Les oscillations du matériel dues au matériel lui-même et les grandes vitesses des chemins de fer

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DUES AU MATÉRIEL LUI-MÊME

ET LES

GRANDES VITESSES DES CHEMINS DE FER

Chapitre I

THÉORIE ANCIENNE DU CALCUL DES CONTREPOIDS ET DES OSCILLATIONS DES LOCOMOTIVES.

§ 1. — Définitions et nomenclature «les forces perturbatrices et «les mituveincnts parasites.

La théorie du calcul des contrepoids a été donnée au milieu du siècle dernier par Le Chatelier (1). Comme on peut la retrouver dans la plupart des ouvrages sur les chemins de fer, (*)

(*) Eludes sur la stabilité des machines locomotives en mouvement par Le Chatelier. — Librairie Mathias 1819. ((Jet ouvrage est épuisé ; on peut le consulter à la bibliothèque du Conservatoire des Arts et Métiers).

et qu’elle est connue dans tous les bureaux d’études, nous n’en rappellerons que les parties qui nous sont nécessaires.

Les forces perturbatrices sont :

1° Les forces centrifuges dos boutons de manivelle, des bielles d’accouplement, des contrepoids et celle de la moitié des bielles qui peut être considérée comme faisant partie des pièces tournantes (*).

2° Les forces d'inertie des pistons, de leurs tiges et de la moitié des bielles qui peut être considérée comme faisant partie des pièces oscillantes, animées d’un mouvement alternatif.

3° La composante verticale sur les glissières de l’action de la vapeur sur les pistons.

4° Les forces centrifuges et d’inertie des pièces de la distribution, peu importantes à cause de leur faible déplacement.

5° Enfin les composantes verticales, sur les glissières des forces centrifuges et d’inertie ci-dessus, peu importantes également.

Ces diverses forces perturbatrices, étudiées par Le Chatelier, donnent, comme il l’a montré, les oscillations suivantes de la locomotive :

Les forces du 1° et du 2° et 4° ci-dessus donnent un mouvement de va et vient horizontal de la locomotive, que Le Chatelier appelait tangage et qu’on appelle à présent recul pour éviter toute confusion avec le tangage des bateaux ; les moments de ces forces donnent un mouvement de rotation autour d’un axe vertical qu’on appelle encore oscillation de lacet.

Les forces du 3° donnent par leur valeur absolue un mouvement de galop de la locomotive et leurs moments donnent une oscillation de roulis , expressions qui s’expliquent d’elles-mêmes et qui sont bien connues.

11 y a assez longtemps, en 1887, M. Herdnera ajouté une force perturbatrice à cette nomencla¬ ture, c’est celle qui est due à ce que la pression directe de la vapeur sur les pistons exerce une action qui permet à la roue voisine du piston de prendre de l’avance sur l’autre roue du même essieu, en vertu de l’élasticité de torsion de l’essieu. C’est une réaction du rail sur l’essieu moteur ou force extérieure qui se trouve plus forte, tantôt sur une roue, tantôt sur l’autre. La force perturbatrice est donc ici, non pas la pression directe de la vapeur sur le piston, mais la différence des réactions des rails sur les deux roues résultant de la torsion de l’essieu. On voit de suite que cette perturbation de M. Herdner tend à donner une légère oscillation de recul et une autre de lacet. ; nous montrerons que ces actions sont peu importantes eu égard aux autres, comme l’avait signalé M. Herdner.

Telle est la nomenclature des forces perturbatrices et des mouvements parasites qui en résultent.

§ 2. — ( filcul «les c»iitre|»«»ids poiir les mneliiiies à deux cylindres.

Avant Le Chatelier on équilibrait déjà depuis longtemps les pièces tournantes. Le Chatelier a conclu à augmenter les contrepoids des roues motrices, de telle façon que la composante

(!) Cette subdivision do la bielle motrice en deux parties est due à Le Chatelier; on a fait depuis des calculs plus exacts des contrepoids, mais il est inutile d’en faire usage ici. Voir les travaux de Yvon Villarceau, Couche et Arnoux, au milieu du siècle dernier ; puis ceux de Résal et enfin ceux de W. E. Dalby “ The balancing of engines " (London Edward Arnold 1902] .

horizontale de la force centrifuge de l’excès des contrepoids équilibrât la force d’inertie des pièces oscillantes. Cette solution, bonne pour les faibles vitesses en usage à cette époque, a dû être abandonnée depuis ; en effet, cet excès des contrepoids peut aller jusqu’à soulever les roues motrices aux très grandes vitesses, comme l’avait déjà montré Le Chatelier; nous reviendrons là-dessus plus loin. Dans les machines modernes, l'excès des contrepoids n’équilibre plus qu’une partie des forces d’inertie ; on tend même à revenir à la vieille mode anglaise qui consiste à n’équilibrer que les pièces tournantes. Nous verrons que c’est la meilleure solution quand la machine est dotée d’un excellent bogie.

