Ricerche di geometria analitica

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Introduzione

Dedico queste Ricerche alla memoria del mio compianto collega ed amico , non perchè l’importanza degli argomenti trattati, o la novità dei metodi e dei risultati, siano pari al merito eminente di quell’egregio Geometra, ma perchè esse mi pajon tali che a Lui, zelantissimo in escogitare e diffondere metodi agevoli ed intuitivi per lo studio delle scienze matematiche, sarebbero forse riuscite accette come contributo, modestissimo invero, al più facile studio di una dottrina che gli era cara, voglio dire della Geometria analitica.

Nè questa è la sola giustificazione ch’io possa addurre dell’aver posto il nome rispettato del Chelini in fronte a queste pagine. Nel corso delle presenti Ricerche ho avuto più volte occasione d’invocare, con vantaggio di speditezza e di eleganza, un principio algebrico che accennerò fra un momento, e che è stato da Lui per la prima volta introdotto in Geometria analitica: dove adesso è usato da tutti, senza che la sua apparente naturalezza tolga punto di merito a chi se ne seppe primamente giovare.

Aggiungerò infine che alcune delle considerazioni svolte in questo scritto hanno stretta connessione con quelle d’un mio breve articolo del 1871, del quale il Chelini ebbe già la benevolenza d’occu- parsi nella sua Memoria .

Il principio algebrico cui ho fatto allusione dianzi, e che fu dal adoperato in una sua Memoria del 1849 per la deduzione delle formole relative alle coordinate ellittiche, sarebbe suscettibile d’essere formulato con una grande generalità. Ma, per non andar troppo lontano dal campo delle applicazioni che se ne debbono far quì, si può enunciarlo nei termini seguenti:

Abbiasi un’equazione della forma

dove ed sono quantità indipendenti da (le ultime n tutte diverse fra loro), m è un numero intero e positivo e sono funzioni intere di , che supporremo prime fra loro, e tali inoltre che per non sia divisibile per . Posto

e moltiplicata tutta l’equazione per , essa non conterrà più che potenze intere di e, se si designa con p la più alta di queste potenze e con le radici dell’equazione stessa, si avrà l’identità

dove M è un fattore indipendente da e diverso da zero. Facendo in quest’identità , si ottiene

donde

Il principio, o lemma algebrico, del quale si tratta consiste semplicemente nel passaggio dalla primitiva equazione in a queste ultime formole. La necessità di tale passaggio si presenta molto spesso nel corso delle seguenti Ricerche.

Occorrerà eziandio ricorrere sovente alla nota formola per lo spezzamento delle frazioni razionali (nel caso più semplice delle radici tutte diseguali)

,

dove è la stessa funzione di pocanzi e è una funzione intera del grado al più. E parimenti occorrerà ricordare spessissimo quest’altra formola nota, conseguenza della precedente (anzi non diversa sostanzialmente da essa)

,

dove è una funzione intera di del grado al più. Ambedue queste formole potrebbero essere ricavate, come corollarii, dal Lemma (I): ma esse sono così generalmente note che sarebbe inutile, od almeno fuori di luogo, il far quì una digressione in proposito.

Quanto all’indole ed allo scopo delle presenti Ricerche, facili e piane tanto per l’argomento quanto pei metodi, dirò ch’esse s’aggirano principalmente sulle linee razionali, piane e gobbe, e sono fondate quasi interamente sull’uso di certe forme d’equazioni, locali o tangenziali, assunte a rappresentare l’elemento variabile che si considera come generatore della linea stessa. I primi cinque §§ sono relativi alla teoria delle coniche. I §§ 6° e 7° mostrano la possibilità e la convenienza, di trattare, con analoghi procedimenti, le curve piane razionali d’or- dine o classe qualunque. Il § 8° tratta delle curve piane generali di 3° ordine, e mostra che le formole quì adoperate, benchè più specialmente idonee allo studio dei luoghi razionali, possono nondimeno recare vantaggio anche nella teoria generale delle curve. I §§ 9° e 10° sono consacrati alle cubiche gobbe. Il § 11° tratta delle curve gobbe razionali in genere, con più particolare riguardo alla linea di 4° ordine e di 2a specie . Il § 12° ed ultimo tratta della superficie di , come saggio d’applicazione dei metodi adoperati nei §§ precedenti a luoghi geometrici generati da un elemento doppiamente variabile.

