Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze

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en:Dialogues Concerning Two New Sciences

Appendice di alcune proposizioni e dimostrazioni attenenti al centro di gravità de i solidi

POSTULATO

Dati dei pesi eguali similmente disposti in bilance diverse, postuliamo che, se il centro di gravità del composto degli uni divide la [relativa] bilancia secondo una certa proporzione, anche il centro di gravità del composto degli altri divide la [rispettiva] bilancia secondo la medesima proporzione.

LEMMA

La linea ab sia intersecata a metà in c, e la metà ac sia divisa in e; sì che, qual è la proporzione che be ha ad ea, tale sia quella che ae ha ad ec. Dico, che la be è doppia della stessa ea. Infatti, poiché, come be sta ad ea, così ea sta ad ec, componendo e permutando, avremo che, come ba sta ad ac, così ae sta ad ec; ma come ae sta ad ec, cioè come ba ad ac, così be sta ad ea: perciò be è doppia della stessa ea.

Ciò posto, si dimostra che: Se un numero qualsiasi di grandezze, che si eccedono egualmente e i cui eccessi sono eguali alla minima di esse, vengono disposte su una bilancia in modo che pendano a distanze eguali, il centro di gravità di tutte [le grandezze] divide la bilancia in modo tale che la parte verso le [grandezze] minori è doppia dell'altra.

Pertanto, sulla bilancia ab, a distanze eguali, pendano, in numero qualsiasi, le grandezze f, g, h, k, n, le quali siano come si è detto; e la minima di esse sia n; inoltre siano a, c, d, e, b, i punti di sospensione, e sia x il centro di gravità di tutte le grandezze così disposte. Bisogna mostrare che la parte bx della bilancia, verso le grandezze minori, è doppia dell'altra [parte] xa.

Si divida la bilancia a metà nel punto d, che necessariamente cadrà o in qualcuno dei punti di sospensione, o nel punto di mezzo tra due sospensioni; ora, le altre distanze fra le sospensioni comprese tra a e d siano tutte divise a metà nei punti m e i; le grandezze, poi, vengono tutte divise in parti eguali alla n; il numero delle parti della f sarà allora eguale al numero delle grandezze che pendono dalla bilancia; le parti della g, invece, saranno una di meno, e così per tutte le altre. Le parti della f siano, pertanto, n, o, r, s, t; quelle della g [siano] n, o, r, s; quelle della h [siano] n, o, r; infine, le parti della k siano n e o: tutte le parti [cioè la loro somma] segnate da n saranno eguali alla f; tutte quelle segnate da o, saranno eguali alla g; quelle segnate da r, saranno eguali alla h; quelle segnate da s, lo saranno alla k; infine la grandezza t è eguale alla n. Poiché, dunque, tutte le grandezze segnate da n sono tra di loro eguali, il punto del loro equilibrio sarà in d, che divide a metà la bilancia ab; per la medesima ragione, di tutte le grandezze segnate da o il punto di equilibrio è in i; di quelle segnate da r è in c; e quelle segnate da s, hanno il loro punto di equilibrio in m; infine t è appesa in a. Pertanto, sulla bilancia ab, a distanze eguali d, i, c, m, a, sono appese grandezze che si eccedono egualmente e il cui eccesso è eguale alla minima: ma la massima, che risulta composta di tutte le n, pende da d; la minima, invece, cioè t, pende da a; e tutte le altre sono disposte ordinatamente. V'è, inoltre, un'altra bilancia ab, sulla quale sono disposte nel medesimo ordine altre grandezze, eguali alle predette in numero e in grandezza: perciò le bilance ab e ad verranno divise dai centri [di gravità] del composto di tutte le grandezze secondo la medesima proporzione. Ma il centro di gravità delle suddette grandezze è x; perciò x divide le bilance ba e ad secondo la medesima proporzione, in modo che, come bx sta a xa così xa stia a xd; perciò bx è doppia di xa, per il lemma posto sopra. Il che è quello che si doveva provare.