On conçoit, par contre, que les machines à deux cylindres extérieurs soient plus sujettes au lacet que les machines à deux cylindres intérieurs, et que, dans ce cas, il peut être utile d’équilibrer partiellement l’inertie des pistons, si la machine n’a pas de bogie. Nous reviendrons là-dessus.

§ 3. — Calcul des contrepoids pour les machines à quatre cylindres.

Les calculs de Le Chatelier s’appliquent encore aux machines à quatre cylindres ; les cylindres se composent généralement :

1° De deux cylindres de droite avec pistons calés à 18Ü° l’un de l’autre.

2° De deux cylindres de gauche avec pistons calés à 180° l’un de l’autre et tous deux à 9ü° des premiers, en retard.

On conçoit donc que les forces d’inertie des pistons tendent à so compenser dans chaque groupe.

Si les deux pistons du même groupe étaient de même poids, il n’y aurait plus du tout de perturbation de recul .

Si les deux pistons du même groupe avaient des poids en raison inverse de leurs distances au plan vertical médian parallèle au rail, il y aurait une perturbation de recul, mais il n’y aurait plus d’oscillation de lacet.

En se tenant entre les deux solutions on a une machine naturellement peu sujette aux oscil¬ lations ; c’est une précieuse qualité des machines à 4 cylindres qui les rend encore supérieures aux machines à cylindres intérieurs, pour les très grandes vitesses.

M. Marchis, professeur à la Faculté de Bordeaux, dans son ouvrage sur “ les moteurs à essence ’’ a remarquablement traité la question de l’équilibrage des moteurs à cylindres multiples. (1).

§ 4. — Théorie «les oscillations «le Ce Chatelier.

Le Chatelier a calculé dans l’ouvrage précité l’amplitude des oscillations de recul et de lacet dues aux forces perturbatrices ci-dessus.

Sa méthode consiste à poser les équations générales du mouvement et à intégrer deux fois. Elle montre que l'amplitude des oscillations de recul et de lacet est indépendante de la vitesse et , du reste, très faible.

Mais, en choisissant la constante de l’intégration, l’auteur n’a pas tenu compte de l’augmen-

(') Paris. — Dunod 1004.

tation des oscillations successives ; c’est donc la première oscillation, et non pas les oscillations suivantes qui est calculée. Ce calcul donne l'amplitude d’oscillation de recul et de lacet d’une locomotive suspendue en l’air, absolument libre, et marchant avide comme nous le montrerons au paragraphe suivant. 11 montre que ces amplitudes sont minimes et indépendantes de la vitesse du train.

Le Chatelier a vérifié ses calculs par son expérience sur la machine suspendue à vide ; la vérification expérimentale a élé exacte comme il fallait s’y attendre. Mais Le Chatelier n’a dit nulle part que les oscillations d’une machine en marche étaient aussi faibles que celle de ses calculs ; il a même dit le contraire, comme nous l’avons rappelé dans l’introduction.

§ 5. — Théorie IihiihIo.

Après Le Chatelier, on a étudié, par une autre méthode, les oscillations de recul et de lacet-, ces calculs donnent les mêmes résultats que ceux de Le Chatelier, à savoir que les oscillations sont minimes et indépendantes de la vitesse. Ici encore, comme nous allons le montrer, les calculs ne s’appliquent qu’à la lre oscillation, ou encore à une machine suspendue par un câble, sans aucune liaison horizontale avec les corps voisins, et marchant à vide ; examinons cotte méthode pour les deux natures d’oscillations.

