Des définitions géométriques et des définitions empiriques

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DES

DÉFINITIONS

GÉOMÉTRIQUES

Introduction

DE LA DÉFINITION EN GÉNÉRAL.

Le matériel de nos jugements se compose de représentations individuelles et d'idées générales. On décrit les représentations ; on définit les idées.

Décrire , c'est déterminer la circonscription d'un individu ; définir, c'est déterminer la circonscription d'une idée. La description se fait par l'accident, et la définition par l'essence.

Qu'est-ce que l'accident? qu'est-ce que l'essence?

L'accident est chose variable ; c'est tantôt un rapport fortuit et passager. Tout individu occupe dans l'espace et le temps une place déterminée , mais non pas invariable ; de là naissent entre lui et les choses circonvoisines , antérieures et postérieures, des relations qui changent quand il se déplace. Cet ensemble de relations particulières est un accident, car l'individu y entre et en sort sans cesser d'être le même individu. C'est tantôt une modification accessoire qui n'altère pour ainsi dire que la surface de l'être qui la subit, sans entamer le fond ; c'est, d'une manière plus générale , tout ce qui arrive aux êtres par un concours fortuit de circonstances extérieures.

L'essence est , au contraire, chose invariable : c'est l'ensemble des caractères intimes qui persistent au milieu du changement des relations et des modifications accidentelles; c'est, par suite, ce que l'être possède en lui-même, ce qui ne peut cesser de lui appartenir sans qu'il cesse aussitôt d'exister.

Les noms communs sont, dans le langage, les signes des essences , et des combinaisons plus ou moins complexes de noms communs , de noms propres et d'adjectifs, les signes des accidents. Il en résulte qu'une chose doit toujours être désignée par le même nom , tant que les changements qu'elle subit n'en détruisent pas l'essence. On a voulu conclure de là que l'essence des choses n'était que la signification de leurs noms. « Suivant Porphyre , dit M. Stuart Mill , en altérant » une propriété qui n'est pas de l'essence de la chose, » on y établit simplement une différence ; on la fait » àwoiov ; mais en altérant une propriété qui est de » son essence, on la fait une autre chose, *\\o. — » Pour un logicien moderne, il est évident que le » changement qui rend la chose différente seulement , » et le changement qui en fait une chose autre ne se » distinguent qu'en ce que, dans le premier cas, la » chose , bien que changée , est encore appelée du » même nom. Ainsi, de la glace pilée dans un mortier, » mais toujours appelée glace , est àwoïov ; faites-la » fondre, elle devient &aào, une autre chose , de l'eau. » Mais la chose est , dans les deux cas, la même, c'est-

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» à-dire composée des mêmes particules de matière ; » et on ne peut pas changer une chose quelconque de » manière qu'elle cesse , en un sens, d'être ce qu'elle » était. La seule identité qu'on puisse lui ôter est » uniquement celle du nom. Quand la chose cesse » d'être appelée glace, elle devient une autre chose. » Son essence qui la constitue glace a disparu , tand dis que, tant qu'elle continue d'être appelée ainsi, » rien n'a disparu que quelques-uns de ses acci- » dents (1). »

Ce passage contient plusieurs confusions qu'il importe de dissiper. D'abord , l'exemple sur lequel on s'appuie est habilement choisi pour engendrer l'équivoque ; on abuse d'une richesse de la langue , qui a deux noms différents pour désigner deux choses qui ne diffèrent que par accident. L'eau, qu'elle soit solide ou liquide, est essentiellement une combinaison d'oxygène et d'hydrogène ; pour devenir autre chose, il faudrait qu'elle perdît quelqu'un de ses éléments constitutifs ou qu'elle en reçût de nouveaux ; la glace compacte et la glace liquéfiée ne diffèrent donc pas en essence ; l'eau, en passant de l'état solide à l'état liquide, est toujours de l'eau, de même qu'un Européen, s'il venait à changer de couleur, ne cesserait pas pour cela d'être homme. — En second lieu , la signification des mots , quelque part qu'y ait la convention , n'est pas absolument arbitraire. Un mot est à la fois un son et un signe ; comme son, il n'a aucun sens et n'est

(1) Système de logique, liv. I, ch. yi} Irad. Pcisse.

