Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal

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TABLE DES MATIÈRES.

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RÉFLEXIONS

SUR LA

MÉTAPHYSIQUE

DU

CALCUL INFINITÉSIMAL.

Je cherche à savoir en quoi consiste le véritable esprit du Calcul infinitésimal ; les réflexions que je propose à ce sujet sont distribuées en trois chapitres : dans le premier j’expose les principes généraux de l’analyse infinitésimale ; dans le second j’examine comment cette analyse a été réduite en algorithme, par l’invention des calculs différentiel et intégral ; dans le troisième je compare cette analyse aux autres méthodes qui peuvent la suppléer, telles que la méthode d’exhaustion, celle des indéterminées et indivisibles, celle des indéterminées,etc.

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. Il n’est aucune découverte qui ait produit dans les sciences mathématiques une révolution aussi heureuse et aussi prompte que celle de l’analyse infinitésimale ; aucune n’a fourni des moyens plus simples ni plus efficaces pour pénétrer dans la connaissance des lois de la nature. En décomposant, pour ainsi dire, les corps jusque dans leurs éléments, elle semble en avoir indiqué la structure intérieure et l’organisation ; mais comme tout ce qui est extrême échappe aux sens et à l’imagination, on n’a jamais pu se former qu’une idée imparfaite de ces éléments, espèces d’êtres singuliers, qui tantôt jouent le rôle de véritables quantités, tantôt doivent être traités comme absolument nuls, et semblent, par leurs propriétés équivoques, tenir le milieu entre la grandeur et le zéro, entre l’existence et le néant.

Heureusement cette difficulté n’a pas nui au progrès de la découverte ; il est certaines idées primitives qui laissent toujours quelque nuage dans l’esprit, mais dont les premières conséquences, une fois tirées, ouvrent un champ vaste et facile à parcourir. Telle a paru celle de l’infini, et plusieurs géomètres en ont fait le plus heureux usage, qui n’en avaient peut-être point approfondi la notion ; cependant les philosophes n’ont pu se contenter d’une idée si vague : ils ont voulu remonter aux principes ; mais ils se sont trouvés eux-mêmes divisés dans leurs opinions, ou plutôt dans leur manière d’envisager les objets. Mon but dans cet écrit est de rapprocher ces différents points de vue, d’en montrer les rapports, et d’en proposer de nouveaux.

. La difficulté qu’on rencontre souvent à exprimer exactement. par des équations les différentes conditions d’un problème, et à résoudre ces équations, a pu faire naître les premières idées du calcul infinitésimal. Lorsqu’il est trop difficile, en effet, de trouver la solution exacte d’une question, il est naturel de chercher au moins à en approcher le plus qu’il est possible, en négligeant les quantités qui embarrassent les combinaisons, si l’on prévoit que ces quantités négligées ne peuvent, à cause de leur peu de valeur, produire qu’une erreur légère dans le résultat du calcul. C’est ainsi, par exemple, que ne pouvant découvrir qu’avec peine les propriétés des courbes, on aura imaginé de les regarder comme des polygones d’un grand nombre de côtés. En effet, si l’on conçoit, par exemple, un polygone régulier inscrit dans un cercle, il est visible que ces deux figures, quoique toujours différentes et ne pouvant jamais devenir identiques, se ressemblent cependant de plus en plus à mesure que le nombre des côtés du polygone augmente, que leurs périmètres, leurs surfaces, les solides formés par leurs révolutions autour d’un axe donné, les lignes analogues menées au dedans ou au dehors de ces figures, les angles formés par ces lignes,etc., sont, sinon respectivement égaux, au moins d’autant plus approchants de l’égalité, que ce nombre de côtés devient plus grand ; d’où il suit qu’en supposant ce nombre de côtés très grand en effet, on pourra sans erreur sensible attribuer au cercle circonscrit les propriétés qu’on aura trouvées appartenir au polygone inscrit.

En outre, chacun des côtés de ce polygone diminue évidemment de grandeur, à mesure que le nombre de ces côtés augmente ; et par conséquent, si l’on suppose que le polygone soit réellement composé d’un très grand nombre de côtés, on pourra dire aussi que chacun d’eux est réellement très-petit.