(a). — Oscillations de recul. — La méthode consiste à supposer d’abord que la machine n’a qu’un seul piston central, pour passer ensuite au cas habituel ; puis on calcule les déplacements de la machine d’après ceux du piston, en écrivant qu’ils sont en raison inverse de leurs masses. Cette méthode a été souvent reproduite depuis. Nous reconnaissons sa parfaite justesse quand on l’applique au cas d’une machine suspendue en l’air ; mais elle ne peut donner aucune indi¬ cation sur l’amplitude des oscillations d'une locomotive sur rails. En effet, le principe que nous venons de citer, est un principe délicat de dynamique qu’il ne faut pas appliquer en dehors des conditions strictement nécessaires pour sa justesse ; ce principe a été établi, en mécanique rationnelle, pour un groupe de corps en mouvement relatif et se mouvant dans l’espace sans aucune liaison avec l'extérieur, mais ayant, seulement des liaisons entre eux. On peut encore l’appliquer à un groupe de corps ayant une liaison avec un point fixe, à la condition que les mouvements relatifs des corps entre eux aient tous lieu dans un plan perpen¬ diculaire à la liaison. Pour le démontrer, il suffit d’appliquer le théorème des impulsions des forces ; dans le cas considéré, les impulsions des forces s’annulent ; il ne reste que les quan¬ tités de mouvement des deux corps en mouvement relatif (machine et piston) qui sont donc égales ; il en résulte que les vitesses des deux corps sont en raison inverse des masses.

Tout se passe alors comme si le corps était, libre dans l’espace. C’est le cas d’une machine suspendue en l’air sans aucune liaison horizontale et marchant à vide. Mais ce n’est nulle¬ ment le cas de la pratique, car les réactions des attelages et les réactions des boudins sur les rails, par suite de l’élasticité delà voie et des appareils latéraux du bogie, sont des liaisons dans le même plan que les mouvements relatifs; dans ce cas, le raisonnement précédent ne s’applique plus, car il y a une impulsion due à la réaction extérieure de la liaison, impulsion qui n’est nullement négligeable.

Il est donc naturel cpie la méthode banale donne les mêmes résultats que celle de Le Chatelier et que toutes deux soient exactement vérifiées par l’expérience de Le Chatelier sur la machine suspendue sans liaison horizontale avec le sol. Mais, nous le répétons, ces méthodes de calcul ne s’appliquent pas à la pratique, comme Le Chatelier l’avait lui-même bien compris.

Il nous est facile de traduire notre pensée d’nne façon plus saisissante encore en rappelant ce qui se passe dans la vulgaire balançoire. Si l’on appliquait ici le principe en question à tout l’ensemble de l’homme et de la planche de la balançoire, ou en conclurait que l’homme ne peut pas se balancer au-delà de la faible oscillation résultant de la condition spécieuse des déplace¬ ments en raison inverse des masses ; or il se balance et voici pourquoi :

Si l’homme était couché sur la planche et faisait mouvoir ses jambes dans un plan perpendi¬ culaire aux cordes, il ne se balancerait pas ; mais il fait mouvoir son buste, au contraire da7is le sens de la liaison; c’est pourquoi il nous est interdit d’appliquer à ce cas le principe en question, et finalement, la théorie montre que l’homme peut augmenter progressivement l’am¬ plitude des oscillations successives, en cas de synchronisme bien choisi. Il en est de même du danseur de corde qui augmente aisément ses oscillations successives.

(b.) — Oscillations de lacet. — On a calculé, par cette méthode, l’amplitude des oscil¬ lations de lacet en faisant intervenir le rayon de giration de la machine par rapport à l’axe d’oscillation de lacet; on calcule aisément l’amplitude des oscillations, de lacet d’une machine suspendue et on arrive naturellement, au même résultat que Le Chatelier. Mais, je le répète, ici encore, ce genre de calcul ne peut pas s’appliquer à la pratique, pour le même motif que ci-dessus (').

En résumé, la méthode en question, pas plus que celle de Le Chatelier ou toute autre, n’ont jamais démontré que les oscillations de recul et de lacet ne vont pas en augmentant. Cela tient à ce qu’on n’a jamais introduit dans les calculs la cause réelle delà limitation des oscillations, c'est V amortissement des oscillations successives par les frottements.