Se in un conoide parabolico viene inscritta una figura e se ne circoscrive un'altra, [costituite] da cilindri aventi eguale altezza, e si divide l'asse del detto conoide in modo che la parte verso il vertice sia doppia della parte verso la base; il centro di gravità della figura inscritta sarà più vicino del detto punto di divisione alla base della porzione [ossia del conoide]; il centro di gravità della figura circoscritta, invece, sarà più lontano del medesimo punto dalla base del conoide; e la distanza di ciascuno dei due centri da tale punto sarà eguale alla linea, che sia la sesta parte dell'altezza di uno dei cilindri da cui sono costituite le figure.

Siano, pertanto, un conoide parabolico e figure tali, quali si sono dette: l'una sia inscritta, l'altra circoscritta; l'asse del conoide, il quale sia ae, venga diviso nel punto n in modo che an sia doppia di ne. Bisogna mostrare che il centro di gravità della figura inscritta si trova sulla linea ne, mentre il centro di quella circoscritta si trova sulla an. Le figure così disposte vengano intersecate da un piano [passante] per l'asse, e la sezione della parabola [ossia del conoide parabolico] sia bac: l'intersezione del piano secante con la base del conoide sia la linea bc; le sezioni dei cilindri siano figure rettangolari: come risulta nel disegno. Ora, il primo dei cilindri inscritti, il cui asse è de, rispetto al cilindro, il cui asse è dy, ha la medesima proporzione che il quadrato id al quadrato sy, cioè che da da ad ay; inoltre, il cilindro, il cui asse è dy, sta al cilindro yz, come il quadrato di sy sta al quadrato di rz, cioè come ya sta ad az; e, per la stessa ragione, il cilindro, il cui asse è zy, sta a quello, il cui asse è zu, come za sta ad au. Dunque, i suddetti cilindri stanno tra di loro come le linee da, ay, za, au: ma queste linee sono tra loro egualmente eccedenti e il loro eccesso è eguale alla minima, in modo che az risulta doppia di au, mentre ay ne risulta tripla, e da quadrupla. I suddetti cilindri sono, dunque, grandezze egualmente eccedentisi l'una l'altra, i cui eccessi sono eguali alla minima di esse; inoltre la linea xm è quella, sulla quale esse sono appese a distanze eguali (infatti ciascun cilindro ha il centro di gravità nel mezzo del proprio asse): perciò, per le cose sopra dimostrate, il centro di gravità della grandezza composta da tutte [le grandezze date] dividerà la linea xm in modo che la parte verso x sia doppia dell'altra. Si faccia, dunque, la divisione, e xa sia doppia di am: dunque, a è il centro di gravità della figura inscritta. Si divida la au a metà in e; ex sarà doppia della me: ma xa è doppia della am, perciò ee è tripla della ea. Ma ae è tripla della en: risulta, dunque, che en è maggiore della ea, e perciò a, che è il centro di gravità della figura inscritta, è più vicino di n alla base del conoide. Poiché, come ae sta ad en, così la parte tolta ee sta alla parte tolta ea, si avrà che anche la parte rimanente starà all'altra parte rimanente, cioè ae ad na, come ae sta ad en. Dunque, an è la terza parte di ae e la sesta parte di au. Nel medesimo modo si dimostra poi che i cilindri della figura circoscritta si eccedono egualmente, che gli eccessi sono eguali al cilindro minimo, e che i loro centri di gravità si trovano sulla linea em a distanze eguali. Se, pertanto, si divide em in p, in modo che ep sia doppia della rimanente pm, p sarà il centro di gravità dell'intera grandezza circoscritta: inoltre, poiché ep è doppia di pm, mentre ae è minore del doppio di em (poiché le è eguale), l'intera ae risulterà minore del triplo della ep; perciò ep sarà maggiore della en. Inoltre, essendo la em tripla della mp ed essendo [la somma di] me col doppio di ea parimenti tripla della me, allora l'intera ae, insieme con la ae, sarà tripla della ep. Ma ae è tripla della en; perciò la rimanente ae sarà tripla della rimanente pn. Pertanto np è la sesta parte della au. Questo è appunto quanto si doveva dimostrare.