Il principio di dualità è perfettamente applicabile in ogni parte di queste Ricerche; talchè, meno qualche esempio datone in casi semplici, ho quasi sempre ommesso di svolgere i due aspetti di ciascuna questione, per non ripetere inutilmente parole e formole.

Mio unico scopo, nel redigere questo lavoro, fu di esporre un sistema di equazioni e di procedimenti, fondato sulla più elementare analisi algebrica, ma non indegno d’attenzione, a quanto mi pare, per la molteplicità degli usi e, direi quasi, per la non comune sua flessibilità. Certo non mancano esempii già noti di procedimenti siffatti: io stesso ne ho svolto uno fin dal 1868, attingendolo nella teoria delle cubiche gobbe. Ma forse non è stato ancora esplicitamente osservato che il campo della loro applicazione è molto più vasto di quello che sembri a prima giunta. Sarei ben lieto se qualche giovane geometra riuscisse, con nuove applicazioni, a mostrare, meglio che non abbia saputo far io, l’utilità dei metodi che ora procedo senz’altro ad esporre.

Capitolo 1

ct In ciò che segue denoteremo con x, y, z le coordinate omogenee d’un punto in un piano, e con p, q, r le coordinate omogenee d’una retta nello stesso piano, le une e le altre vincolate fra loro dall’equazione

quando il punto (xyz) giace nella retta (pqr).

Prendiamo ora l’equazione

dove , e sono tre funzioni intere e di 2° grado rispetto al parametro : equazione che rappresenta, com’è notissimo, la tangente variabile d’una conica. Questa conica è del tutto arbitraria finchè si lasciano indeterminati i coefficienti delle funzioni . Se si vuole che essa riesca tangente alle tre rette

, | , | ,

bisogna che le tre funzioni sien tali che un certo valore di annulli simultaneamente e , che un secondo valore di annulli simultaneamente e e e che un terzo valore di annulli simultaneamente e . Quando ciò ha luogo, l’equazione della tangente variabile può porsi manifestamente sotto la forma

,

dove le A, B, C, a, b, c sono costanti (di cui due soltanto sono veramente essenziali) . È bene notare subito che quando l’inviluppo è una vera conica, le costanti A, B, C sono tutte diverse da zero, e le costanti a, b, c sono tutte diverse fra loro.

La precedente equazione, mutando la designazione delle costanti, può scriversi anche così:

e rappresenta, evidentemente, la tangente variabile della conica individuata dalle cinque tangenti

, | , | ,

, | ;

infatti queste cinque tangenti particolari risultano dall’unica equazione dando rispettivamente al parametro i valori

, | , | ,

, | .

Le coordinate p, q, r d’una sesta tangente qualunque sono dunque date dalle formole

dalle quali risulta che, per un opportuno valore di , sussistono sempre tre relazioni della forma

, | , | .

Si può dunque enunciare questo corollario: Affinchè le sei rette

, | ,

, | ,

, | ,

sieno tangenti ad una sola e medesima conica è necessario e sufficiente che sia soddisfatta la condizione

Si può affermare a priori che quest’equazione non è altro che una traduzione algebrica del teorema di . Ma vediamolo direttamente.

Moltiplicando la prima colonna del determinante per , la se- conda per , la terza per ; poscia la prima linea per p, la seconda per , la terza per , la precedente relazione diventa

ed esprime che le tre rette

si segano in un solo e medesimo punto. Ora ciascuna di queste equazioni può scriversi in doppia guisa, così:

e, da questa doppia forma dell’equazione di ciascuna di quelle tre rette, segue immediatamente ch’esse sono le congiungenti dei vertici opposti dell’esagono formato dalle sei tangenti anzidette, prese nell’ordine seguente:

Si possono del resto facilmente modificare le operazioni fatte sul determinante, in guisa da pervenire ad esagoni formati colle tangenti stesse, ordinate in qualunque altro modo.

Ma, indipendentemente da questa verificazione, si vedrà meglio, fra un momento, la ragione della forma sotto cui ci si è presentato il teorema in discorso.