Comme expériences, nous rappellerons d’abord celle de la machine de Le Chatelier, machine suspendue, sans aucune liaison horizontale et marchant à vide. Cette expérience avait déjà été faite par M. Nollau, ingénieur Allemand, en 1848. En 1889, la Compagnie P.L.M. a fait des expériences intéressantes sur plusieurs locomotives do différents types, librement suspendues et marchant à vide, comme la locomotive do Le Chatelier, avec enregistrement automatique de l’amplitude des oscillations ; d’autres expériences ont ôté faites sur les mêmes locomotives en les reliant horizontalement à des points fixes par des ressorts horizontaux destinés à résister aux mouvements de recul et de lacet , pour obtenir des indications sur l’intensité des forces perturbatrices.

En Amérique on a fait des expériences analogues.

Ces diverses expériences, très intéressantes comme procédé d’étude, ont l’inconvénient de no pas placer les locomotives dans le cas de la pratique, pour bien des motifs. Nous ferons remarquer, en particulier, que, dans ces expériences, on n’a pas cherché à provoquer les réso¬ nances qui sont la véritable cause des oscillations de grande amplitude. De plus, elles ne (*)

(*) Cette méthode a été appliquée par la plupart des auteurs des ouvrages sur les locomotives, en France, en Allemagne

et en Belgique.

tiennent pas compte de la conicité des bandages qui donne la plus grave des perturbations de lacet.

On a fait souvent aussi des expériences de circulation de machines isolées à 140 kilomètres à l’heure sur une voie excellente. Ces expériences ont une grande importance pour examiner la marche générale des machines, mais elles sont insuffisantes au point de vue de la question des résonances, comme ci-dessus, et aussi parce qu’elles ont été faites sur des voies exception¬ nellement bonnes.

Il faudrait faire des expériences à 140 kilomètres à l’heure sur une mauvaise voie et les répéter souvent, ce qui serait dangereux. Il en résulte que la question est plus facile à étudier par la théorie que par l’expérience seule ; il est cependant essentiel de s’assurer que les résultats de la théorie sont conformes aux indications générales de la pratique, comme on peut le constater dans toutes nos études.

§ 7. — Conclusions des étutlcs anciennes.

Le grand défaut des théories anciennes, c’est qu’elles ne tiennent compte que de la première oscillation ; elles ne montrent pas que les oscillations peuvent augmenter, de l’une à la suivante, par simple superposition, à cause des réactions élastiques diverses; ce qu’il y a de grave, c’est que ce n’est pas une erreur négligeable ; l’erreur est la même que celle qu’on ferait en confondant la première oscillation des balancements d’un danseur de corde avec la vingtième, par exemple.

En résumé, on n’a pas encore montré, ni théoriquement, ni expérimentalement, que les oscillations dues aux perturbations ci-dessus étaient toujours négligeables. La question reste donc toute entière à examiner théoriquement. La pratique courante fait supposer que ces perturbations sont faibles ; mais elle ne permet pas d’affirmer qu’elles sont toujours négligeables puisqu’il se produit parfois des déraillements restés inexpliqués; c’est aussi, comme on le verra, la conclusion de la nouvelle théorie qui va suivre.

Chapitre II

THÉORIE NOUVELLE DES OSCILLATIONS DES LOCOMOTIVES DUES AUX PIÈCES OSCILLANTES ET TOURNANTES NON ÉQUILIBRÉES

ET A L’ACTION DE LA VAPEUR.

§ 8. — Période* de* perturbation* et iiiipul*iou* résultante*.

Nous allons commencer par nous rendre compte de la période des diverses perturbations, en fonction de la durée de la révolution des roues motrices, et de la manière dont on peut totaliser les perturbations de même nature, relatives aux divers organes produisant les perturbations.

Pour fixer les idées, je supposerai qu’il s’agisse d’une puissante locomotive moderne à

4 cylindres à grande vitesse dont voici les éléments :

Poids de la machine : 60 tonnes .

Cylindres extérieurs à haute pression :

Diamètre du piston . 0m,40

Course du piston . 0m, 60

Poids du piston avec lige et bielle . 200 kilos

Distance de l’axe au plan médian . lm, 00

Cylindres intérieurs à basse pression :

Diamètre du piston . . 0m, 60

Course . 0m, 60

Poids du piston avec tige et -g- bielle . .300 kilos

Distance au plan médian . 0ra, 33

Diamètre des roues motrices . 2m, 00

Je suppose les contrepoids calculés de façon à réaliser l’équilibre vertical parfait sur les roues motrices, comme on tend de plus en plus à le faire à présent, suivant la vieille mode anglaise ; il en résulte que les forces d’inertie horizontales correspondant aux 200 kilos pour les cylindres extérieurs et 300 kilos pour les cylindres intérieurs ne sont nullement équilibrées. S’il en était autrement il n’y aurait qu’à modifier les chiffres de 200 et 300 kilos de manière à tenir compte de la fraction supplémentaire des contrepoids consacrée à l’équilibre horizontal.