attaché à rien ; comme signe , il est uni à demeure à une chose ; sa signification est l'énoncé des propriétés invariables de la chose désignée ; aussi tout changement dans la chose n'entraîne-t-il pas un changement de nom. L'accident ne porte pas atteinte à l'essence; le nom de la chose demeure; mais si l'essence est détruite , le nom disparaît. Le langage suit la réalité, et la réalité ne suit pas le langage ; autrement il suffirait de faire varier le sens des mots pour changer les attributs des choses. Il faut donc retourner les propositions de M. Stuart Mill , et dire : une chose cesse d'être appelée du même nom quand elle devient autre chose ; elle continue d'être appelée du même nom quand rien n'a disparu d'elle, si ce n'est quelques-uns de ses accidents. Par conséquent, quand nous parlons d'essence, nous ne sommes pas dupes des conventions du langage.

Des caractères de l'accident et de l'essence dérivent les caractères des propositions accidentelles et des propositions essentielles.

Toute proposition accidentelle est particulière. L'accident est une relation et une modification fortuite et passagère ; que le sujet change de place, qu'il soit soustrait à l'action de la cause extérieure qui le modifie par hasard , et l'accident disparaît ; la proposition par laquelle on l'unit au sujet est donc vraie seulement d'un seul individu , dans un point de l'espace et dans un instant de la durée.

Toute proposition essentielle est, au contraire, universelle. L'essence est intérieure au sujet, et elle le

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constitue ; quelques déplacements que subisse le sujet, il la porte partout avec lui ; s'il pouvait en être un instant dépouillé , il cesserait d'exister. La proposition par laquelle on affirme du sujet un de ses attributs essentiels est donc vraie dans tout l'espace et dans tout le temps, ou, pour mieux dire, abstraction faite de l'espace et du temps.

La proposition accidentelle implique l'existence du sujet. Puisque l'accident dérive de relations particulières et dans l'espace et dans le temps , si l'on considère simplement un sujet possible, on ne saurait en affirmer aucun accident , puisqu'on ignore quelles en seront les relations dans l'espace et dans le temps.

La possibilité du sujet suffit au contraire à la proposition essentielle. Puisque l'essence , une fois dégagée des accidents qui l'environnaient chez les individus , sort de l'espace et du temps et devient l'attribut d'une proposition universelle , elle peut être affirmée non-seulement des sujets réels, mais encore d'une multitude indéfinie de sujets possibles.

C'est par une synthèse que nous lions l'attribut au sujet dans la proposition accidentelle. Si l'expérience ne m'avait révélé les relations du sujet donné avec les sujets circonvoisins , j'en ignorerais les accidents.

C'est par une analyse que nous détachons d'une idée générale l'attribut essentiel que nous en affirmons ensuite ; le sujet est un tout complexe, formé par une synthèse antérieure, et nous en faisons sortir les attributs que nous y avons enveloppés.

Il suit de là que la proposition accidentelle est contingente, et la proposition essentielle nécessaire. Un sujet étant donné, il n'implique pas contradiction qu'il n'ait pas telle ou telle relation 'particulière ; au contraire , il implique contradiction qu'il n'ait pas tel ou tel attribut essentiel, puisque l'ensemble de ces attributs est le sujet lui-même.

La somme des attributs accidentels d'un sujet est la description de ce sujet; la somme de ses attributs essentiels en est la définition.

On remarquera que la description implique la définition , de même que l'accident implique l'essence. On décrit les individus; mais l'individu réalise une certaine essence dans un point de l'espace et dans un instant de la durée ; la description est donc l'ensemble des particularités qui s'attachent à l'essence aussitôt que celle-ci s'individualise. Mais , si l'essence est en acte dans l'individu, la définition est seulement en puissance dans la description. La couche des accidents décrits a pour support l'essence ; mais, parla même, ils la dérobent à nos regards , et, pour l'apercevoir, il faut faire tomber cette enveloppe fortuite et variable. Par conséquent, aucun des attributs compris dans la description ne saurait entrer dans la définition.

L'ensemble des attributs essentiels d'un sujet en constitue la compréhension. La définition consiste donc à énoncer la compréhension d'une idée.

La logique pure ne s'inquiète pas de savoir comment sont formées les idées ; qu'elles soient le résultat d'une synthèse a priori ou d'une synthèse empirique, qu'elles soient faites d'un seul jet, pour ainsi dire, ou de pièces

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rapportées successivement les unes aux autres , peu importe ; elle ne voit en elles que des alliances permanentes d'éléments, exprimées chacune par un seul nom et réalisées dans un nombre indéfini d'individus.