Ripetendo le considerazioni fatte al principio di questo §, colla sostituzione di punto a retta e viceversa, si trova che l’equazione del punto variabile d’una conica circoscritta al triangolo

, | ,

può sempre essere posta sotto la forma

,

dove è il parametro variabile; che per la conica determinata dai cinque punti

, | , | ,

,

l’equazione del punto variabile è

,

talchè le coordinate x, y, z di questo punto sono dalle formole

e finalmente che la condizione necessaria e sufficiente affinchè i sei punti

, | ,

, | ,

, | ,

sieno in una stessa conica è

Che quest’equazione sia una traduzione algebrica del teorema di è manifesto a priori, e si può d’altronde dimostrare col metodo tenuto precedentemente per quello di . Ma quì la cosa riesce ancor più chiara se si rammenta che, istituendo fra due punti variabili , le relazioni

cioè operando una trasformazione steineriana o quadratica, ad ogni retta corrisponde una conica passante pei punti fondamentali, e reciprocamente. Ora l’equazione precedente esprime che i punti corrispondenti, in una tale trasformazione, ai tre , , sono situati in linea retta: dunque i suddetti punti , , ed i tre vertici del triangolo fondamentale sono in una stessa conica.

L’equazione in cui si traduce il teorema di può analogamente dedursi da una trasformazione steineriana tangenziale, cioè operata fra coordinate di rette.

Capitolo 2

ct Tornando alle equazioni e del , che somministrano il tipo generale della tangente variabile e del punto variabile d’una conica rispettivamente inscritta o circoscritta al triangolo fonda- mentale, noteremo le formole seguenti, in parte evidenti, in parte de dotte dal .

Rispetto al caso della conica inscritta, le coordinate della tangente variabile sono date da

le coordinate del punto dal quale partono le due tangenti e sono date da

e finalmente le coordinate del punto di contatto della conica colla tangente sono date da

E se piacesse di considerare, più particolarmente, la conica individuata da due tangenti date , , oltre le tangenti fisse , , , basterebbe porre in queste formole (come risulta dal confronto delle equazioni ed del )

, | , | .

Rispetto al caso della conica circoscritta, si hanno formole del tutto somiglianti per le coordinate del punto mobile, per le coordinate della retta che incontra la conica in due punti dati e per quelle della tangente in un punto dato: basta permutare le lettere x, y, z, colle p, q, r, .

Può giovare, in alcune delle molte ricerche ove si possono utilmente adoperare queste formole, di assumere tre tangenti arbitrarie della conica inscritta (o tre punti arbitrarii della conica circoscritta) come lati (o rispettivamente come vertici) d’un nuovo triangolo fondamentale. In tal caso importa conoscere le espressioni delle x, y, z (o delle p, q, r) in funzione delle tre tangenti (o dei tre punti), e ciò può farsi nel modo seguente.

Ponendo

ed osservando che è una funzione intera di 2° grado in , si ha dal l’identità

dove

Questa è una relazione identica fra quattro tangenti arbitrarie, purchè distinte, di parametri , , , , la quale permette di esprimere una tangente qualunque per mezzo di tre tangenti fissate ad arbitrio. Ora avendosi, in particolare,

,

,

,

è chiaro che, col mezzo della precedente relazione, si possono ottenere le espressioni di x, y, z in funzione di , , ; basta fare successivamente , , .

In base allo stesso si può ottenere una relazione fra m tangenti, per , dall’identità

dove

e è una funzione intera di , del grado al più, a coefficienti arbitrarii.

Per dare un esempio d’altre relazioni dello stesso genere, osserviamo che si ha pure l’identità

dove è funzione intera di , del grado al più, a coefficienti arbitrarii. Il caso più semplice è fornito dall’ipotesi , nella quale si può porre . Se, in questa stessa ipotesi, si pone inoltre

si ottiene

Di quì risulta che le due equazioni seguenti:

sono fra loro equivalenti. Quest’equivalenza è la traduzione algebrica del noto teorema che due triangoli circoscritti ad una stessa conica (nel nostro caso sarebbero i due triangoli e ) sono sempre conjugati rispetto ad una medesima altra conica. Questa ultima conica, indifferentemente rappresentata dalla prima o dalla seconda delle precedenti due equazioni, possiede poi la proprietà d’essere conjugata non solo coi due triangoli e ma con tutti quelli i cui lati sono le tangenti individuate dalle tre radici del l’equazione di 3° grado in

dove k è una costante arbitraria, ad ognuno dei cui valori corrisponde un triangolo particolare. Infatti è chiaro che le due equazioni precedenti restano inalterate sostituendo a nella seconda equazione, oppure a nella prima.