Cela posé, s’il se trouvait par hasard dans le cours d’un calcul une circonstance particulière, où l’on pût simplifier beaucoup les opérations, en négligeant, par exemple, un de ces petits côtés par comparaison à une ligne donnée, telle que le rayon, c’est-à-dire en employant dans le calcul cette ligne donnée au lieu d’une quantité qui serait égale à la somme faite de cette ligne et du petit côté en question, il est clair qu’on pourrait le faire sans inconvénient, car l’erreur qui en ne pourrait être qu’extrêmement petite, et ne mériterait pas qu’on se mît en peine pour en connaître la valeur.

. Par exemple, soit proposé de mener une tangente au point donné de la circonférence ().

Soient le centre du cercle, l’axe ; supposons l’abscisse , l’ordonnée correspondante , et soit la sous-tangente cherchée.

Pour la trouver, considérons le cercle comme un polygone d’un très grand nombre de côtés ; soit un de ces côtés, prolongeons-le jusqu’à l’axe : ce sera évidemment la tangente en question, puisque cette ligne ne pénétrera pas dans l’intérieur du polygone ; abaissons de plus la perpendiculaire sur , parallèle à , et nommons le rayon du cercle : cela posé, nous aurons évidemment

ou

D’une autre part, l’équation de la courbe étant pour le point , , elle sera pour le point

Si donc et étaient connues, on aurait la valeur cherchée de ; or ces quantités , sont très-petites, puisqu’elles sont moindres chacune que le côté , qui, par hypothèse, est lui-même très-petit. Donc () on peut négliger sans erreur sensible ces quantités par comparaison aux quantités et auxquelles elles sont ajoutées. Donc l’équation se réduit à ce qu’il fallait trouver.

. Si ce résultat n’est pas absolument exact, il est au moins évident que dans la pratique il peut passer pour tel, puisque les quantités , sont extrêmement petites ; mais quelqu’un qui n’aurait aucune idée de la doctrine des infinis, serait peut-être fort étonné si on lui disait que l’équation non-seulement approche beaucoup du vrai, mais est réellement de la plus parfaite exactitude : c’est cependant une chose dont il est aisé de s’assurer en cherchant , d’après ce principe que la tangente est perpendiculaire à l’extrémité du rayon ; car il est visible que les triangles semblables , donnent d’où l’on tire comme ci-dessus.

. Pour second exemple, supposons qu’il soit question de trouver la surface d’un cercle donné.

Considérons encore cette courbe comme un polygone régulier d’un grand nombre de côtés ; l’aire d’un polygone régulier quelconque est égale au produit de son périmètre par la moitié de la perpendiculaire menée du centre sur l’un des côtés ; donc le cercle étant considéré comme un polygone d’un grand nombre de côtés, sa surface doit être égale au produit de sa circonférence par la moitié du rayon : proposition qui n’est pas moins exacte que le résultat trouvé ci-dessus.

. Quelque vagues et peu précises que puissent donc paraître ces deux expressions de très-grand et de très-petit, ou autres équivalentes, on voit par les deux exemples précédents que ce n’est pas sans utilité qu’on les emploie dans les combinaisons mathématiques, et que leur usage peut être d’un grand secours pour faciliter la solution des diverses questions qui peuvent être proposées ; car leur notion une fois admise, toutes les courbes pourront aussi bien que le cercle être considérées comme des polygones d’un grand nombre de côtés, toutes les surfaces pourront être partagées en une multitude de bandes ou zones, tous les corps en corpuscules, toutes les quantités, en un mot, pourront être décomposées en particules de même espèce qu’elles. De là naissent beaucoup de nouveaux rapports et de nouvelles combinaisons, et l’on peut juger aisément, par les exemples cités plus haut, des ressources que doit fournir au calcul l’introduction de ces quantités élémentaires.

. Mais l’avantage qu’elles procurent est bien plus considérable encore qu’on n’avait d’abord eu lieu de l’espérer ; car il suit des exemples rapportés que ce qui n’avait été regardé en premier lieu que comme une simple méthode d’approximation, conduit au moins, en certains cas, à des résultats parfaitement exacts. Il serait donc intéressant de savoir distinguer ceux où cela arrive, d’y ramener les autres autant qu’il est possible, et de changer ainsi cette méthode d’approximation en un calcul parfaitement exact et rigoureux. Or tel est l’objet de l’analyse infinitésimale.

