Gare e giochi Matematici: Studenti all’opera

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Piano Lauree Scientifiche Piemonte 2013, in collaborazione con il Dipartimento di Matematica dell’Università di Torino Enrico BiBBona, Paolo Boggiatto, Evanthia caryPis, Marina DE siMonE, Monica PanEro GARE E GIOCHI MATEMATICI: STUDENTI ALL’OPERA A cura di: Ornella Robutti Ledizioni

© 2014 LedizioniLediPublishing Via Alamanni, 11 - 20141 Milano - Italy www.ledizioni.it info@ledizioni.it Enrico Bibbona, Paolo Boggiatto, Evanthia Carypis, Marina De Simone, Monica Panero A cura di: Ornella Robutti, Ledizioni 2014 ISBN Immagine in copertina: Informazioni sul catalogo e sulle ristampe dell’editore: www.ledizioni.it

PRESENTAZIONE. IL PIANO NAZIONALE LAUREE SCIENTIFICHE IN PIEMONTE PRESENTAZIONE il Piano nazionalE laurEE sciEntifichE in PiEMontE Ornella Robutti, Dipartimento Matematica Università di Torino Responsabile PLS Piemonte Il Piano nazionale Lauree Scientifiche Il “Progetto Lauree Scientifiche” (PLS) nasce nel 2004 dalla collaborazione del Ministero dell’Università e dell’Istruzione, della Conferenza Nazionale dei Presidi di Scienze e Tecnologie (Con. Scienze) e di Confindustria, con l’obiettivo iniziale di incrementare le iscrizioni ai corsi di laurea in Chimica, Fisica, Matematica e Scienze dei Materiali.

Capitolo 1. Le Attività Proposte: “l’isola DI Baal”

Schede per gli studenti Scheda Introduttiva/Descrittiva (10/15 minuti): questa prima scheda narra la storia su cui si basa la caccia il tesoro. Essa costituisce un espediente per incuriosire i ragazzi, che vengono così calati in un contesto di fantasia nel quale le loro risposte trovano un significato. L’ISOLA DI BAAL Ho letto in qualche libro di filosofia che «Il vero filosofo è la bambina di nove anni che stava guardando fuori dalla finestra e im - provvisamente si rivolse alla madre e disse: “Mamma, c’è soltanto una cosa che non riesco a capire: perché mai esiste qualcosa?”».

Questo problema ha lasciato perplesso più di un filosofo: alcuni l’hanno considerato il pro - blema fondamentale della filosofia. Lo si è posto in questa forma: «Perché c’è qualche cosa invece di niente?».

Quando vi soffermate a pensarci, vi rendete conto che è veramente una domanda impor - tante. In effetti, perché c’è qualcosa invece di niente? Ebbene, c’era una volta un filosofo che decise di fare della risoluzione di questo problema il principale scopo della sua vita. Prima lesse tutti i libri di filosofia, ma nessuno di essi poté fornirgli la vera spiegazione del perché c’è qualcosa invece di niente. Si rivolse allora alla teologia. Chiese a tutti i sacer - doti, rabbini, preti, vescovi, ed altre autorità religiose, ma nessuno di essi poté spiegargli in modo soddisfacente perché c’è qualcosa invece di niente. Infine si rivolse alla filosofia orientale: viaggiò per dodici anni in India e nel Tibet, interrogando molti guru, ma nessuno di essi conosceva la risposta. Quindi passò altri dodici anni in Cina e Giappone, interro - gando vari eremiti Taoisti e maestri di Zen. Alla fine incontrò un saggio sul letto di morte che gli disse: «No, figlio mio, io stesso non so perché c’è qualcosa invece di niente. L’unico luogo di questo pianeta in cui si conosca la risposta a questa domanda è l’isola di Baal. Uno dei grandi saggi del tempio di Baal conosce la vera risposta».

«E dov’è l’isola di Baal?», chiese il filosofo con ansia.