Questo risultato fu da me stabilito, per una via meno semplice, nel già citato Articolo del 1871. Considerazioni in parte analoghe ri corrono nel bel libro del Sig. Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces (Paris, 1873). Di identità ricavate dal fece uso più volte l’illustre , ma con fini assai diversi.

Tralasciamo per brevità di scrivere e d’interpretare le formole analoghe alle precedenti rispetto alla conica circoscritta, e notiamo invece che tutte le formole suddette, essendo fondate unicamente sul fatto che è funzione intera di 2° grado in , sono valide anche per altre forme dell’equazione della tangente variabile (o del punto variabile) d’una conica, anzi valgono per la forma generalissima accennata al principio del .

Nel § 8° avremo nuovamente occasione di considerare e utilizzare altre identità ricavate dal medesimo principio.

Capitolo 3

ct Passiamo ora a considerare simultaneamente due coniche, l’una inscritta, l’altra circoscritta al triangolo fondamentale.

Rappresenteremo coll’equazione

la tangente variabile della prima conica, conica che può essere una qualunque, fra le inscritte, per la presenza delle arbitrarie a, b, c; e coll’equazione

il punto variabile della seconda conica, conica che può anch’essa essere una qualunque, fra le circoscritte, per la presenza delle nuove costanti A, B, C.

L’equazione

.

esprime manifestamente la condizione perchè la tangente della prima conica passi per il punto della seconda. In virtù di quest’equazione ad ogni valore di corrispondono due valori di , individuanti i punti d’intersezione della retta colla conica circoscritta, e, reciprocamente, ad ogni valore di corrispondono due valori di , individuanti le due tangenti che dal punto si possono condurre alla conica inscritta. Ciò posto consideriamo l’equazione

,

dove k è una costante arbitraria e x un nuovo parametro. Designando con , , le tre radici, che per ora supponiamo diseguali, di quest’equazione, sostituendole nell’equazione medesima, ed eliminando k colla sottrazione, si ottengono tre equazioni del tipo

delle quali una qualunque è conseguenza necessaria delle altre due. Queste equazioni esprimono proprietà delle terne di radici , , indipendenti da ogni valore particolare di k. Dando a k tutti i valori possibili, si ha una serie infinita di terne formate di valori generalmente distinti, e nelle quali una qualunque delle radici, per esempio , può prendere ogni valore possibile: infatti ponendo nell’equazione (4) si ottiene sempre per k un valore individuato. Ma, fissata , le altre due radici associate , e , restano determinate dall’equazione di 2° grado in x

.

Consideriamo ora una di queste terne, e sia ; poscia poniamo

, | , | ,

, | , | .

La terna di valori di determina i tre lati di un triangolo circoscritto alla prima conica, e la terna corrispondente , formata di valori numericamente eguali, determina parimente i tre vertici d’un triangolo inscritto alla seconda. Ma poichè si ha, in base alle equazioni del tipo ,

è chiaro, avuto riguardo al significato geometrico della relazione , che il lato , del primo triangolo contiene i vertici e , del secondo. E poichè ciò vale anche per gli altri lati e vertici, se ne conclude che i due triangoli , non ne formano che un solo, simultaneamente circoscritto alla prima ed inscritto alla seconda conica. I valori eguali di e , cioè , , corrispondono a lati ed a vertici rispettivamente opposti di quest’unico triangolo. Siccome poi, variando k, , può assumere, come si disse, ogni valore possibile, ne segue che ogni tangente della prima conica può essere lato di un tal triangolo, come ogni punto della seconda può essere vertice d’un altro di tali triangoli. In altre parole: facendo variare con continuità nell’equazione , si determina un triangolo che varia con continuità restando sempre circoscritto alla prima ed inscritto nella seconda conica.

Di quì risulta che se due coniche ammettono un triangolo inscritto nell’una e circoscritto all’altra, qual’ è per le nostre due coniche il triangolo fondamentale, essendo del resto arbitrarie, esse ammettono necessariamente una serie infinita e continua di tali triangoli, talchè ogni punto della conica circoscritta può diventar vertice, come ogni tangente della inscritta può diventar lato d’uno di tali triangoli. E poichè è d’altronde evidente che, per due coniche assolutamente arbitrarie, non può un punto scelto a caso sull’una essere vertice di un triangolo inscritto ad essa e circoscritto all’altra, segue senz’altro la verità del teorema di Poncelet che due coniche in un piano o non ammettono alcun triangolo inscritto all’una e circoscritto all’altra, o ne ammettono una serie infinita e continua.