. Voyons donc d’abord comment dans l’équation

Or on peut rendre fort simplement raison de ce qui est arrivé dans la solution du problème traité ci-dessus, en remarquant que l’hypothèse d’où l’on est parti étant fausse, puisqu’il est absolument impossible qu’un cercle puisse être jamais considéré comme un vrai polygone, quel que puisse être le nombre de ces côtés, il a dû résulter de cette hypothèse une erreur quelconque dans l’équation

. Le résultat exact n’a donc été obtenu que par une compensation d’erreurs ; et cette compensation peut être rendue plus sensible encore en traitant l’exemple rapporté ci-dessus d’une manière un peu différente, c’est-à-dire en considérant le cercle comme une véritable courbe, et non pas comme un polygone.

Pour cela, par un point , pris arbitrairement à une distance quelconque du point , soit menée la ligne parallèle à , et par les points et soit tirée la sécante ; nous aurons évidemment

,

ou

Parallèlement nous avons et cette équation est parfaitement exacte, quelle que soit la position du point , c’est-à-dire quelles que soient les valeurs de et de Mais plus approchera de , plus ces lignes et seront petites ; et partant, si on les néglige dans le second membre de cette équation, l’erreur qui en résultera dans l’équation à laquelle elle sera réduite alors, pourra, comme la première, être rendue aussi petite qu’on le jugera à propos.

Cela étant, sans avoir égard à des erreurs que je serai toujours maître d’atténuer autant que je le voudrai, je traite les deux équations

et

Ce résultat est parfaitement juste, puisqu’il est conforme à celui qu’on a obtenu par la comparaison des triangles , ; cependant les équations et d’où il a été tiré, sont certainement fausses toutes deux, puisque la distance de à n’a point été supposée nulle, ni même très petite, mais bien égale à une ligne quelconque arbitraire. Il faut par conséquent de toute nécessité que les erreurs se soient compensées mutuellement, par la comparaison des deux équations erronées.

. Voilà donc le fait des erreurs compensées bien acquis et bien prouvé ; il s’agit maintenant de l’expliquer, de rechercher le signe auquel on reconnaît que la compensation a lieu dans les calculs semblables au précédent, et les moyens de la produire dans chaque cas particulier.

Or il suffit pour cela de remarquer que les erreurs dans les équations et pouvant être rendues aussi petites qu’on le veut, celle qui aurait lieu, s’il s’en trouvait une dans l’équation résultante pourrait également être rendue aussi petite qu’on le voudrait, et qu’elle dépendrait de la distance arbitraire des lignes , . Or cela n’est pas, puisque le point par où doit passer la tangente étant donné, il ne se trouve aucune des quantités , , , de cette équation qui soit arbitraire ; donc il ne peut y avoir en effet aucune erreur dans cette équation.

Il suit de là que la compensation des erreurs qui se trouvaient dans les équations et se manifeste dans le résultat, par l’absence des quantités , qui causaient ces erreurs ; et que par conséquent, après avoir introduit ces quantités dans le calcul pour faciliter l’expression des conditions du problème, et les avoir traitées dans les équations qui exprimaient ces conditions, comme nulles par comparaison aux quantités proposées, afin de simplifier ces équations, il n’y a qu’à éliminer ces mêmes quantités des équations où elles peuvent se trouver encore, pour faire disparaître les erreurs qu’elles avaient occasionnées, et obtenir un résultat qui soit parfaitement exact.

. L’inventeur a donc pu être conduit à sa découverte par un raisonnement bien simple : si à la place d’une quantité proposée, a-t-il pu dire, j’emploie dans le calcul une autre quantité qui ne lui soit point égale, il en résultera une erreur quelconque ; mais si la différence des quantités employées l’une pour l’autre est arbitraire, et que je sois maître de la rendre aussi petite que je voudrai, cette erreur ne sera point dangereuse ; je pourrais même commettre à la fois plusieurs erreurs semblables sans qu’il s’ensuivît aucun inconvénient, puisque je demeurerai toujours maître du degré de précision que je voudrai donner à mes résultats. Il y a plus encore : c’est qu’il pourrait arriver que ces erreurs se compensassent mutuellement, et qu’ainsi mes résultats devinssent parfaitement exacts. Mais comment opérer cette compensation et dans tous les cas ? C’est ce qu’un peu de réflexion aura pu faire découvrir ; en effet, aura pu dire l’inventeur, supposons pour un instant que la compensation désirée ait lieu, et voyons par quel signe elle doit se manifester dans le résultat du calcul. Or ce qui doit naturellement être arrivé, c’est que les quantités qui occasionnaient ces erreurs ayant disparu, les erreurs ont disparu de même ; car ces quantités telles que , ayant par hypothèse des valeurs arbitraires, elles ne doivent plus entrer dans ces formules ou résultats qui ne le sont pas, et qui, étant devenus exacts par supposition, dépendent uniquement, non de la volonté du calculateur, mais de la nature des choses dont on s’était proposé de trouver la relation exprimée par ces résultats. Donc le signe qui annonce que la compensation désirée a lieu est l’absence des quantités arbitraires qui produisaient ces erreurs ; et partant il ne s’agit, pour opérer cette compensation, que d’éliminer ces quantités arbitraires.