«Ah!», fu la risposta, «Io non so neanche questo. In verità io non ho mai conosciuto qualcu - no che abbia veramente trovato la strada per l’isola di Baal. Tutto ciò che so è la posizione di un certo arcipelago, non segnato sulle carte, e in un’isola di questo arcipelago si trova la carta e una serie completa di istruzioni per raggiungere l’isola di Baal. Io non so su quale isola dell’arcipelago si possa trovare la carta; tutto quel che so è che essa è in una di queste isole e che il nome dell’isola è ‘Maya’. Però, tutte queste isole sono abitate esclusivamente da cavalieri che dicono sempre la verità e da furfanti che mentono sempre. Quindi è necessario essere molto furbi!».

Questa fu la notizia più promettente che il filosofo avesse udito in ventiquattro anni! Ebbene, egli non ebbe difficoltà a trovare la strada per l’arcipelago, ed esplorò sistematicamente un’isola dopo l’altra, sperando di scoprire quale fosse l’isola di Maya.

Prima Scheda (20/25 minuti) PRIMA FASE La prima isola.

Sulla prima isola che esplorò, incontrò due indigeni A e B che fecero le seguenti affermazioni: A: B è un cavaliere e questa è l’isola di Maya.

B: A è un furfante e questa è l’isola di Maya.

È questa l’isola di Maya?

La seconda isola.

Su quest’isola, due nativi A e B fecero le seguenti affermazioni: A: Noi siamo entrambi furfanti e questa è l’isola di Maya.

B: È vero.

È questa l’isola di Maya?

La terza isola.

Su quest’isola A e B dissero: A: Almeno uno di noi è un furfante e questa è l’isola di Maya. B: è vero.

È questa l’isola di Maya?

La quarta isola.

Su quest’isola, due nativi A e B dissero: A: Noi siamo entrambi furfanti, e questa è l’isola di Maya.

B: Almeno uno di noi è un furfante, e questa non è l’isola di Maya. È questa l’isola di Maya?

La quinta isola.

Qui, due dei nativi A e B dissero: A: Noi siamo entrambi furfanti e questa è l’isola di Maya.

B: Almeno uno di noi due è un cavaliere, e questa non è l’isola di Maya. È questa l’isola di Maya?

La sesta isola.

Su quest’isola due nativi, A e B, fecero le seguenti affermazioni: A: O B è un cavaliere o questa è l’isola di Maya.

B: O A è un furfante o questa è l’isola di Maya.

È questa l’isola di Maya?

Utilizzando le informazioni fornite per ciascuna isola, i ragazzi devono individuare quale tra le sei è l’isola di Maya. La via più naturale risulta quella di procedere per esclusione. Basandosi sulle affermazioni di A e di B, le squadre cercano il caso in cui non vi è contraddizione tra i due nativi. Fin da questa prima fase, i ragazzi si trovano ad affrontare problemi logici, nei quali è richiesta una padronanza dei connettivi propri della lingua italiana, “o” / “e”, delle negazioni con l’uso del “non” e delle locuzioni “o…o…” / “se…allora…”.

CAPITOLO 1. LE ATTIVITÀ PROPOSTE: “L’ISOLA DI BAAL”

Seconda Scheda (10/15 minuti) SECONDA FASE La carta per Baal Il nostro filosofo trovò l’isola di Maya. Tuttavia, il compito di trovare la carta e le istruzioni per Baal non era così facile come aveva previsto. Dovette vedere il Grande Saggio di Maya che gli consegnò una carta. Il Grande Saggio gli disse che per poter conoscere il percorso per arrivare all’isola di Baal avrebbe dovuto fornirgli come risposta un numero. Ecco le istruzioni per poter trovare il numero richiesto.

La croce centrale rappresenta il centro di simmetria O. Tracciando i segmenti simmetrici ri - spetto ad O, si ottiene un percorso che tocca tutti e 9 i vertici dei quadrati che compongono la figura. Il primo vertice è segnato da una freccia. Seguendo il percorso costruito, numera da 1 a 9 tutti i vertici raggiunti.

Osserva ora come hai disposto i numeri da 1 a 9. Noti una qualche relazione? Quale numero è coinvolto in questa relazione?