Resta da considerare il caso, lasciato finora in disparte, che l’equazione abbia due radici eguali, caso che interviene sempre, per certi valori particolari di k. Per discutere questo caso, osserviamo anzitutto che se , , sono le tre radici diseguali corrispondenti ad un valore arbitrario di k, si ha dal

,

,

.

Quindi se, per un valor particolare di k, le due radici e diventano eguali fra loro, designando con il loro valor comune, si ha

Da queste formole, in virtù del , si traggono le equazioni seguenti:

,

,

la prima delle quali non è altro che la derivata della rispetto a x postovi , e fornisce quattro valori di che son quelli delle radici doppie possibili, corrispondenti ad altrettanti valori di k che si ottengono sostituendo i primi nell’equazione al posto di x. La terza equazione, che è lineare rispetto a , (in virtù della prima), fornisce il valore della radice semplice associata a ciascuna radice doppia. La seconda e terza equazione poi, insieme prese, esprimono il carattere peculiare dei triangoli corrispondenti alle quattro terne comprendenti una radice doppia. Se si pone infatti

, | ,

, | ,

le dette due equazioni si possono scrivere così:

oppure così:

Sotto la prima forma le due equazioni esprimono che il lato , contiene il punto ed il punto contiguo; sotto la seconda, che il punto , è contenuto nella tangente e nella tangente contigua. Dunque il lato è una tangente comune alle due coniche ed il vertice opposto è un punto comune ad esse medesime; il lato è la tangente della prima conica in uno dei punti comuni ad essa ed alla seconda, ed il vertice è il punto di contatto della seconda conica con una delle tangenti comuni ad essa ed alla prima.

In base a ciò, ecco com’è costituito ciascuno dei quattro triangoli singolari che corrispondono ai quattro valori di : Il vertice , è uno dei punti comuni alle due coniche, e i due lati concorrenti in esso coincidono colla tangente alla prima conica in quel punto; questi due lati coincidenti incontrano di nuovo la seconda conica nei due punti , che coincidono nel punto in cui la seconda conica è toccata dalla tangente , comune ad essa ed alla prima: questa tangente funge da terzo lato del triangolo, cioè da lato opposto al vertice punto comune alle due coniche.

Di quì risulta manifestamente questo teorema: Quando due coniche ammettono un triangolo circoscritto alla prima ed inscritto alla seconda, le tangenti della prima conica, nei punti comuni ad essa ed alla seconda, incontrano di nuovo la seconda conica nei punti di contatto di questa colle tangenti comuni ad essa ed alla prima conica. Al qual teorema si può aggiungere quest’altro: Se, date due coniche in un piano, la tangente alla prima, in uno dei quattro punti comuni, incontra di nuovo la seconda conica in uno dei quattro punti di contatto colle tangenti comuni, la proprietà medesima ha luogo per le tangenti negli altri tre punti comuni, e le due coniche ammettono una serie infinita e continua di triangoli simultaneamente circoscritti alla prima ed inscritti alla seconda conica.

Non ci occuperemo del caso che l’equazione ammetta radice tripla, caso che in generale non può verificarsi. Infatti, ponendo nelle formole ed eliminando questo valor comune delle radici si trova

relazione fra i coefficienti delle due equazioni che non è generalmente soddisfatta. Questa relazione esprime la condizione del contatto fra le due coniche. È una circostanza interessante, sulla quale tuttavia non intendiamo di trattenerci.

Osserviamo, per ultimo, che se si designano con , , le tre radici dell’equazione per un valore individuato, , di k, e se per un momento si pone

,

la suddetta equazione può scriversi così

Dunque, in virtù del teorema dimostrato nel , la conica rappresentata dall’equazione

è conjugata con tutti i triangoli simultaneamente inscritti e circoscritti alle due coniche considerate in questo . Ma, per ipotesi, si ha identicamente

epperò

Inoltre si è già trovato nel ,

, | , | .

Sostituendo questi valori nell’equazione (7), si riconosce subito che la conica conjugata con tutti i triangoli inscritti e circoscritti è quella rappresentata dall’equazione semplicissima

.

Capitolo 4

ct Passiamo a forme più generali dell’equazione d’una tangente variabile (o d’un punto variabile), restando ancora, per adesso, nella supposizione che l’inviluppo (od il luogo) debba essere una conica.