Tâchons maintenant de donner à ces idées le degré de précision qui leur convient.

. Les quantités se distinguent généralement en quantités constantes et en quantités variables.

Les quantités qu’on nomme constantes ou déterminées sont celles dont les valeurs sont supposées fixes ; et celles qu’on nomme variables ou indéterminées sont celles auxquelles on est maître, au contraire, d’attribuer successivement diverses valeurs.

Mais il faut observer que l’expression de quantités variables ne saurait être prise dans un sens absolu, parce qu’une quantité peut être plus ou moins indéterminée, plus ou moins arbitraire ; or c’est précisément sur les divers degrés d’indétermination dont la quantité en général est susceptible, que repose toute l’analyse, et plus particulièrement cette branche qu’on nomme analyse infinitésimale.

. Je divise toutes les quantités admises dans un calcul en trois classes : celles qui se trouvent déterminées et invariables par la nature même de la question ; celles qui, étant d’abord variables, prennent ensuite des valeurs déterminées, par des conventions ou des hypothèses subséquentes ; enfin celles qui doivent rester toujours indéterminées.

De la première de ces trois classes sont ce qu’on nomme les constantes ou données, telles que les paramètres dans les courbes. De la seconde sont les variables ordinaires, telles que les coordonnées des courbes, les sous-tangentes, les normales,etc., auxquelles on attribue telles ou telles valeurs déterminées, lorsqu’on veut en découvrir les propriétés ou relations. De la troisième sont celles qui, étant plus ou moins indépendantes de celles des deux premières classes, demeurent aussi plus ou moins arbitraires, jusqu’à ce que le calcul soit entièrement achevé, et que pour cette raison j’appellerai quantités toujours variables.

Mais quoique les quantités de cette troisième classe demeurent toujours variables, elles ne sont pas pour cela entièrement arbitraires, et, de même que les simples variables qui composent la seconde classe sont liées avec les constantes qui composent la première, par des équations ou conditions quelconques, en vertu desquelles elles ne peuvent varier que suivant certaines lois, de même aussi les quantités toujours variables sont liées avec les variables ordinaires et les données, tant par les conditions mêmes de la question, que par les hypothèses sur lesquelles le calcul est établi, de sorte qu’elles ne peuvent varier elles-mêmes que suivant certains modes.

. J’appelle quantité infiniment petite toute quantité qui est considérée comme continuellement décroissante, tellement qu’elle puisse être rendue aussi petite qu’on le veut, sans qu’on soit obligé pour cela de faire varier celles dont on cherche la relation.

Lorsqu’on veut trouver la relation de certaines quantités proposées, les unes constantes, les autres variables, on considère le système général comme parvenu à un état déterminé que l’on regarde comme fixe : puis on compare ce système fixe avec d’autres états du même système, lesquels sont considérés comme se rapprochant continuellement du premier, jusqu’à en différer aussi peu qu’on le veut. Ces autres états du système ne sont donc à proprement parler eux-mêmes que des systèmes auxiliaires que l’on fait intervenir pour faciliter la comparaison entre les parties du premier. Les différences des quantités qui se correspondent entre tous ces systèmes peuvent donc être supposées aussi petites qu’on le veut, sans rien changer aux quantités qui composent le premier, et qui sont celles dont on cherche la relation. Ces différences sont donc de la nature des quantités que nous appelons infiniment petites : puisqu’elles sont considérées comme continuellement décroissantes, et comme pouvant devenir aussi petites qu’on le veut, sans que pour cela on soit obligé de rien changer à la valeur de celles dont on cherche la relation.

L’unité divisée par une quantité infiniment petite est ce qu’on nomme quantité infinie ou infiniment grande.

On comprend sous le nom de quantités infinitésimales, les quantités infinies et celles qui sont infiniment petites.