Una volta individuata l’isola di Maya, per superare la seconda fase è necessario fornire un nu - mero. Questa prova è l’unica che si pone in un contesto di tipo geometrico e non prettamente logico. Nello specifico, per costruire la figura e porre correttamente le cifre da 1 a 9 sui vertici dei quadrati, sono richieste conoscenze geometriche di base, quali le simmetrie centrali; per capire la relazione tra i numeri inseriti, si torna ad un ragionamento di tipo logico-intuitivo.

Terza Scheda (15/20 minuti) TERZA FASE L’isola di Baal Fra tutte le isole di cavalieri e furfanti, l’isola di Baal è certamente la più misteriosa e interessante. Quest’isola è abitata esclusivamente da esseri umani e da scimmie. Le scimmie sono alte come gli esseri umani e parlano altrettanto fluentemente. Ogni scimmia, come ogni umano, è un cavaliere o un furfante.

Proprio nel centro dell’isola vi è il tempio di Baal, uno dei templi più straordinari dell’intero universo. I grandi saggi sono metafisici, e nel Tempio Interno si può trovare un saggio che, si dice, conosca la risposta al mistero ultimo dell’universo: perché c’è qualcosa invece del nulla. Coloro che aspirano alla conoscenza sacra devono riuscire a visitare il Tempio Interno, attorno al quale si trovano un Tempio Medio, protetto a sua volta da un Tempio Esterno. Per accedervi, è necessario superare le guardie incappucciate, che custodiscono l’ingresso di ciascun tempio. Ogni incappucciato può essere un umano o una scimmia, e anche un cavaliere o un furfante. A coloro che desiderano entrare, la guardia pronuncia una frase, dalla quale si deve dedurre esattamente di chi si tratta: se un cavaliere o un furfante, e se un umano o una scimmia. Il nostro filosofo, ovviamente, decise di tentare le tre prove. Alla porta del Tempio Esterno L’incappucciato disse: «Io sono un furfante o una scimmia».

Che cos’era esattamente?

Alla porta del Tempio Medio L’incappucciato disse: «Sono un furfante e una scimmia».

Che cos’era esattamente?

Alla porta del Tempio Interno L’incappucciato disse: «Non sono scimmia e cavaliere insieme». Che cos’era esattamente?

Con la terza prova, si torna a problemi per la cui risoluzione sono richiesti ragionamenti logici. Rispetto alla prima scheda si inserisce ora un elemento di difficoltà: dalle informazioni dei personaggi non solo occorre individuare i furfanti e i cavalieri (e dunque capire chi dice la verità), ma anche stabilire se questi ultimi sono umani o scimmie.

CAPITOLO 1. LE ATTIVITÀ PROPOSTE: “L’ISOLA DI BAAL”

Quarta scheda (10 minuti) PROVA FINALE Il filosofo superò queste tre prove, così gli fu concesso di entrare nel Tempio Interno. In questa stanza c’erano i due maggiori saggi dell’universo, seduti su due troni di diamante! È possibile che almeno uno di essi sapesse la risposta alla Grande Domanda «Perché vi è qualcosa invece del nulla? ».

Naturalmente, ognuno dei due saggi era o un cavaliere o un furfante (se fossero umani o scimmie non è rilevante). Così non si sapeva di ognuno se fosse un cavaliere o un furfante, o se conoscesse la risposta alla Grande Domanda. I due saggi fecero le seguenti affermazioni: Primo Saggio: Io sono un furfante, e non so perché ci sia qualcosa invece del nulla. Secondo Saggio: Io sono un cavaliere, e non so perché ci sia qualcosa invece del nulla. Sapeva veramente uno dei saggi perché vi è qualcosa invece del nulla? In questa fase si procede, come nella prima scheda, per contraddizione, al fine di individuare chi dei due personaggi dice la verità. Tuttavia, l’obiettivo è quello di rispondere alla domanda “Sapeva veramente uno dei due saggi perché vi è qualcosa invece del nulla? ”, in quanto questo permette di accedere alla prova finale. Quello che ora pare essere un dato insignificante, ovvero attribuire al primo e al secondo saggio la natura di cavaliere o furfante, risulterà informazione cruciale nella fase finale del gioco.