Da ciò è manifesto che in un conoide parabolico è possibile inscrivere una figura e circoscriverne un'altra, in modo che i loro centri di gravità distino dal punto n meno di qualunque linea data. Se, infatti, data una linea, ne prendiamo un'altra sei volte maggiore, e se facciamo gli assi dei cilindri, dai quali sono costituite le figure, minori della linea così presa; allora le linee che si trovano fra il centro di gravità di ciascuna di queste figure e il punto n, saranno minori della linea data.

ALTRA DIMOSTRAZIONE DELLO STESSO

L'asse di un conoide, che sia cd, venga diviso in o in modo che co sia doppia di od. Bisogna mostrare che il centro di gravità della figura inscritta si trova sulla linea od, mentre il centro di quella circoscritta si trova sulla co. Le figure siano intersecate da un piano [passante] per l'asse e per c, come si è detto. Ordunque, poiché i cilindri sn, tm, vi, xe stanno tra loro come i quadrati delle linee sd, tn, vm, xi; [poiché] d'altra parte questi [quadrati] stanno tra di loro come le linee nc, cm, ci, ce; [poiché] inoltre queste [linee] si eccedono egualmente e gli eccessi sono eguali alla minima, cioè alla ce; e [poiché] il cilindro tm è eguale al cilindro qn, mentre il cilindro vi è eguale al cilindro pn, e il cilindro xe è eguale al cilindro ln; dunque, i cilindri sn, qn, pn, ln si eccedono egualmente e gli eccessi sono eguali al minimo di essi, cioè al cilindro ln. Ma l'eccesso del cilindro sn sul cilindro qn è un anello, la cui altezza è qt, cioè nd, e la cui larghezza è sq; l'eccesso del cilindro qn sul cilindro pn è un anello, la cui larghezza è qp; infine l'eccesso del cilindro pn sul cilindro ln è un anello, la cui larghezza è pl. Perciò i suddetti anelli sq, qp, pl sono eguali [equivalenti] tra di loro e al cilindro ln. L'anello st è pertanto eguale al cilindro xe; l'anello qv, doppio dell'anello st, è eguale al cilindro vi, il quale è similmente doppio del cilindro xe; e per la stessa ragione, l'anello px sarà eguale al cilindro tm, e il cilindro le al cilindro sn. Pertanto, sulla bilancia kf, la quale unisce i punti medi delle rette ei e dn ed è intersecata in parti eguali nei punti h e g, si trovano delle grandezze, cioè i cilindri sn, tm, vi, xe; e il centro di gravità del primo cilindro è k, quello del secondo è h, quello del terzo è g, e quello del quarto è f. Ma abbiamo anche un'altra bilancia mk, che è la metà della fk, e che è divisa da altrettanti punti in parti eguali, cioè mh, hn, nk; su di essa si