Les deux caractères que la logique considère dans les idées générales sont l'extension et la compréhension.

L'extension d'une idée est égale à la somme des sujets individuels desquels cette idée peut être affirmée ; nous savons déjà que la compréhension de cette même idée est égale à la somme des attributs qui peuvent en être affirmés. Pour déterminer l'extension d'une idée , il faut additionner les sujets de toutes les^ropositions dont elle est l'attribut commun ; pour en déterminer la compréhension , il faut additionner les attributs de toutes les propositions essentielles dont elle est le sujet.

L'extension est indéfinie, puisque l'idée générale est vraie non-seulement d'êtres existants, mais encore d'êtres possibles, et que la possibilité n'a pas de limites. La compréhension, au contraire, est finie, puisqu'elle est un contenu , et que tout contenu est limité. Par conséquent , s'il faut renoncer à déterminer d'une manière précise et définitive l'extension d'une idée, on peut toujours en déterminer la compréhension ; il suffit pour cela de l'épuiser par l'analyse. Soit, par exemple, l'idée d'homme; je la décompose, et j'y trouve contenus les attributs suivants : être, animal, vertébré, mammifère, bimane. L'ensemble de ces attributs est la compréhension ou la définition de l'idée d'homme.

Il suit de là que l'attribut de la définition est égal en extension au sujet, et qu'une telle proposition peut être convertie , sans qu'il soit besoin d'apporter quelque restriction à l'attribut. Si l'homme est l'être animal , vertébré, mammifère et bimane, tout être animal, vertébré , mammifère et bimane est homme.

De là résultent encore les deux règles fondamentales de la définition :

1° La définition doit convenir à tout le défini ;

2° La définition doit convenir au seul défini.

Il est aisé de voir que la seconde règle est une conséquence de la première. Plusieurs individus peuvent avoir même essence sans se confondre , car ils se distingueront toujours par leurs relations particulières, parleur situation dans l'espace et dans le temps, et par l'effort individuel que fait chacun d'eux pour réaliser l'essence commune à tous. Mais deux idées générales ne sauraient avoir même compréhension sans se fondre immédiatement en une seule. Comment la pensée les distinguerait- elle l'une de l'autre, puisqu'elles sont dépourvues d'accidents ? Il n'existe donc pas dans l'entendement humain deux idées générales de même compréhension. Dès lors, si j'ai fait sortir de l'idée à définir tous les attributs qu'elle contient, leur somme lui appartient en propre et ne convient qu'à elle.

Distinctes les unes des autres , les différentes idées ne sont pourtant pas absolument isolées ; nous n'en voyons pas le lien tant que nous ne les avons pas définies ; mais , quand l'analyse en a fait sortir tous les attributs , nous constatons que tous ces attributs ,

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moins un, ont une extension qui déborde de plus en plus les limites de l'idée définie. L'idée d'homme se résout dans les attributs bimane, mammifère, vertébré, animal et être. Homme et bimane ont même extension; mais mammifère a une plus grande extension que bimane ; vertébré , une plus grande extension que mammifère ; animal , une plus grande extension que vertébré , et enfin être , une plus grande extension qu'animal. Ainsi, dans une idée, l'un des attributs est un principe de distinction , tandis que les autres sont les principes d'une communauté de plus en plus vaste.

Maintenant, si nous voulons comprendre la nature de la définition , il nous faut rechercher comment un attribut peut se restreindre de façon à entrer clans une idée d'extension moindre que lui.

Etre est l'attribut le plus général de tous ceux qui sont contenus dans l'idée d'homme , mais c'est aussi le moins déterminé ; en y accouplant les trois attributs moins généraux animal, végétal et minéral, j'y trace trois circonscriptions qui s'en partagent l'étendue entière ; de même, en accouplant à l'idée d'animal les attributs moins généraux de vertébré , de mollusque , d'articulé et de rayonné , j'en divise l'étendue totale en quatre portions ; de même, en liant à l'idée de vertébré les attributs moins généraux de mammifère , d'oiseau, de batracien, de reptile et de poisson , dans la circonscription mammifère , je détermine cinq circonscriptions de moindre étendue ; enfin, dans la circonscription mammifère, je découpe une portion exactement égale à l'extension de l'idée d'homme , en joignant l'attribut bimane à l'attribut mammifère. Il y a donc des provinces dans le royaume universel, des départements dans ces provinces , des circonscriptions dans ces départements , et l'habitant de la circonscription est aussi habitant du département, de la province et du royaume.