Sieno

,

le equazioni di rette del piano essendo funzioni lineari delie primitive coordinate x, y, z, della forma

.

L’equazione

,

o, come potremo scrivere per maggior brevità,

(3) | ,

nella quale le A sono costanti tutte diverse da zero e le a sono altre costanti tutte diverse fra loro, rappresenta una retta la quale, al variare di , inviluppa in generale una linea della classe n. Fra le tangenti di questa linea vi sono le rette fondamentali (1), che corrispondono ai valori del parametro . Ma se, designando con valori particolari (fissi) di , si stabiliscono fra le funzioni lineari le seguenti relazioni identiche

,

la classe dell’inviluppo scema evidentemente di tante unità quante sono le relazioni identiche di tal natura che si stabiliscono, talchè, se il numero di queste relazioni raggiunge il suo massimo valore, che è , la classe discende da n a 2. Dunque l'equazione (3) rappresenta ancora la tangente variabile d'una conica, qualunque sia il numero , perchè fra le funzioni lineari u si stabiliscano relazioni identiche della forma seguente:

, | , | ,

dove sono valori individuati e distinti del parametro . Questi valori speciali di non corrispondono, giova ben notarlo, ad alcuna retta della famiglia (3).

Se nelle relazioni si sostituisce a ciascuna u la sua espressione in funzione delle primitive coordinate, e si annullano separatamente i coefficienti di queste, si ottengono equazioni fra le costanti , , e le coordinate , , delle rette . Ma delle quantità , se ne possono fissare arbitrariamente 4, perchè una delle può essere presa a piacimento, e con una trasformazione di parametro della forma

si può conferire un valore arbitrario a 3 delle quantità medesime ed . Dunque nelle dette equazioni entrano soltanto costanti arbitrarie essenziali, dipendenti dalla forma che si vuol dare all’equazione della tangente variabile. Eliminando queste arbitrarie, restano relazioni fra le coordinate delle rette e le quantità fisse , epperò cinque sole rette sono arbitrarie: ogni nuova retta dà luogo ad una condizione, come naturalmente dev’essere. Soddisfatte poi le condizioni così trovate, le quantità ed restano determinate, tranne nel caso di , nel quale esse restano parzialmente indeterminate.

A proposito di questo caso eccezionale giova entrare in qualche dilucidazione, per rimuovere un apparente paradosso cui esso dà luogo. Abbiasi dunque l’equazione

,

accompagnata dalla relazione identica

,

nella quale rappresenta un valore particolare (fisso) di . Se le quattro funzioni lineari sono date, come supponiamo, la relazione identica che ha luogo fra esse è pure determinata. Rappresentando dunque tale relazione con

dove le sono costanti determinate, devono sussistere le equazioni

dove è un fattore indeterminato. Queste equazioni stabiliscono quattro relazioni necessarie fra le 10 quantità

ma, stante l’arbitrio ch’esse lasciano ancor sussistere rispetto a 6 di queste, non si capisce a prima giunta come la conica inviluppata dalla retta variabile possa dipendere da un solo parametro essenziale, possa cioè appartenere soltanto alla schiera semplicemente infinita delle coniche inscritte nel quadrilatero

Per ispiegare questo fatto eliminiamo fra le due equazioni e . L’equazione risultante, divisa per , è, in virtù delle formole (6),

Se del primo membro di quest’equazione, liberato dai denominatori e considerato come funzione di 2° grado rispetto a , si forma il discriminante e si annulla, si trova un’equazione che è riducibile alla forma seguente:

e che è l’equazione della conica inviluppo. Ora qualunque sieno le quantità , , , , si ha sempre l’identità

dunque l’equazione precedente contiene effettivamente un solo parametro essenziale, che potrebb’essere, per esempio, la quantità

la quale non è altro che il rapporto anarmonico delle quattro tangenti fisse , considerate come appartenenti al fascio delle tangenti della conica variabile inscritta nel quadrilatero da esso formato.

Tutte le considerazioni che precedono possono ripetersi, parola per parola, sostituendo punto a retta e funzione lineare di coordinate tangenziali a funzione lineare di coordinate locali.

Capitolo 5

ct Dalle considerazioni svolte nel risulta che, se per brevità si pone

l’equazione del detto , in virtù del , dà, indicando con M un fattore di proporzionalità,

, | ,

dove e sono le sole due radici variabili della citata equazione , le altre essendo quelle che abbiamo designate con e che sono sempre le stesse, qualunque sia il punto del piano cui si riferiscono i valori delle funzioni lineari u.