trovano altre grandezze, le quali sono eguali in numero e grandezza a quelle che si trovano sulla bilancia fk, e hanno i [rispettivi] centri di gravità nei punti m, h, n, k, e sono disposte nel medesimo ordine. Il cilindro le ha infatti il centro di gravità in m, ed è eguale al cilindro sn, che ha il centro di gravità in k; l'anello px ha il centro di gravità in h, ed è eguale al cilindro tm, il cui centro di gravità è h; l'anello qv, avente il centro di gravità in n, è eguale al cilindro vi, il cui centro è g; infine l'anello st, avente il centro di gravità in k, è eguale al cilindro xe, il cui centro è f. Pertanto, il centro di gravità delle suddette grandezze divide la bilancia secondo la medesima proporzione: ma il loro centro è unico, e perciò è un qualche punto comune ad entrambe le bilance, il quale [punto] sia y. Pertanto fy starà a yk come ky a ym; dunque, fy è doppia della yk; e divisa la ce a metà in z, zf sarà doppia di kd, e di conseguenza zd sarà tripla della dy. Ma della retta do è tripla la cd: dunque, la retta do è maggiore della dy; e perciò il centro di gravità y della figura inscritta è più vicino del punto o alla base. E poiché, come cd sta a do, così la parte tolta zd sta alla parte tolta dy, allora anche la parte rimanente cz starà alla parte rimanente yo come cd sta a do: cioè yo sarà la terza parte della cz, cioè la sesta parte della ce. Con identico procedimento mostreremo, d'altra parte, che i cilindri della figura circoscritta si eccedono egualmente, che gli eccessi sono eguali al cilindro minimo, e che i loro centri di gravità sono situati sulla bilancia kz a distanze eguali; inoltre [dimostreremo] parimenti che anelli eguali ai medesimi cilindri sono similmente disposti sull'altra bilancia kg, che è la metà della bilancia kz; e che, perciò, il centro di gravità della figura circoscritta, il quale sia r, divide le bilance in modo che zr stia ad rk, come kr sta ad rg. Dunque, zr sarà doppia della rk; ma cz sarà eguale alla retta kd, e non doppia: l'intera cd sarà allora minore del triplo della dr; perciò la retta dr è maggiore della do: ovverossia, il centro di gravità della figura circoscritta è più distante del punto o dalla base. E poiché zk è tripla della kr, e [la somma di] kd col doppio di zc è tripla di kd, l'intera cd, insieme con cz, sarà tripla della dr. Ma cd è tripla della do: perciò la parte rimanente cz sarà tripla dell'altra parte rimanente ro: cioè or è la sesta parte della ec. Che è quello che ci eravamo proposti.