Ces restrictions graduelles de l'extension , qui parviennent à faire tenir l'attribut le plus général dans le sujet le moins étendu, ne sont pas, comme on pourrait le croire, l'œuvre d'une addition arithmétique des attributs , mais le résultat d'un enveloppement progressif qui rassemble et condense dans le sujet des attributs plus étendus que lui ; et si nous développons le tout ainsi formé, nous en verrons sortir les divers éléments dans l'ordre de la généralité croissante. Ainsi, de bimane sort l'attribut mammifère ; de mammifère, l'attribut vertébré ; de vertébré, l'attribut animal; d'animal, l'attribut être.

Puisque les éléments des idées sont inclus les uns dans les autres, et que les moins généraux supposent les plus généraux, on peut simplifier la formule de la définition sans l'altérer. J'ai défini l'homme un être , animal , vertébré , mammifère et bimane. Si mammifère implique vertébré, animal et être, je puis réduire ma définition à ces termes plus simples : l'homme est un mammifère bimane. C'est ce que les logiciens expriment en disant que la définition se fait per genus et differentiam.

En logique, les genres sont des idées générales « tellement communes } qu'elles s'étendent à d'autres idées

DE LA DÉFINITION ËN GÉNÉRAL. 17

qui sont encore universelles. » Les espèces sont « ces idées communes qui sont sous une plus commune et plus générale (4). » Ainsi l'idée de mammifère est un genre , puisqu'elle s'étend aux idées moins générales , mais encore universelles de bimane, quadrumane, etc. Au contraire , bimane et quadrumane sont des espèces du genre mammifère , puisque , tout en étant universelles , elles sont comprises sous l'idée plus générale de mammifère; la différence, c'est l'attribut qui s'unit à l'attribut générique pour constituer l'espèce.

Une espèce est donc constituée par deux attributs : l'un qui lui est commun avec plusieurs autres espèces , l'autre qui lui est propre et la distingue des autres espèces du même genre. La définition est donc complète, qui énonce le caractère spécifique et le caractère générique du défini , c'est-à-dire qui se fait per genus et differentiam. Si l'on ne se proposait, en définissant une idée., que de la distinguer de toutes les autres , il suffirait d'en indiquer la différence spécifique ; mais définir, ce n'est pas seulement attacher à chaque idée une marque distinctive, c'est, comme nous l'avons vu, en tracer les limites. Le genre doit donc entrer dans la définition , puisqu'il est en quelque sorte l'étoffe commune sur laquelle sont décrites les circonscriptions des différentes espèces.

On doit conclure de là que toutes les idées ne peuvent être définies. La définition s'arrête en haut devant le genre suprême , qui couvre de son universelle éten-

(1) Logique de Port-Royal, lre part., ch. VII.

due toutes les classes de moindre extension ; l'être n'a qu'un attribut, l'existence. En bas , les individus ne sauraient être définis, car ils n'ont pas entre eux de différences spécifiques, et ils ne se distinguent que par des accidents fortuits et éphémères. La définition se meut entre ces deux extrêmes.

Telle est, en peu de mots , la théorie logique de la définition. Rien n'est plus simple. Mais la logique formelle suppose résolues plusieurs questions de la plus haute importance. D'où nous viennent les éléments de nos idées? comment se combinent-ils pour former ces systèmes que nous décomposons ensuite ? quel lien les enchaîne ? ce lien est - il accidentel ou nécessaire? sommes -nous autorisés à croire à la permanence des totalités dont il unit les parties ?

Tant que ces questions n'ont pas reçu de réponse , la définition est un pur jeu de l'esprit. On en connaît peut-être le mécanisme , mais on en ignore à coup sûr la nature , la valeur et le rôle.

C'est cette nature , cette valeur et ce rôle que nous voudrions déterminer dans les deux sciences où les définitions passent pour occuper une place importante, c'est-à-dire dans la géométrie et dans les sciences naturelles.

Chapitre I. Origine Des Notions Géométriques

Examen de la théorie empirique : les notions géométriques ne sont le résultat ni de l'expérience brute, ni de l'abstraction, ni de la généralisation. — Examen de la théorie idéaliste : les notions géométriques ne sont pas l'œuvre de la pensée pure; elles supposent une matière, l'espace. — La géométrie à n dimensions. — L'hyperespace. — Interprétation de la géométrie non euclidienne.