Ajoutons que, si l’on prend comme base le cylindre extérieur de droite, pour le mécanicien qui regarde la machine, le cylindre intérieur de droite est calé à 180°.

Pour le côté gauche, le cylindre extérieur est calé avec un retard de 90° par rapport au cylindre extérieur de droite et le cylindre intérieur est encore à 180° du cylindi*e extérieur. Il en résulte que, pour chaque côté, la force d’inertie du cylindre intérieur tend à compenser l’inertie du cylindre extérieur ; je le répète, si leurs poids étaient égaux il n’y aurait pas de perturbation de recul ; si leurs poids étaient en raison inverse de leurs distances au plan médian il n’y aurait pas d'oscillation de lacet. Dans l’exemple choisi, nous sommes dans un cas intermédiaire entre ces deux hypothèses.

{a). — Perturbations de recul. — Représentons Fig. 1 le cylindre, le piston, sa lige et sa

Fig. 1.

crosse, sa bielle et sa manivelle. Si l’on suppose la bielle assez longue, les déplacements du piston sont pareils à ceux de la projection A’ du bouton A de manivelle ; alors la force d’inertie du piston est égale à la projection horizontale de la force centrifuge d’un corps du même poids que le piston et ses annexes et supposé placé en A. Soit F cette force centrifuge dont on trouvera plus loin la facile évaluation ; il en résulte que, à chaque instant, la force d’inertie (1) du piston est égale à F cos 0 (Fig. 1).

Maintenant construisons la courbe des valeurs de F oosOen prenant pour abscisses les temps (Fig. 2).

E>y. 2. — Recui..

Prenons comme origine du temps le moment où le cylindre extérieur de droite est à son extrémité de course en arrière (Ex. ar.) ; en continuant on trouve sur les abscisses les indica¬ tions suivantes :

(M. ail. ) qui veut dire milieu de course à l’aller ;

(Ex. av.) qui veut dire extrémité de course en avant ;

(M. r.) qui veut dire milieu de course au retour ;

(Ex. ar.) qui veut dire extrémité de course arrière ; ici se termine la révolution complète

Puis nous continuons jusqu’à — de la révolution suivante :

La Fig. 2 contient d’abord 4 tracés relatifs à :

(C. ex. dr .) cylindre extérieur de droite (tracé 1) ;

(C. in. dr.) cylindre intérieur de droite (tracé 2) ;

(C. ex. g.) cylindre extérieur de gauche (tracé 3) ;

(C. in. g.) cylindre intérieur de gauche (tracé 4).

Puis, en-dessous, le tracé de la résultante dont nous reparlerons plus loin.

Les 4 tracés du dessus ont pour ordonnées les valeurs de F cos 9 dont il a été question ci-dessus ; ce sont donc des sinussoïdes ; nous prendrons comme positives les valeurs de la force d’inertie qui tendent à pousser la locomotive en avant.

Le tracé (2) a des ordonnées en sens inverse du tracé (1) puisque son piston est calé à 180° du premier; ses ordonnées sont ~ fois celles de (1) puisque le poids total oscillant est de 300 kilos au lieu de 200.

Le tracé (3) est la reproduction exacte du tracé (1) avec un retard de phase de de révolution, puisque son piston est calé à 90° en retard de celui de droite ; de même pour le tracé (4) par rapport au tracé (2).

Ces 4 tracés étant exécutés, le tracé résultant s’obtient en prenant la somme algébrique des ordonnées des 4 tracés ; il a ses maxima en M. et M’.

En résumé on voit que la période complète de la perturbation résultante est égale à la durée de la révolution des roues motrices. Nous pouvons prendre comme origine le point B de cette résultante ; alors la période se compose de deux demi-périodes dont l’une, de A à B correspond à une perturbation positive et l’autre, de B à C, correspond à une perturbation négative.