Le formole (1) conducono alla conoscenza dei valori che queste funzioni prendono nei punti della conica inviluppo. Infatti, facendo in esse , si trova che nel punto di contatto della conica stessa colla retta , le dette funzioni u hanno i valori dati da

, | .

Le medesime formole (1) conducono eziandio a trovare la forma che assumono le equazioni di condizione del in certi casi particolari, che non abbiamo creduto opportuno di accennare prima d’ora, per non complicare il discorso. Non faremo una completa ana lisi di questi casi, ma ne citeremo due, di maggiore interesse.

Si può supporre, in primo luogo, che le radici fisse sieno tutte eguali fra loro. In tal caso si ha

epperò le formole diventano

donde, pel , si traggono le equazioni:

per | .

Dunque, quando le radici fisse son tutte eguali fra loro ed a , le altre condizioni del sono surrogate da queste altre

Si può, in secondo luogo, particolarizzare ancor più l’ipotesi or fatta, supponendo che il valor comune delle radici fisse sia . In questo caso, dovendo l’equazione avere tutte le radici infinite, bisogna che il suo primo membro si riduca ad una costante. Ponendo questa costante si ha

donde

dove è una funzione intera di , del grado , a coefficienti arbitrarii. Quest’ultima equazione si scinde nelle equazioni separate

le quali sono appunto quelle che tengono luogo delle del nel caso attualmente supposto. Verificandosi il quale l’equazione

liberata che sia dai denominatori, si abbassa spontaneamente al 2° grado, per la mutua elisione di tutti i termini che contengono potenze di superiori alla seconda. Si giungerebbe, per un cammino inverso, alle stesse equazioni eguagliando a zero i coefficienti di nella precedente equazione, liberata dai denominatori.

Osserviamo ancora che rappresentando, come dianzi, con una funzione intera di , di grado , a coefficienti arbitrarii, e moltiplicando ordinatamente le equazioni del per

si ottiene

ossia, in forza del ,

vale a dire, scrivendo per disteso,

.

Quest’unica equazione equivale, per l’arbitrio degli coefficienti della funzione al sistema delle equazioni del , dalle quali essa venne ricavata. Viceversa si possono da quest’unica equazione ricavare tutte le equazioni citate. Per ottenere la prima, ad esempio, non si ha che da porre

Se, in particolare, si pone eguale al prodotto di dei binomii

, | ,

le quantità

,

riescono tutte nulle ad eccezione di quelle quattro nelle quali è posto eguale ad una delle a non comprese in . Per tal guisa l’equazione si converte in una relazione fra sole quattro delle funzioni lineari u. Con questo artifizio si può, in caso di bisogno, esprimere linearmente delle funzioni u per mezzo delle tre rimanenti, e ritornare così all’uso di tre sole coordinate omogenee indipendenti. Riparleremo, nel , di tale riduzione, considerandola da un punto di vista più generale.

Col medesimo artifizio si possono dimostrare dei teoremi geometrici di che vogliamo dare un esempio.

Sia . In questo caso le relazioni identiche sono in numero di tre, e la loro coesistenza deve esprimere che le rette

, | , | , | , | ,

sono sei tangenti d’una sola e medesima conica, vale a dire che sono così disposte da dar luogo al teorema di . Per dimostrar ciò, stabiliamo di far succedere queste sei rette nell’ordine indicato dagli indici delle corrispondenti funzioni u, e, poichè è nel caso attuale funzione di 2° grado, poniamo successivamente nell’equazione

,

,

.

Si ottengono così tre relazioni distinte, la prima fra le funzioni , , , , la seconda fra le funzioni , , , , la terza fra le funzioni , , , , relazioni che scriveremo così

,

,

,

ciascuna parentesi rappresentando una certa funzione lineare delle due funzioni u che vi sono racchiuse: per esempio si ha

Queste tre identità insegnano che le rette congiungenti i vertici opposti dell’esagono formato dalle sei rette, disposte nell’ordine indicato, possono essere rappresentate dalle equazioni

, | , | .

Ora si ha identicamente

dunque le congiungenti anzidette si segano in un solo e medesimo punto.

(Per verificare l’identità precedente basta porre in luogo di l’espressione equivalente : si ottiene così una relazione fra le sole quattro funzioni , , , la quale è identica a quella cui si perviene ponendo .)