Géométrie veut dire mesure de la terre ; l'étymologie du mot, à défaut de témoignages historiques précis, nous apprend que la science de l'étendue fut d'abord un art empirique. Que cet art soit né , comme le raconte Hérodote , du besoin qu'éprouvèrent les Égyptiens de retrouver les limites de leurs champs effacées par les inondations du Nil , ou qu'il y ait, plus vraisemblablement, comme le pense Montûcla, « une » certaine géométrie que la nature accorde à tous les » hommes, et dont l'origine est aussi ancienne que » celle des arts (1), » il est permis de croire que les premiers arpenteurs considérèrent seulement les formes naturelles. Mais , selon la judicieuse remarque de Kant (2), une révolution profonde ne tarda pas à s'opé-

(1) Histoire des mathématiques, liv. I.

(2) Critique de la raiSvn pure, préface de la seconde édition, rer dans la géométrie , qui la fit passer de l'état d'art à l'état de science. Les plus anciens des travaux géométriques qui nous soient parvenus sont postérieurs à cette révolution, car ils portent l'empreinte d'une spéculation déjà fort avancée, et ils témoignent de l'emploi de procédés supérieurs à ceux de l'empirisme naissant. Il n'est personne aujourd'hui qui méconnaisse l'existence de cette révolution féconde dont l'histoire ne nous fait pas connaître l'auteur; mais on discute encore pour savoir quel en fut le caractère essentiel. De là différentes théories sur l'origine des notions géométriques.

Suivant une école fort nombreuse de philosophes et de géomètres, ces notions dérivent de l'expérience et de l'abstraction travaillant sur une matière expérimentale. L'esprit ne saurait créer de toutes pièces , avec ses seules ressources , ni les données fondamentales de la géométrie, telles que les idées d'étendue, de forme en général et de situation , ni les formes particulières. L'existence de l'étendue et des trois dimensions de l'espace est un fait que je n'aurais jamais imaginé si j'étais réduit à la pure conscience de moimême. L'existence de la ligne droite , du triangle, du cercle, sont encore des faits de même nature qu'un être dépourvu de sens ne connaîtra jamais. Il y a dans toute figure des éléments dont on ne saurait trouver l'origine que dans l'expérience, à savoir le continu , la limite et la forme de ce continu , l'extériorité de la figure par rapport à la pensée, l'extériorité des diverses parties de la figure par rapport les unes aux autres. Toute forme, en un mot, est la forme de quelque chose, et la forme nous est donnée avec l'objet qui en est revêtu. Mais uu objet naturel est un tissu de propriétés diverses que jamais nous ne considérons ensemble. L'œuvre intellectuelle consiste à séparer les unes des autres ces propriétés de différente nature, qui deviennent alors les objets de sciences différentes. C'est ainsi que le géomètre considère la forme des corps , sans tenir aucun compte des autres propriétés sensibles en compagnie desquelles elle nous est primitivement révélée. C'est cette abstraction qui constitue scientifiquement la géométrie, en rendant la démonstration possible : « Deux grandeurs géométriques, de » quelque espèce qu'elles soient , sont dites égales » lorsqu'on peut transporter l'une des deux en ne » changeant rien en elle , de manière qu'elle coïncide » complètement avec l'autre. Cette translation offrirait » des difficultés et même des impossibilités dans le » cas des corps solides, si l'on n'avait pas fait abstrac- » tion de leurs propriétés matérielles , et particulière- » ment de leur impénétrabilité (1). »

Un nouveau progrès de l'abstraction consiste à isoler les unes des autres les propriétés géométriques elles-mêmes. A parler rigoureusement, il n'y a pas de surface sans épaisseur, de ligne sans largeur, de point sans longueur ; mais, dans l'étude des formes géométriques , le savant considère la surface , la ligne et le point sans tenir compte de l'épaisseur, de la largeur

(1) Duhamel, Des Méthodes dans les sciences de raisonnement , 2e partie.

et de la longueur dont la surface , la ligne et le point ne sauraient être dépouillés en réalité. De même encore , dans une forme déterminée , il considère telle ou telle propriété en négligeant les propriétés collatérales. La géométrie est donc la science des formes matérielles, vidées par l'abstraction de la matière qu'elles contiennent réellement.