Ultima scheda (10 minuti) LA RISPOSTA!

Ora, insieme al filosofo, voi state per scoprire la vera risposta alla Grande Domanda «Perché c’è qualcosa invece del nulla?».

Ebbene, uno dei due saggi, che conosceva effettivamente la risposta alla Grande Domanda, quando il filosofo gli chiese: «Perché c’è qualcosa invece del nulla?», diede la seguente risposta: «C’è qualcosa invece del nulla».

Quale drastica conclusione segue da tutto ciò?

Il ragionamento utilizzato è ancora di tipo logico, anche se effettivamente tutto ciò che risulta cruciale ai fini della risoluzione è la risposta individuata durante la fase precedente. Infatti, in base alla natura del saggio, si può dedurre la conclusione della storia. Soluzioni dei problemi della caccia al tesoro e schede per gli insegnanti Prima scheda Ricordando che i cavalieri dicono sempre la verità e i furfanti mentono sempre, ecco come si può procedere alla risoluzione dei vari quesiti proposti.

La prima isola.

Sulla prima isola che esplorò, incontrò due indigeni A e B che fecero le seguenti affermazioni: A: B è un cavaliere e questa è l’isola di Maya.

B: A è un furfante e questa è l’isola di Maya.

È questa l’isola di Maya?

Supponiamo che A sia un cavaliere, allora B è un cavaliere e questa è l’isola di Maya. Quindi la prima parte dell’affermazione di B (“A è un furfante”) deve essere vera, ma ciò contraddice l’ipotesi iniziale. Pertanto A deve essere un furfante.

Se A è un furfante, allora è falso che “B è un cavaliere e questa è l’isola di Maya”. Ciò equivale a negare o la prima o la seconda parte dell’affermazione.

- Neghiamo la prima parte e supponiamo vera la seconda: B è un furfante e questa è l’isola di Maya. Dato che la prima parte dell’affermazione di B è vera (“A è un furfante”), essendo egli un furfante, deve mentire sulla seconda (“questa è l’isola di Maya”). Ma ciò porta ad una contraddizione perché questa è (per A) e non è (per B) l’isola di Maya. Dunque, l’unica possibilità è che questa non sia l’isola di Maya.

- Neghiamo la seconda parte e supponiamo vera la prima: B è un cavaliere e questa non è l’isola di Maya. Siccome B dice la verità, la seconda parte della sua affermazione contraddice

CAPITOLO 1. LE ATTIVITÀ PROPOSTE: “L’ISOLA DI BAAL” l’ipotesi che questa non sia l’isola di Maya. Pertanto, ritroviamo una contraddizione analoga alla precedente, perché questa è (per B) e non è (per A) l’isola di Maya. Anche in questo caso, si deduce che questa non è l’isola di Maya.

La seconda isola.

Su quest’isola, due nativi A e B fecero le seguenti affermazioni: A: Noi siamo entrambi furfanti e questa è l’isola di Maya.

B: È vero.

È questa l’isola di Maya?

A non può essere un cavaliere perché, dicendo sempre la verità, non affermerebbe di essere un furfante.

Allora A è un furfante ed è falso che “Noi siamo entrambi furfanti e questa è l’isola di Maya”. - Neghiamo la prima parte dell’affermazione e supponiamo vera la seconda: uno tra A e B è cavaliere e questa è l’isola di Maya. Dato che A è un furfante, allora B è un cavaliere. Ma questo non è possibile in quanto B cavaliere concorderebbe con l’affermazione di A (“noi siamo entrambi furfanti”), dicendo di sé di essere un furfante. Ciò porta ad una contraddi - zione, quindi l’unica possibilità è che questa non sia l’isola di Maya. - Neghiamo la seconda parte e supponiamo vera la prima: A e B sono entrambi furfanti e questa non è l’isola di Maya. Poiché B è un furfante, non è vero che si trova d’accordo con quanto afferma A. Essendo però vera la prima parte della proposizione di A (“noi siamo entrambi furfanti”), deve essere falsa la seconda. Pertanto, sia per A che per B questa non è l’isola di Maya. La terza isola.