Il est facile de faire l’intégration de B en C analytiquement ou graphiquement :

= E J'1 F cos 9 dt

formule dans laquelle t est égal à la durée de une révolution des roues motrices et 9 l’angle correspondant à la position de chaque piston à l’instant considéré (Fig. 1) ; 4» t est ce que j’appellerai l'impulsion résultante de recul. Elle est suivie d’une impulsion résultante de même valeur et de signe contraire.

(b). — Perturbations de lacet. — Représentons Fig. 3 la courbe des moments des mêmes forces perturbatrices par rapport au plan vertical médian, parallèle aux rails, de la machine. C’est ce qui produit le lacet, comme on le sait. Je considère comme moments positifs ceux qui tendent à donner au côté droit de l’avance par rapport au côté gauche de la machine. La valeur du moment est égale à

(b étant la distance de l’axe du piston au plan médian).

Les ordonnées du tracé (2) sont en sens inverse du tracé (1), le cylindre intérieur étant calé à 180" du cylindre extérieur ; de plus, comme grandeur, elles ne sont que la moitié des précé¬ dentes, puisque le moment de 300 X 0"'.33 = 100 et que le moment de 200 X 1'", 00 = 200.

Le tracé (3) est pareil au tracé (1), mais avec des ordonnées en sens inverse et avec un retard de phase de ~ de révolution, à cause du renversement du sens du moment et du calage à 90° en arrière.

Do même pour le tracé (4) par rapport au tracé (2). La résultante se trace en totalisant les ordonnées, en tenant compte de leur signe. Il y a des maxima en M et M’.

Fig. 3. — Lacet.

Ex.ar. M.all. Ex av. M.r Ex.ar M.all

En résumé, la période complète de la perturbation résultante est encore égale à la durée de la révolution des roues motrices. En prenant B comme origine, la période se compose de deux demi-périodes absolument pareilles, mais de signes contraires.

En faisant l’intégration de B en G on a :

formule dans laquelle t est égal à la durée de la révolution des roues motrices et 0 est l’angle correspondant à la position de chaque piston à l'instant considéré (Fig. 1) ; est la

Récitante distance de l’axe du 1er piston (extérieur de droite) au plan médian ; (on aurait du reste, pu choisir l’un des 3 autres, mais b{ étant choisi <t> se trouve déterminé de ce fait).

L’intégration se fait comme ci-dessus ; <t» tb{ est ce que j’appellerai le moment résultant de (impulsions de lacet.)

(c). — Perturbations de galop. — Les perturbations de galop sont dues aux compo¬ santes de la pression directe de la vapeur sur le piston, exercées sur les glissières par la crosse de la tige de piston, à cause de l’obliquité de la bielle. Pour un piston déterminé cette compo¬ sante est égale (Fig. 1) à II / y yj, ou, à peu près, à n Sin •»), en confondant la tangente et, le Sinus ; or on a :

(5) II Sin 7| = n -i- Sin 9

r rayon de la manivelle, l longueur de la bielle) ; n est ici l’effort dû à la pression variable de la vapeur sur le piston ; il a pour maximum 12.000 kilos environ pour chaque piston, avec les dimensions de la locomotive considérée, comme on peut s’en assurer par un calcul simple.

Fig. 4. — Galop.

La Fig. A représente les tracés relatifs à cette perturbation. Remarquons que, quand le piston revient en arrière, la force perturbatrice ne change pas de signe; c’est toujours une force tendant à soulever l’avant de la machine; il en résulte que, pour chaque cylindre la période est de -rr révolution seulement des roues motrices. Le tracé (2) a donc des ordonnées de môme signe que la courbe (1) ; la figure les représente avec des hauteurs différentes ; de même les tracés (3) et (4) sont pareils à (1) et (2) avec un retard de phase de — de révolution correspondant au calage à 90" en retard. La résultante a, cette fois, une période d’une durée de -i- de révolution seulement avec courbe pareille. En faisant l’intégration de A en B on a :

(6) $ t — 2 J'J n ~ Sin 9 dt

Mais ici n, ou pression de la vapeur, est variable, à cause de la détente tandis que F était constant dans les équations (2) et (4). L’intégration se fera alors graphiquement ; t est égal à la durée de de révolution des roues motrices. C’est ce que j’appellerai l'impulsion résultante de galop.

(d) . — Perturbations de roulis. — Les perturbations de roulis sont dues aux moments des perturbations précédentes par rapport au plan vertical médian delà machine ; elles ont pour valeur.

(7) n ~ Sin 9 b

(b étant la distance au plan médian).