Faut -il accepter cette théorie ? — Remarquons d'abord que l'abstraction proprement dite se borne à isoler les unes des autres les qualités que l'expérience nous montre réunies dans un même objet, et qu'elle ne saurait les modifier en aucune façon. Un corps est devant moi ; je puis en éliminer par la pensée toutes les propriétés physiques et chimiques , et n'en conserver que le moule ; mais le moule vide a la même forme que le moule plein. Qu'elle soit plongée dans « l'onde colorée de la perception, » ou dégagée des qualités sensibles qui l'accompagnent , une ligure est toujours identique à elle-même. Or chacun sait que les corps naturels sont loin de se plier aux formes pures et inflexibles de la géométrie ; dans la nature extérieure, aucune ligne n'est absolument droite, aucun cercle n'a des rayons absolument égaux, aucun triangle rectiligne n'a trois angles rigoureusement équivalents à deux angles droits ; la ligne droite des géomètres s'étend, au contraire, avec une rigidité parfaite d'un point à un autre; les rayons de leur cercle sont rigoureusement égaux , et les trois angles de leurs triangles plans sont absolument équivalents à deux angles droits. Dira-t-on que l'abstraction , détachant la forme des propriétés physiques et chimiques , en a rectifié les contours ? c'est alors supposer l'existence de modèles idéaux auxquels nous rapportons les formes réelles, pour en corriger les imperfections. Mais s'il en est ainsi , la notion du triangle, du cercle parfaits est antérieure à la perception des triangles et des cercles réels , et à quoi sert alors cette purification des formes matérielles , puisque les formes corrigées font double emploi avec les formes correctes ?

En second lieu, l'abstraction ne crée rien. Les propriétés abstraites ne sont pas réelles , en ce sens que le monde n'est pas un chaos de qualités solitaires, flottant comme dans le vide ; mais elles sont réelles , en cet autre sens qu'avant d'être isolées les unes des autres, elles faisaient partie de touts naturels ; par conséquent, l'abstraction ne fournit qu'autant que fournit l'expérience. Or, d'une part, le nombre des formes géométriques réalisées par les corps est très-restreint , et, d'autre part, le nombre des figures géométriques possibles est indéfini. S'il est probable que les spéculations des premiers géomètres ne portèrent que sur les formes des corps , il est hors de doute que l'esprit humain était en possession d'un autre procédé que l'abstraction , lorsqu'il comprit que la liste des figures géométriques , courbes , surfaces , solides , n'était jamais close (1). Si donc l'abstraction est la source

(1) Quand Platon, Dinostrate, Nicomède, Dioclès inventèrent les sections coniques , la quadratrice , la conchoïde et la cissoïde, sans unique des notions géométriques, pour découvrir une forme nouvelle il me faut attendre une révélation de l'expérience. Mais je sens en moi un pouvoir créateur sans limites, dont les œuvres devancent et dépassent les résultats de l'observation. Les sens ne m'ont pas encore montré un polygone régulier de dix mille côtés, et pourtant je ne laisse pas de concevoir cette figure avec une clarté parfaite. Il faut donc ou bien restreindre la géométrie à l'étude des seules formes réelles, ce que les géomètres ne souffriront pas, ou bien reconnaître aux notions géométriques une autre origine que l'expérience. On sait, en outre, que la quantité géométrique est infiniment variable , qu'une ligne donnée , par exemple , peut être accrue au-delà de toute limite assignable. Les objets de l'expérience, quelque grands qu'on les suppose, sont toujours finis; et l'on ne soutiendra pas que l'abstraction, en dégageant les formes de la combinaison de propriétés sensibles dont elles étaient un élément, puisse les étendre tout à coup au-delà des limites de la plus vaste expérience. Le nombre infini des figures possibles et des accroissements de la grandeur finie est donc un signe manifeste de l'insuffisance des théories qui veulent faire dériver les notions géométriques de l'expérience et de l'abstraction.