Su quest’isola A e B dissero: A: Almeno uno di noi è un furfante e questa è l’isola di Maya. B: è vero.

È questa l’isola di Maya?

Supponiamo A cavaliere. Dato che egli afferma che uno tra lui e B è un furfante, ne consegue che l’unica possibilità è che B sia un furfante. Allora non è vero che B si trova d’accordo con quanto A sostiene. Essendo, però, vera la prima parte della proposizione di A (“almeno uno di noi è un furfante”), deve essere falsa la seconda. E, quindi, questa non è l’isola di Maya. Supponiamo ora A furfante. Allora è falso quanto egli dice: “almeno uno di noi è un furfante e questa è l’isola di Maya”.

- Neghiamo la prima parte dell’affermazione e supponiamo vera la seconda: nessuno tra A e B è un furfante e questa è l’isola di Maya. Abbiamo già una contraddizione perché abbiamo assunto A furfante. Quindi è sbagliato supporre che questa sia l’isola di Maya. - Neghiamo la seconda parte e supponiamo vera la prima: almeno uno tra A e B è un furfante e questa non è l’isola di Maya. In questa situazione non è rilevante la natura di B. Infatti, se B è un cavaliere allora, concordando egli con A, si arriverebbe all’assurdo in cui questa è (per B) e non è (per A) l’isola di Maya. Se B è un furfante, non è vero che concorda con A. Ma, essendo la prima parte dell’affermazione di A vera (“almeno uno dei due è un furfante”), deve essere falsa la seconda e quindi questa non è l’isola di Maya.

La quarta isola.

Su quest’isola, due nativi A e B dissero: A: Noi siamo entrambi furfanti, e questa è l’isola di Maya.

B: Almeno uno di noi è un furfante, e questa non è l’isola di Maya. È questa l’isola di Maya?

A non può essere un cavaliere, perché, come già osservato precedentemente (vedi seconda isola), non potrebbe dire di sé di essere un furfante.

A è un furfante, pertanto è falso quanto egli dice: “Noi siamo entrambi furfanti e questa è l’isola di Maya”.

- Neghiamo la prima parte dell’affermazione e supponiamo vera la seconda: uno tra A e B è un cavaliere e questa è l’isola di Maya. Essendo A furfante, il cavaliere è B. Per quanto affermato da B, questa non è l’isola di Maya. Ma allora questa è (per B) e non è (per A) l’isola di Maya. Il che è una contraddizione.

- Neghiamo la seconda parte e supponiamo vera la prima: A e B sono entrambi furfanti e questa non è l’isola di Maya. Se B è un furfante, essendo vera la prima parte della sua affermazione, è falsa la seconda (“questa non è l’isola di Maya”). In questa situazione abbiamo che questa è (per B) e non è (per A) l’isola di Maya. Di nuovo si arriva ad una contraddizione. La quinta isola.

Qui, due dei nativi A e B dissero: A: Noi siamo entrambi furfanti e questa è l’isola di Maya.

B: Almeno uno di noi due è un cavaliere, e questa non è l’isola di Maya. È questa l’isola di Maya?

A non può essere un cavaliere, perché, come già osservato precedentemente (vedi seconda e quarta isola), non potrebbe dire di sé di essere un furfante.

A è un furfante, pertanto è falso quanto egli dice: “Noi siamo entrambi furfanti e questa è l’isola di Maya”.

- Neghiamo la prima parte dell’affermazione e supponiamo vera la seconda: uno tra A e B è un cavaliere e questa è l’isola di Maya. Essendo A furfante, il cavaliere è B. Per quanto affermato da B, questa non è l’isola di Maya. Ma allora questa è (per B) e non è (per A) l’isola di Maya. Il che è una contraddizione.

- Neghiamo la seconda parte e supponiamo vera la prima: A e B sono entrambi furfanti e questa non è l’isola di Maya. Se B è un furfante, non è rilevante la seconda parte della sua affermazione perché se è vera, allora questa non è l’isola di Maya sia per A che per B; se è falsa allora si arriva alla solita contraddizione (“è” e “non è”). La sesta isola.