Fatte queste dimostrazioni iniziali, si dimostra ora che il centro di gravità di un conoide parabolico divide l'asse in modo tale che la parte verso il vertice è doppia della rimanente parte verso la base.

Sia un conoide parabolico, il cui asse ab venga diviso in n in modo che an sia doppia di nb. Bisogna mostrare che il centro di gravità del conoide è il punto n. Infatti, se non è n, si troverà o sotto o sopra di esso. In primo luogo [immaginiamo che] si trovi sotto, e sia esso x: si ponga a parte la linea lo, eguale alla nx, e la si divida a caso in s; e qual è la proporzione che [la somma di] ambedue le bx e os ha rispetto a os, tale sia anche la proporzione che il conoide ha rispetto al solido r: si inscriva nel conoide una figura [costituita] da cilindri aventi eguale altezza, in modo che la linea compresa tra il centro di gravità di essa [figura] e il punto n sia minore della linea ls, e l'eccesso, per il quale [quella figura] viene superata dal conoide, sia minore del solido r. Che poi ciò sia possibile, è manifesto. Sia pertanto inscritta [la figura], il cui centro di gravità sia i: sarà allora ix maggiore di so; poiché abbiamo che, come [la somma di] xb con so sta ad so, così il conoide sta ad r (ma r è maggiore dell'eccesso per il quale il conoide supera la figura inscritta), la proporzione del conoide al suddetto eccesso sarà maggiore della proporzione che [la somma di] ambedue le bx e os ha rispetto ad so: scomponendo, la figura inscritta avrà, rispetto al suddetto eccesso, una proporzione maggiore della proporzione di bx ad so. Ma la proporzione di bx a xi è ancora minore di quella che [la medesima bx] ha ad so: la figura inscritta avrà, pertanto, rispetto alle rimanenti porzioni, una proporzione molto maggiore di quella che bx ha ad xi. Pertanto, quale è la proporzione che la figura inscritta ha rispetto alle rimanenti porzioni, tale sarà anche la proporzione di un'altra linea qualsiasi a xi; [linea] che risulterà necessariamente maggiore di bx. Sia essa, pertanto, mx. Abbiamo così in x il centro di gravità del conoide, e in i quello della figura inscritta: dunque, il centro di gravità delle rimanenti porzioni, per le quali il conoide eccede la figura inscritta, si troverà sulla linea xm, e precisamente in quel punto che determinerebbe su di essa una linea tale, che il rapporto di quest'ultima a xi sia eguale alla proporzione che la figura inscritta ha rispetto all'eccesso, per il quale è superata dal conoide. Ma si è mostrato che tale proporzione è appunto quella che mx ha a xi: sarà dunque m il centro di gravità delle porzioni, per le quali il conoide eccede la figura inscritta. Il che non è certamente possibile: infatti, se per m si conduce un piano equidistante dalla base del conoide, tutte le porzioni suddette si troveranno da una stessa parte, e non saranno divise da esso. Pertanto, il centro di gravità del conoide non si trova al di sotto del punto n. Ma nemmeno [si trova] sopra. Infatti, qualora sia possibile, [immaginiamo che] esso sia h; e, di nuovo, come sopra, si ponga a parte la linea lo eguale alla hn, e la si divida a caso in s; e quale è la proporzione che [la somma di] entrambe le bn ed so ha ad sl, tale sia anche la proporzione che il conoide ha ad r; si circoscriva al conoide una figura [costituita] da cilindri nel modo che si è detto, la quale sia eccedente [rispetto al conoide] per una quantità minore del solido r; e la linea [compresa] tra il centro di gravità della figura circoscritta e il punto n sia minore di so: la restante uh sarà maggiore di ls; e poiché abbiamo che, come [la somma di] entrambe le bn e os sta ad sl, così il conoide sta ad r (ma r è maggiore dell'eccesso, per il quale il conoide è superato dalla figura circoscritta), dunque [la somma di] bn e os avrà rispetto ad sl una proporzione minore di quella che il conoide ha rispetto al suddetto eccesso. Ma bu è minore [della somma] di bn e os; uh, invece, è maggiore di sl: pertanto il conoide avrà rispetto alle suddette porzioni una proporzione molto maggiore di quella che bu ha ad uh. Pertanto, quale è la proporzione che il conoide ha rispetto a quelle medesime porzioni, tale sarà pure la proporzione che una linea maggiore della bu avrà rispetto alla uh. L'abbia, dunque, e sia essa mu; poiché il centro di gravità della figura circoscritta è u, e il centro di gravità del conoide è h, e poiché abbiamo inoltre che, come il conoide sta alle porzioni rimanenti, così mu sta a uh, sarà allora m il centro di gravità di quelle porzioni rimanenti: il che è similmente impossibile. Il centro di gravità del conoide non si trova dunque al di sopra del punto n: ma si è dimostrato che non si trova neppure al di sotto: resta dunque che esso debba necessariamente trovarsi proprio in n. E col medesimo procedimento ciò si dimostrerà di un conoide intersecato da un piano non perpendicolare all'asse. In altre parole, ma è la stessa cosa, come risulta nel [teorema] seguente, il centro di gravità di un conoide parabolico va a cadere tra il centro della figura circoscritta e il centro di quella inscritta.