On demande enfin ce que devient , avec une pareille théorie, la certitude de la démonstration. Nous rechersoupçonner peut-être la fécondité inépuisable du procédé générateur des figures géométriques, ils le possédaient cependant, et ne se bornaient pas à abstraire les formes réelles.

cherons plus tard quels sont les principes du raisonnement géométrique ; mais, sans qu'il soit besoin d'entrer ici dans une discussion prématurée , nul n'ignore que philosophes et géomètres sont unanimes pour accorder un rôle à la définition dans la démonstration. Si les notions, objets des définitions, sont des résultats de l'expérience , les propositions démontrées n'auront qu'une valeur empirique. Je puis, en mesurant un triangle, reconnaître que la somme de ses trois angles est égale à deux angles droits ; mais qui m'assure que tous les triangles sont dans ce cas ? qui me garantit la similitude parfaite de toutes les figures de ce genre ? Est-ce l'expérience ? mais les triangles réels sont loin d'être de forme absolument semblable. Est-ce l'abstraction? mais, l'abstraction étant impuissante à modifier les propriétés qu'elle isole , les formes abstraites présenteront les mêmes différences que les formes réelles ; par conséquent, les propriétés constatées dans une figure auront toujours un caractère particulier.

Une modification , en apparence importante , a été faite par M. Stuart Mill à la théorie que nous venons d'examiner. Après avoir déclaré que « nous pensons » toujours aux objets tels que nous les avons vus et » touchés, et avec toutes les propriétés qui leur appar- » tiennent naturellement, » mais que, « pour la con- » venance scientifique, nous les feignons dépouillés de » toute propriété , excepté celles qui sont essentielles à » notre recherche et en vue desquelles nous voulons » les considérer, » le logicien anglais ajoute que les définitions géométriques doivent être considérées c26 DES DÉFINITIONS GÉOMÉTRIQUES.

» comme nos premières et nos plus évidentes généra- » lisations relatives aux lignes et à toutes les figures » telles qu'elles existent (1). » Pour expliquer l'origine des notions géométriques, M. StuartMill, outre l'abstraction, fait donc intervenir la généralisation. On pensera peut-être que la chose n'est pas nécessaire, puisque ces deux procédés sont si intimement unis qu'ils s'accompagnent presque toujours, et que la propriété abstraite devient générale aussitôt qu'elle a été dégagée du groupe de qualités dont elle faisait partie. Pourtant l'abstraction peut aller sans la généralisation, car la propriété abstraite n'est qu'une propriété particulière, détachée d'une combinaison individuelle ; et pour que l'esprit en fasse un attribut commun à toute une classe d'objets, il faut qu'entre eux il ait saisi quelque ressemblance. Puis donc que généraliser est un acte de l'esprit postérieur à abstraire , nous sommes autorisés à voir dans les paroles de M. Stuart Mill rapportées plus haut une théorie distincte de la théorie exposée au début de ce chapitre.

Une distinction est d'abord nécessaire : on généralise des rapports observés entre des faits; on généralise des caractères et des idées. Je vois qu'à une même température les volumes d'une masse donnée de gaz sont en raison inverse des variations de la pression supportée par ce gaz. Généralisant ce rapport de succession, je dis : toutes les fois que la pression supportée par une masse donnée de gaz variera, le

(1) Système de logique, liv. II, ch. v.

volume occupé par ce gaz variera dans un rapport inverse; delà succession empirique, je passe ainsi à la succession rationnelle ; je m'élève du fait à la loi. Les définitions, qui , d'après M. Stuart Mill , sont les premières généralisations de l'expérience, ne sauraient être des généralisations de cette espèce ; elles n'énoncent pas en effet des relations découvertes entre deux ou plusieurs faits. Dans la définition , le sujet est identique à l'attribut ; le premier est l'expression abrégée du second, et le second, la formule analytique du premier. Mais on généralise aussi des idées. Un homme est devant moi : c'est un groupe individuel de propriétés ; je les détache l'une de l'autre par abstraction. La combinaison de ces propriétés ne pouvait être affirmée que du sujet soumis à mon examen ; mais chacune de ces propriétés constitutives , une fois sortie de la combinaison individuelle , peut être affirmée d'un nombre indéfini de sujets semblables ; de particulière , l'idée est devenue générale. Or, la forme étendue est une de ces propriétés données primitivement dans l'intuition totale ; une fois abstraite et généralisée , on peut l'affirmer non-seulement de l'être individuel duquel on l'a extraite, mais d'un nombre illimité d'êtres semblables, quels que soient le lieu et le temps où ils apparaîtront. Voilà comment les notions de triangle , de cercle ou de toute autre forme, particulières à l'origine , deviennent les éléments des propositions générales de la géométrie.