Su quest’isola due nativi, A e B, fecero le seguenti affermazioni: A: O B è un cavaliere o questa è l’isola di Maya.

B: O A è un furfante o questa è l’isola di Maya.

È questa l’isola di Maya?

CAPITOLO 1. LE ATTIVITÀ PROPOSTE: “L’ISOLA DI BAAL”

Prima di entrare nei dettagli del ragionamento seguito, è opportuno far notare che, per come è formulato il quesito della “sesta isola”, potrebbero nascere delle ambiguità. Infatti, entrambe le affermazioni di A e di B si potrebbero interpretare in due modi differenti. La prima possibilità sarebbe di intendere la “o” come un “vel”, ovvero come una disgiunzione inclusiva. La seconda, invece, di intendere la “o” come un “aut”, ovvero come una disgiunzione esclusiva. Nel contesto del gioco della caccia al tesoro, noi l’abbiamo interpretata come un “vel”, pertanto entrambe le affermazioni potrebbero rileggersi nei seguenti termini: A: almeno una delle due frasi seguenti è vera: B è un cavaliere, questa è l’isola di Maya. B: almeno una delle due frasi seguenti è vera: A è un furfante, questa è l’isola di Maya. Chiarita tale questione, in modo da evitare ogni tipo di dubbio, procediamo con la soluzione. Supponiamo A furfante. Allora entrambe le alternative della sua proposizione sono false. Il che fa supporre B furfante. Ma se B è un furfante, allora entrambe le alternative della sua affermazione sono anch’esse false e, quindi, ne consegue che A è un cavaliere. Ma ciò contraddice l’ipotesi iniziale (A furfante). Supponiamo allora A cavaliere. Ci sono tre possibilità da considerare relativamente alla sua affermazione (“O B è un cavaliere o questa è l’isola di Maya”): o è vera la prima alternativa, o è vera la seconda o sono vere entrambe. L’unico caso da verificare è il primo, in quan - to, quando è vera la seconda parte della sua affermazione, ne consegue direttamente che questa è l’isola di Maya. Soffermiamoci, qundi, solo sul primo caso. Se B un cavaliere, di - cendo egli sempre la verità, tra le due alternative della sua affermazione deve essere vera la seconda (“questa è l’isola di Maya”), in quanto la prima contraddice l’ipotesi “A cavaliere”. Come si osserva questo caso è l’unico in cui compare la disgiunzione e, pertanto, risulta un po’ più complicato il ragionamento.Tuttavia l’analisi dettagliata di questa ultima isola non è, in realtà, necessaria. Si può giungere alla soluzione semplicemente procedendo per esclusione delle precedenti cinque isole. Seconda scheda Seguendo le istruzioni della scheda, si ottiene la seguente figura.

Si ottiene un quadrato magico. Sommando i numeri su una stessa riga, su una stessa colonna o su una stessa diagonale si ottiene sempre il medesimo risultato: 15. Ad esempio, 8 + 3 + 4 = 15 (ultima riga); 6 + 1 + 8 = 15 (prima colonna); 6 + 5 + 4 = 15 (diagonale dal vertice in alto a sinistra al vertice in basso a destra). Curiosità: Il persorso costruito mediante la simmetria centrale dei segmenti è uno dei più conosciuti metodi per costruire un quadrato magico n x n con i numeri da 1 a n2, per n dispari. Tale metodo è noto con il nome “salto del cavallo”. Si scrive 1 nella prima casella a sinistra della riga centrale. Per inserire i numeri successivi si procede così: - se è libera, si riempe la casella posta a sinistra e nella riga superiore rispetto all’ultimo numero inserito (se si è nella prima riga, ci si sposta nell’n-esima riga; se si è nella prima colonna, ci si sposta nell’n-esima colonna); - se tale casella non è libera, si riempe la casella che si trova a destra e sulla stessa riga dell’ultimo numero inserito. 2 2 2 1 1 1 1 3 3 4 2 6 2 6 7 2 6 7 2 6 7 2 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 9 3 4 3 4 3 4 8 3 4 8 3 4 Terza scheda Alla porta del Tempio Esterno L’incappucciato disse: «Io sono un furfante o una scimmia».