Sia un conoide avente asse ab: il centro della figura circoscritta sia c, e quello della figura inscritta sia o. Dico, che il centro del conoide si trova tra i punti c e o. Infatti, se ciò non fosse, dovrà trovarsi o al di sopra, o al di sotto, o in uno di essi. Sia al di sotto, ad esempio in r: poiché r è il centro di gravità dell'intero conoide e o il centro di gravità della figura inscritta, dunque il centro di gravità di tutte le altre porzioni, per le quali la figura inscritta è superata dal conoide, si troverà sul prolungamento della linea or dalla parte di r, e precisamente in quel punto che delimita [questo prolungamento] in modo che, quale è la proporzione delle dette porzioni alla figura inscritta, tale sia anche la proporzione che la linea or ha rispetto alla linea compresa tra r e quel punto. Questa proporzione sia quella che or ha ad rx. Pertanto x andrà a cadere o al di fuori del conoide, o al di dentro, oppure sulla base stessa. Sia [l'ipotesi] che esso cada al di fuori, sia [quella] che esso cada sulla base, risultano già manifestamente assurde. [Supponiamo che] vada a cadere all'interno: poiché xr sta ad ro, come la figura inscritta sta all'eccesso, per il quale essa è superata dal conoide, poniamo che, quale è la proporzione di br ad ro, tale sia anche quella che la figura inscritta ha rispetto al solido k, il quale dovrà essere necessariamente minore del suddetto eccesso; si inscriva poi un'altra figura, la quale sia superata dal conoide per un eccesso minore di k: il suo centro di gravità cadrà tra o e c. Sia esso u: poiché la prima figura sta a k come br sta ad ro, e poiché, d'altra parte, la seconda figura, il cui centro é u, è maggiore della prima ed è superata dal conoide per un eccesso minore di k, si avrà allora che, quale è la proporzione che la seconda figura ha rispetto all'eccesso, per il quale essa è superata dal conoide, tale è anche la proporzione che una linea maggiore della br ha rispetto alla linea ru. Ma il centro di gravità del conoide è r, mentre quello della figura inscritta è u: dunque, il centro di gravità delle rimanenti porzioni si troverà al di fuori del conoide, al di sotto di b; il che è impossibile. E col medesimo procedimento si dimostrerà che il centro di gravità del medesimo conoide non si trova sulla linea ca. Che poi esso non sia né l'uno né l'altro dei due punti c e o, ciò è manifesto. Infatti, qualora supponessimo ciò, descritte [due] altre figure, tali che quella inscritta sia maggiore della figura il cui centro è o, e quella circoscritta sia minore della figura il cui centro è c, il centro di gravità del conoide andrebbe a cadere fuori del centro di gravità di tali figure: il che è impossibile, come abbiamo testé concluso. Ne consegue, dunque, che esso si trova compreso tra il centro della figura circoscritta e quello della figura inscritta. Se è così, dovrà trovarsi necessariamente in quel punto che divide l'asse in modo che la parte verso il vertice sia doppia della rimanente. Infatti, poiché si possono inscrivere e circoscrivere figure tali, che le linee comprese tra il loro centro di gravità e il punto suddetto siano minori di qualunque linea data, chi affermasse cosa diversa verrebbe condotto a questo assurdo: che, cioè, il centro del conoide non si trovi tra i centri della figura inscritta e di quella circoscritta.

Se vi sono tre linee proporzionali, e si prende un'altra linea qualsiasi, tale che la proporzione che essa ha rispetto ai due terzi dell'eccesso, per il quale la massima supera la media, sia eguale alla proporzione che la minima ha rispetto all'eccesso, per il quale la massima supera la minima; se inoltre si prende ancora un'altra linea tale, che la proporzione che essa ha rispetto all'eccesso, per il quale la massima supera la media, sia eguale alla proporzione che la linea, composta dalla massima e dal doppio della media, ha rispetto alla linea composta dal triplo della massima e della media; [la somma di] ambedue le linee prese insieme sarà [eguale al] la terza parte della massima tra le linee proporzionali.

