20, par par et par On aura donc

Parmi les quantités positives ou négatives que l’on peut prendre pour l’une est égale, au signe près, à l’angle aigu compris entre la sécante qui passe par les points et l’axe des Cet angle lui-même est ce qu’on appelle l’inclinaison de la sécante par rapport à l’axe dont il s’agit.

Concevons à présent que le point vienne à se rapprocher indéfiniment du point La sécante qui joint les deux points tendra de plus en plus à se confondre avec une certaine droite que l’on nomme tangente à la courbe donnée, et qui touche la courbe au point Pour déterminer la direction de cette tangente, il suffira de chercher la limite vers laquelle converge l’angle tandis que les différences deviennent infiniment petites. Si l’on désigne par cette limite, et si l’on prend pour variable indépendante, on tirera de l’équation (1)

le signe devant être préféré si l’ordonnée croît avec l’abscisse et le signe dans le cas contraire. Par suite, on aura dans le premier cas dans le second, et l’on trouvera généralement

Concevons encore que, dans les équations (2), (3) et (4), on fasse converger vers zéro les différences et En passant aux limites, et désignant par les coordonnées variables, non plus de la sécante, mais de la tangente, on trouvera

ou

Si par le point de la courbe donnée on mène une droite perpendiculaire à la tangente, cette droite sera ce qu’on appelle la normale au point dont il s’agit. Pour déduire l’équation de cette normale de la formule (7), il suffira évidemment de remplacer l’angle par On aura donc, en désignant par et les coordonnées de la normale

Soient maintenant

ou

On peut observer encore que les formules (14), (15),(16), (17) ne changeraient pas, si la courbè donnée était représentée non par l’équation (13), mais par la suivante :

Lorsque la fonction est une fonction entière du degré les premiers membres des équations (15) et (17), considérés comme fonctions des variables sont en général du même degré Alors les courbes représentées par les équations (13), (18), (15) et (17) sont ce qu’on appelle des courbes du degré Si l’on suppose en outre que la fonction ne renferme pas de termes constants, et si l’on désigne par la somme des termes du degré par la somme des termes du degré par la somme des termes du degré les équations (18) et (15) deviendront

D’ailleurs, étant des fonctions homogènes, la première du degré la seconde du degré la troisième du degré on aura, en vertu du théorème des fonctions homogènes,

De ces dernières formules, combinées avec les équations (19) et (20), on tirera

Exemple I. — Considérons le cercle représenté par l’équation finie

Cela posé, on trouvera, pour l’équation de la tangente au point

Quant à l’équation (29), elle reproduit toujours la même ligne, quel que soit, entre les deux points et celui dont on il regarde les coordonnées comme variables, et elle représente dans tous les cas, ainsi qu’on devait s’y attendre, une droite passant par l’origine.

Exemple II. — Considérons l’ellipse ou l’hyperbole représentée par l’équation finie

L’équation différentielle de cette courbe sera

Si l’ellipse ou l’hyperbole est rapportée à ses axes, son équation sera de la forme

Exemple III. — Considérons la parabole représentée par l’équation finie

Exemple IV. — Considérons la courbe qu’on nomme logarithmique et dont l’ordonnée est équivalente au logarithme de l’abscisse. Si les logarithmes sont pris dans le système dont la base est et désignés par la caractéristique en faisant, pour abréger,

Par suite, les équations de la tangente et de la normale deviendront

Exemple V. — Considérons la courbe qui a pour équation, en coor- données rectangulaires,

En terminant cette Leçon, nous ferons observer que, si les demi-axes des et des positives, au lieu d’être perpendiculaires l’un à l’autre, comprenaient entre eux l’angle l’équation (1) devrait être remplacée par la suivante

Leçon 2

DEUXIÈME LEÇON.

DES LONGUEURS APPELÉES SOUS-TANGENTES, SOUS-NORMALES, TANGENTES ET NORMALES DES COURBES PLANES.

Les équations (8) et (11) de la Leçon précédente, quand on considère et comme seules variables, représentent, ainsi qu’on l’a fait voir, les droites tangentes et normales menées à une courbe plane par le point Si, dans ces mêmes équations, on pose on tirera de la première

les signes étant choisis de manière que les valeurs de et de soient positives.

On peut remarquer que l’ordonnée est équivalente, au signe près ; à la moyenne géométrique entre les deux distances et puisque celles-ci, étant multipliées l’une par l’autre, donnent pour produit.

Les longueurs comptées sur les droites tangente et normale, entre la courbe et l’axe des sont ce qu’on appelle la longueur de la tangente et la longueur de la normale, ou, plus simplement, la tangente et la normale de la courbe. Elles servent d’hypoténuses à deux triangles rectangles qui ont pour côtés l’ordonnée réduite à sa valeur numérique et la sous-tangente ou la sous-normale. Donc, si l’on désigne la tangente par et la normale, par on aura

Les équations (3), (4), (5) et (6) peuvent encore être facilement déduites des formules (6) de la Leçon précédente, dans lesquelles désigne l’inclinaison de la courbe proposée au point c’est-à-dire l’angle aigu formé par la tangente avec l’axe des En effet, dans les triangles rectangles qui ont pour hypoténuse les longueurs appelées tangente et normale, le côté commun, c’est-à-dire l’ordonnée réduite à sa valeur numérique, forme évidemment avec la tangente un angle égal à et avec la normale un angle égal à Cela posé, si l’on construit un cercle qui ait le sommet de l’ordonnée pour centre et l’ordonnée elle-même pour rayon, on reconnaîtra immédiatement que les rapports de la sous-normale, de la sous-tangente, de la normale et de la tangente au rayon du cercle ont pour valeurs respectives