Che cos’era esattamente?

Supponiamo che l’incappucciato sia un furfante. Allora egli sarebbe sia un cavaliere che un umano. Ma ciò contraddice l’assunzione iniziale. Pertanto l’incappucciato deve essere un cavaliere. Siccome dice la verità, allora è una scimmia. È un cavaliere scimmia. Alla porta del Tempio Medio L’incappucciato disse: «Sono un furfante e una scimmia».

Che cos’era esattamente?

L’incappucciato non può essere un cavaliere perché non può dire di sé di essere un furfante (ricordiamoci che i cavalieri dicono sempre la verità). Allora è un furfante. Essendo la prima parte della sua affermazione vera, deve essere falsa la seconda. Pertanto l’incappucciato è un furfante ed è un umano.

CAPITOLO 1. LE ATTIVITÀ PROPOSTE: “L’ISOLA DI BAAL”

Alla porta del Tempio Interno L’incappucciato disse: «Non sono scimmia e cavaliere insieme». Che cos’era esattamente?

Se l’incappucciato è un cavaliere allora deve essere un cavaliere umano, perché l’alternativa sarebbe furfante scimmia. Ma, per quanto affermato, egli non può dire di sè di essere un furfante. Supponiamo che l’incappucciato sia un furfante. Allora sarebbe vero che è scimmia e cavaliere insieme. Ma ciò contraddice l’ipotesi che sia un furfante. Pertanto l’incappucciato è un cavaliere umano. Quarta scheda Primo Saggio: Io sono un furfante, e non so perché ci sia qualcosa invece del nulla. Secondo Saggio: Io sono un cavaliere, e non so perché ci sia qualcosa invece del nulla. Sapeva veramente uno dei saggi perché vi è qualcosa invece del nulla? Il primo saggio non può essere un cavaliere, per il solito discorso che non può dire di sé di essere un furfante. Dunque il primo saggio è un furfante. Siccome la prima parte della sua affermazione è vera, deve essere falsa la seconda, quindi egli sa perché c’è qualcosa invece del nulla. Supponiamo che il secondo saggio sia un cavaliere. Allora non sa il perché. Se, invece, fosse un furfante, mentirebbe sulla prima parte e nulla si potrebbe dire sulla seconda. Ovvero può sapere o meno il perché esiste qualcosa invece del nulla.

La risposta alla domanda “Sapeva veramente uno dei saggi perché vi è qualcosa invece del nulla?” è affermativa. In particolare, il primo sa sicuramente qualcosa, mentre nulla si può affermare con certezza sul secondo. Osserviamo che, per la prova successiva, occorre tenere a mente, in entrambi i casi, il saggio che conosce la risposta è un furfante. Ultima scheda Poiché il saggio che conosce la risposta è un furfante, egli mente sulla risposta alla Grande Domanda. Pertanto, è falso che “C’è qualcosa invece del nulla”, quindi la drastica conclusione è che non c’è nulla, e anche l’isola di Baal, così com’è stata descritta, in realtà logicamente non esiste.

Il fatto curioso è che fino all’ultima prova tutta la storia presentata, sebbene inventata, era logicamente possibile e solo con la risposta all’ultimo quesito ha fatto crollare tutto. Approfondimento In questo paragrafo riprendiamo i quesiti contenuti nella Prima Scheda e proponiamo un me - todo di risoluzione più rigoroso da un punto di vista matematico rispetto a quello fornito pre - cedentemente. Se prima il processo risolutivo era prevalentemente di tipo argomentativo, ora diventa più formale in quanto fa uso di schemi matematici fondati su precise regole logiche. Nello specifico, introduciamo le tabelle di verità. Per capirne il funzionamento, richiamiamo le tabelle di verità elementari.