Siano tre linee proporzionali ab, bc, bf: e quale è la proporzione che bf ha ad af, tale sia anche quella che ms ha rispetto ai due terzi della ca; inoltre, quale è la proporzione che la linea composta da ab e dal doppio di bc ha rispetto alla linea composta dal triplo di ambedue le ab e bc, tale sia anche la proporzione che un'altra linea, cioè sn, ha ad ac. Bisogna dimostrare che mn è la terza parte della ab. Pertanto, poiché ab, bc, bf sono proporzionali, anche ac e cf si troveranno nel medesimo rapporto: perciò, come ab sta a bc, così ac sta cf; e come il triplo di ab al triplo di bc, così ac a cf. Pertanto, quale è la proporzione che [la somma del] triplo di ab col triplo di bc ha rispetto al triplo di cb, tale sarà anche la proporzione che ac ha a una linea minore della cf. Sia essa co. Perciò, componendo e per conversione della proporzione [invertendo], oa avrà ad ac la medesima proporzione che [la somma del] triplo di ab col sestuplo di bc ha rispetto al [la somma del] triplo di ab col triplo di bc: ma ac ha ad sn la medesima proporzione che [la somma del] triplo di ab col triplo di bc ha rispetto al [la somma di] ab col doppio di bc: ex aequali, dunque, oa avrà ad ns la medesima proporzione che [la somma del] triplo di ab col sestuplo di bc ha rispetto al [la somma di] ab col doppio di bc. Ora, [la somma del] triplo di ab col sestuplo di bc è eguale a tre volte [la somma di] ab col doppio di bc: dunque, ao è tripla di sn.

Inoltre, poiché oc sta a ca come il triplo di cb sta alla somma del triplo di ab col triplo di cb; e poiché come ca sta a cf, così il triplo di ab al triplo di bc; dunque, ex aequali, in proporzione perturbata, si avrà che, come oc sta a cf, così il triplo di ab sta alla somma del triplo di ab col triplo di bc, e, per conversione della proporzione, come of sta ad fc, così il triplo di bc sta alla somma del triplo di ab col triplo di bc. Ma come cf sta ad fb, così ac sta a cb, e il triplo di ac al triplo di bc; ex aequali, dunque, in proporzione perturbata, si avrà che, come of sta ad fb, così il triplo di ac sta al triplo di ambedue le ab e bc insieme. Pertanto [componendo] l'intera ob starà alla bf come il sestuplo di ab sta al triplo di ambedue le ab e bc; e poiché fc e ca stanno tra di loro nella medesima proporzione che cb e ba, si avrà che, come fc sta a ca, così bc sta a ba, e, componendo, come fa sta ad ac, così [la somma di] ambedue le ba e bc sta a ba, e così il triplo sta al triplo: dunque, come fa sta ad ac, così la linea composta dal triplo di ba e dal triplo di bc sta al triplo di ab; perciò come fa sta ai due terzi della ac, così la linea composta dal triplo di ba e dal triplo di bc sta ai due terzi del triplo di ba, cioè al doppio di ba. Ma come fa sta ai due terzi della ac, così fb sta ad ms; dunque, come fb sta ad ms, così la linea composta dal triplo di ba e dal triplo di bc sta al doppio di ba. Ma come ob sta ad fb, così il sestuplo di ab stava al triplo di ambedue le ab e bc: dunque, ex aequali, ob avrà ad ms la medesima proporzione che il sestuplo di ab al doppio di ba; perciò ms sarà la terza parte della ob. Si è anche dimostrato che sn è la terza parte di ao: risulta dunque che mn è, similmente, la terza parte di ab. E ciò è quello che si doveva dimostrare.

Il centro di gravità di un qualsiasi frusto [tronco] staccato da un conoide parabolico si trova sulla linea retta che è l'asse del frusto; diviso tale asse in tre parti eguali, il centro di gravità si trova nella parte di mezzo e la divide in modo che la parte verso la base minore avrà rispetto alla parte verso la base maggiore, la medesima proporzione che la base maggiore ha rispetto alla base minore.