Exemple I. — Si la courbe donnée coïncide avec le cercle représenté par l’équation

Exemple II. — Si la courbe donnée çoïncide avec l’ellipse ou l’hyperbole représentée par l’équation

Il suit des équations précédentes que, dans l’ellipse et dans l’hyperbole, le rapport de la sous-normale à l’abscisse est une quantité constante ; que la sous-tangente est indépendante du demi-axe désigné par Par conséquent, la sous-tangente conserve la même valeur dans l’ellipse qui a pour équation

Exemple III. — Si la courbe donnée coïncide avec la parabole

Exemple IV. — Concevons que dans l’équation (42) de la Leçon précédente on échange entre elles les deux coordonnées et faisons toujours L’équation que l’on obtiendra, savoir

représentera la logarithmique dans une nouvelle position. Or, on tirera de l’équation (16)

Exemple V. — Supposons qu’à partir de l’origine des coordonnées on porte sur l’axe des et dans le sens des positives, une longueur égale à Concevons de plus qu’après avoir décrit de l’extrémité de cette longueur, et avec le rayon une circonférence de cercle, on fasse rouler le cercle sur l’axe des Le point de la circonférence qui coïncidait au premier instant avec l’origine des coordonnées décrira une courbe que l’on nomme cycloïde, et dont l’équation pourra être facilement établie par la méthode suivante :

Pendant que le cercle roulera sur l’axe des le centre se mouvra parallèlement au même axe, et le rayon qui aboutissait, dans le premier instant, à l’origine, tournera autour du centre en décrivant un angle qui croîtra sans cesse. Désignons par cet angle, par les coordonnées du centre, et par les coordonnées de l’extrémité du rayon mobile, qui seront aussi les coordonnées de la cycloïde. L’arc de cercle compris entre l’extrémité dont il s’agit et le point où le cercle touchera l’axe des aura évidemment pour mesure le produit et, puisque les diverses parties de cet arc se seront appliquées l’une après l’autre sur des parties égales de l’axe des comprises entre l’origine et le point de tangence, la droite qui joint ces deux derniers points ou, ce qui revient au même, l’abscisse du centre du cercle, aura elle-même une longueur équivalente à Cela posé, on trouvera, en supposant, pour plus de commodité, que le cercle se soit mù du côté des positives,

On peut remplacer les formules (21) et (22) par la suivante

La base de la cycloïde est la droite sur laquelle on fait rouler le cercle générateur, et que nous avons prise pour axe des

Quand on se propose de rechercher les propriétés de la cycloïde, on peut employer ou l’équation (23), ou le système des équations (20). On reconnaîtra sans peine, à l’aide de ces équations, que la cycloïde est composée d’une infinité de branches, toutes pareilles les unes aux autres, dont les points extrêmes, situés sur l’axe des répondent aux abscisses

On aura par suite

Leçon 3

TROISIÈME LEÇON.

CENTRES, DIAMÈTRES, AXES ET ASYMPTOTES DES COURBES PLANES.

On nomme centre d’une courbe plane un point tel que les rayons vecteurs menés de ce point à la courbe soient deux à deux égaux et dirigés en sens contraires. Lorsqu’une courbe plane a un centre, et qu’on y a transporté l’origine des coordonnées, on n’altère point l’équation de la courbe en y remplaçant par et par Lorsque le centre coïncide avec le point qui a pour coordonnées et alors, en posant

Exemples. — Les courbes

Une courbe peut avoir un nombre infini de centres. Ainsi, par exemple, la courbe

composée d’une infinité d’arcs semblables les uns aux autres et situés alternativement au-dessus et au-dessous de l’axe des a pour centre non seulement l’origine des coordonnées, mais encore chacun des points où elle coupe l’axe des En effet, l’équation de cette courbe ne changera pas de forme si l’on transporte l’origine en un de ces points, c’est-à-dire si l’on fait croître ou diminuer d’une quantité égale à désignant un nombre entier quelconque.

Toute droite menée par le centre d’une courbe plane est un diamètre de cette courbe.

On appelle axe d’une courbe une droite qui partage cette courbe en deux parties symétriques. Lorsqu’une droite de cette espèce est prise pour axe des abscisses ou des ordonnées, à chaque valeur de ou de répondent deux valeurs de ou de égales et de signes contraires.

Exemples. — La parabole

Toutes les fois que deux axes d’une courbe se coupent à angles droits, leur point d’intersection est un centre de la courbe. Car, si on les prend pour axes des et des on pourra, sans altérer l’équation de la courbe, remplacer : par par Par suite, on pourra changer à la fois les signes des deux coordonnées ce qui suffira pour établir l’existence d’un centre coïncidant avec l’origine.

On appelle asymptote d’une courbe plane une droite de laquelle cette courbe s’approche indéfiniment, sans pouvoir jamais la rencontrer. Il est facile de trouver les asymptotes d’une courbe représentée par une équation entre deux coordonnées rectangulaires En effet, considérons d’abord les asymptotes non parallèles à l’axe des et soit

et cherchant la limite de laquelle s’approchera sans cesse, pour des valeurs numériques croissantes de la variable À chaque système de valeurs finies des quantités et correspondra une asymptote de la courbe proposée.

En raisonnant de la même manière, mais échangeant l’une contre l’autre les variables et on trouverait évidemment les asymptotes non parallèles à l’axe des