Il connettivo “e”

Supponiamo che A e B siano due proposizioni e supponiamo che esse possano essere o vere (V) o false (F) 3. Vogliamo unire queste due proposizioni utilizzando il connettivo logico “e”, ovvero vogliamo analizzare la natura (vera o falsa) della proposizione descritta da “A e B”. Chiaramente, essa risulterà vera o falsa in base al valore di verità dei singoli termini (A, B) che la compongono. La tabella di verità è costruita in modo da tener conto, nelle prime due colonne) di tutte le possibili combinazioni tra le proposizioni A e B. Nella terza colonna si assegna il valore di verità corrispondente a “A e B”.

- Prima riga: “se A e B sono entrambe vere, allora l’affermazione ‘A e B’ risulta vera”. - Seconda e terza riga: “se una tra le affermazioni A e B è falsa, allora la proposizione ‘A e B’ risulta falsa”.

- Quarta riga: “se le due proposizioni A e B sono entrambe false, allora l’affermazione ‘A e B’ non può essere vera”.

Osserviamo che, nel caso del connettivo logico “e”, l’affermazione “A e B” è vera solo quando le due proposizioni che la compongono sono contemporaneamente vere se prese singolarmente. In teoria degli insiemi, il connettivo logico “e” equivale all’operazione di intersezione. Ovvero, se A e B sono due insiemi non vuoti, diciamo che un elemento x appartiene all’intersezione dei due (che si indica con A  B) se e solo se x sta sia in A sia in B. Il connettivo “o”

Uniamo ora le due proposizioni A e B utilizzando il connettivo logico “o”, ovvero analizziamo la natura (vera o falsa) della proposizione descritta da “A o B”. Serviamoci di una tabella di verità, costruita in modo del tutto analogo alla precedente.

CAPITOLO 1. LE ATTIVITÀ PROPOSTE: “L’ISOLA DI BAAL”

Proviamo a leggere la tabella.

- Prima riga: “se A e B sono entrambe vere, allora l’affermazione ‘A o B’ risulta vera”. - Seconda e terza riga: “se una tra le affermazioni A e B è vera, allora la proposizione ‘A o B’ risulta ancora vera”.

- Quarta riga: “se le due proposizioni A e B sono entrambe false, allora l’affermazione ‘A o B’ non può essere vera”.

Osserviamo che, nel caso del connettivo logico “o”, l’affermazione “A o B” è vera quando almeno una delle due proposizioni che la compongono è vera.

In teoria degli insiemi, il connettivo logico “o” equivale all’operazione di unione. Ovvero, se A e B sono due insiemi non vuoti, diciamo che un elemento x appartiene all’unione dei due (che si indica con A  B) se x sta in A o in B o in entrambi.

La negazione “non” e le leggi di De Morgan Sia A una proposizione. Se A è vera la sua negazione (“non A”) sarà chiaramente falsa. Viceversa, se A è falsa, la sua negazione è vera. Nel caso di proposizioni formate utilizzando i connettivi logici precedentemente introdotti, la negazione è regolata dalle cosiddette leggi di De Morgan: non (A e B) = (non A) o (non B) non (A o B) = (non A) e (non B).

L’implicazione “se … allora …”

Siano A e B due proposizioni che possono essere vere o false. Nell’implicazione “se A allora B” (che si indica con “A → B”), la proposizione A è detta ipotesi, mentre B è detta tesi. Per determinare la natura (vera o falsa) dell’affermazione “A → B”, consideriamo la seguente tabella di verità: A B “A → B”

- Prima riga: “se l’ipotesi e la tesi sono entrambe vere, allora l’implicazione ‘A → B’ risulta anch’essa vera” (se partendo da ipotesi vere si ottiene una conclusione vera è naturale concludere che l’intera affermazione è vera).

- Seconda riga: “se l’ipotesi è vera ma la tesi è falsa, allora non è vero che A implica B, in quanto da ipotesi verificate si dedurrebbe un’affermazione falsa”. - Terza e quarta riga: “partendo da un’ipotesi falsa A, la proposizione ‘A → B’ risulta sempre vera, indipendentemente dal valore di verità della tesi B”.