Dal conoide, il cui asse è rb, sia staccato il solido, il cui asse è be, e il piano secante [con cui è operata tale scissione] sia equidistante dalla base; si faccia inoltre una sezione per mezzo di un altro piano passante per l'asse perpendicolare alla base: tale sezione della parabola [sezione del conoide, la quale genera una parabola] sia urc; inoltre le intersezioni di quest'ultimo piano col piano secante e con la base siano [rispettivamente] le linee rette lm ed uc: rb sarà il diametro di proporzione, o sarà equidistante dal diametro; lm e uc saranno ordinatamente applicate ad esso. Si divida, pertanto, eb in tre parti eguali, tra le quali la parte media sia qy; ora quest'ultima sia divisa dal punto i in modo che, quale è la proporzione della base, il cui diametro è uc, alla base, il cui diametro è lm, cioè del quadrato di uc al quadrato di lm, tale sia anche la proporzione di qi a iy. Bisogna dimostrare che i è il centro di gravità del frusto lmc. Si ponga a parte la linea ns eguale alla br, e sx sia eguale ad er; inoltre si prenda sg terza proporzionale delle linee ns ed sx; infine, quale è la proporzione che ng ha a gs, tale sia anche quella che la linea bq ha rispetto a io. Non importa che il punto o si trovi sopra o sotto la lm. Poiché nella sezione urc le linee lm e uc sono ordinatamente applicate, si avrà che, come il quadrato di uc sta al quadrato di lm, così la linea br sta alla linea re: ma come il quadrato uc sta al quadrato lm, così qi sta a iy, e come br sta ad re, così ns ad sx; dunque, qi sta a iy come ns ad sx. Perciò, come qy sta a yi, così [la somma di] ambedue le ns ed sx starà ad sx, e come eb sta a yi, così la linea composta dal triplo di ns e dal triplo di sx starà ad sx: ma come eb sta a by, così la linea composta dal triplo di ambedue le ns ed sx insieme sta alla linea composta da ns ed sx: dunque, come eb sta a bi, così la linea composta dal triplo di ns e dal triplo di sx sta alla linea composta da ns e dal doppio di sx. Le tre linee ns, sx, gs sono dunque proporzionali; e quale è la proporzione che sg ha a gn, tale è anche la proporzione che la linea presa oi ha rispetto ai due terzi della eb, cioè della nx; inoltre, quale è la proporzione che la linea composta da ns e dal doppio di sx, ha rispetto alla linea composta dal triplo di ns e dal triplo di sx, tale è anche la proporzione che l'altra linea presa ib ha rispetto a be, cioè rispetto a nx. Pertanto, per le cose che si sono sopra dimostrate, queste linee, prese insieme, saranno la terza parte della ns, cioè della rb; rb è dunque tripla della bo: perciò o sarà il centro di gravità del conoide urc. Sia poi a il centro di gravità del conoide lrm; dunque, il centro di gravità del frusto ulmc si trova sulla linea ob, e precisamente in quel punto che la delimita in modo che, quale è la proporzione che il frusto ulmc ha rispetto alla porzione lrm, tale sia anche la proporzione che la linea ao ha rispetto alla linea compresa tra o e il punto suddetto. E poiché ro è due terzi della rb, ed ra i due terzi della re; la rimanente ao sarà i due terzi della rimanente eb. E poiché abbiamo che, come il frusto ulmc sta alla porzione lrm, così ng sta a gs; e che, come ng sta a gs, così i due terzi di eb stanno a oi; e poiché, d'altra parte, ai due terzi di eb è eguale la linea ao; si avrà allora che, come il frusto ulmc sta alla porzione lrm, così ao sta a oi. Risulta, dunque, che il centro di gravità del frusto ulmc è il punto i, e che esso divide l'asse in modo che la parte verso la base minore sta alla parte verso la base maggiore come [la somma del] doppio della base maggiore con la base minore sta al [la somma del] doppio della minore con la maggiore. Il che è ciò che ci eravamo proposti, spiegato più elegantemente.