La Fig. 5 représente les tracés relatifs à ces perturbations.

Les tracés (1) et (2) ont des ordonnées marchant ensemble, pour les mêmes motifs que ci-dessus ; de même pour les tracés (3) et (4), mais avec des signes contraires aux deux premiers, les moments étant renversés.

Ici encore la période, pour chaque cylindre est de — révolution et la période de la résultante est de -y de révolution.

En faisant l’intégration on a :

(8) $ lbt = 2 ‘ n — Sin 9 bdl

J O I

intégration facile à évaluer graphiquement.

C’est cequej’appellerai le moment résultant des impulsions de roulis.

(e) . — Oscillations diverses. — 11 nous reste encore à examiner cinq perturbations qui, quoique beaucoup moins importantes, sont à prendre en considération quand on voudra faire une étude très précise de ces questions.

Les deux premières ont été signalées par Le Chalelier; ce sont, une perturbation de galop et une perturbation de roulis dues aux réactions sur les glissières des forces d’inertie et centrifuges, à cause de l’obliquité de la bielle. Si F cos 9 est la force d’inertie du piston, comme ci-dessus, cette réaction est égale à

F Cos 9 Sin. 7) ou : (V Cos 9) X Sin 9) = F Sin 9 Cos 9 .

Elle a une faible valeur, car est sensiblement plus pelil que l’unité et Sin 6 est variable et au plus égal à l’unité.

Il serait facile de construire des tracés pour cette perturbation, comme pour les précédentes, aussi bien pour la perturbation de galop qui en résulte que pour celle de roulis. On trouve ici une période de -i- de révolution, aussi bien pour chaque piston que pour la résultante dans le cas du galop comme dans celui du roulis.

Fig. 5. — Roulis.

La 3e perturbation, également signalée par Le Ghatelier, est une oscillation de recul tenant à ce que la réaction des roues motrices sur le rail varie pendant une révolution ; elle donne lieu à une traction également variable sur la barre d’attelage ù une hauteur plus grande que la réaction des roues sur les rails ; il en résulte donc une oscillation de recul ; en réalité elle se combine avec l'oscillation de galop.

La 4e a été signalée par M. Herdner en 1887, comme nous l’avons dit ; elle est due à l’action directe delà vapeur ; elle tient à ce que les deux roues d’un même essieu moteur ne sont pas absolument solidaires ; en effet comme les moments moteurs changent constamment de sens, il en résulte une avance tantôt d’une roue, tantôt d’une autre par suite de la torsion de l’essieu moteur qui n’est pas négligeable ici, comme le montre un calcul facile sur l’élasticité de torsion. Dans le congrès des chemins de ferde 1900, le Baron Engerth (autrichien) a repris l’idée de M. Herdner des oscillations dues à l’action directe de la vapeur, en leur attribuant un rôle prépondérant ; c’est exagéré, pour les grandes vitesses, comme l’a montré le regretté Von Borries.

Il en résulte une perturbation de lacet qui s’ajoute à celles qui sont étudiées ci-dessus. Si n est la pression variable de la vapeur sur un piston, son moment par rapport au centre O de l’essieu moteur (Fig. 1) est, avec bielle infinie, égal à n x AA’ = Il r Sin d.

Si r est le rayon de la manivelle et R le rayon de la roue motrice, la perturbation cherchée est égale à la réaction du rail sur la roue ou :

(10) S n r Sin 0 x — , pour tous les pistons.

R

r 1

Elle est assez faible car -g- est'égal à y environ ; il y a une autre raison pour qu’elle soit

faible, c’est que la torsion ne permet qu’une avance très limitée d’une roue par rapport à l’autre, comme le calcul de torsion le montre aisément.

Quoiqu’il en soit, il est possible de construire les tracés ci-dessus pour la perturbation de recul et pour la perturbation de lacet en question.

La période, pour chaque piston est de révolution, et pour la résultante, de y de révolu¬ tion des roues motrices.

L’intégration est facile à faire graphiquement ici encore.

Il y a une 5e perturbation assez faible que nous devons signaler et qui résulte de nos éludes ; c’est une oscillation de galop due aux diverses perturbations de recul et tenant à ce que le centre de gravité du poids suspendu est au-dessus du centre d’oscillations dont nous avons montré l’existence en 1901 ; mais elle est puissamment amortie par les frottements des ressorts de suspension,