L’analyse infinitésimale n’est autre chose que l’art d’employer auxiliairement les quantités infinitésimales, pour découvrir les relations qui existent entre des quantités proposées.

. On voit d’abord qu’en leur qualité de simples auxiliaires, toutes ces quantités dites infinitésimales et leurs fonctions quelconques doivent nécessairement se trouver exclues des résultats du calcul. Car ces résultats ne devant être que l’expression des relations prescrites par les conditions de la question proposée, ne peuvent contenir que les quantités entre lesquelles existent ces relations. Donc les quantités qui n’ont été employées qu’auxiliairement ne doivent plus s’y rencontrer. On ne les avait fait intervenir au commencement du calcul que pour faciliter l’expression des conditions, mais cet objet une fois rempli, elles ne sauraient demeurer dans les formules, et doivent par conséquent en être nécessairement éliminées. Il est d’ailleurs de leur essence, de ne pouvoir être employées qu’auxiliairement, car leur nature étant d’être toujours variables, même lorsqu’on a donné des valeurs déterminées aux quantités dont le résultat du calcul doit exprimer la relation, si elles se trouvaient dans ce résultat, elles le feraient varier lorsqu’il doit rester fixe ; et en effet, les résultats de cette nouvelle analyse ne peuvent être différents de ceux de l’analyse ordinaire : donc, puisque celle-ci n’admet point de quantités infinitésimales, il faut bien que celles qui peuvent être admises dans l’autre finissent toujours par être éliminées.

. On voit par ce qui précède que les quantités appelées infiniment petites en mathématiques ne sont point des quantités actuellement nulles, ni même des quantités actuellement moindres que telles ou telles grandeurs déterminées, mais seulement des quantités auxquelles les conditions de la question proposée et les hypothèses sur lesquelles le calcul est établi, permettent de demeurer variables, jusqu’à ce que le calcul soit entièrement achevé, en décroissant continuellement, jusqu’à devenir aussi petites qu’on le veut, sans que l’on soit obligé de changer en même temps les valeurs de celles dont on veut obtenir la relation. C’est en cela uniquement que réside le véritable caractère des quantités auxquelles on a donné le nom d’infiniment petites, et non dans la ténuité dont leur dénomination semble supposer qu’elles sont effectivement douées, ni dans la nullité absolue qu’on pourrait leur attribuer ; et la notion, comme on le voit, en est parfaitement simple et dégagée de toute idée vague ou contentieuse.

. Pour éviter les circonlocutions, je comprendrai dans la suite sous le nom de quantités désignées toutes celles qui composent les deux premières classes dont nous avons parlé (), c’est-à-dire toutes celles qui font le sujet de l’analyse ordinaire, et dont on veut obtenir la relation, ou qui peuvent entrer dans le résultat du calcul. J’appellerai, au contraire, quantités non désignées toutes celles qui composent la troisième classe, c’est-à-dire celles qui demeurent toujours variables, et sont par conséquent plus ou moins indépendantes de celles qui composent les deux premières classes. Ainsi c’est parmi les quantités non désignées que l’on doit compter les quantités infinitésimales ; et d’après les définitions données ci-dessus, il est aisé de voir que les quantités infiniment petites ne sont autre chose que des quantités non désignées, qui sont considérées comme décroissant graduellement et simultanément, jusqu’à devenir aussi petites qu’on le veut.

. Appliquons tout ce qui vient d’être dit, à l’exemple déjà traité.

Le rayon étant donné (), se trouve être une quantité déterminée dès le commencement par la nature même de la question ; ainsi elle est désignée, et de la première classe de celles dont nous avons parlé ().

Les lignes , , , , sont d’abord variables et ne deviennent déterminées que par l’hypothèse subséquente, que la tangente doit passer par le point ; mais cette supposition une fois faite, toutes ces quantités doivent être considérées comme fixes jusqu’à la fin du calcul : ainsi elles sont aussi des quantités désignées, et de la seconde classe de celles dont nous avons parlé () ; ces mêmes quantités, qui sont les coordonnées, la tangente et la sous-tangente de la courbe au point , composent donc avec la constante et celles qui en sont des fonctions quelconques, le système général des quantités désignées, c’est-à-dire celles dont on cherche la relation et qui peuvent seules entrer dans le résultat du calcul ou faire le sujet de l’algèbre ordinaire.

Au contraire, les lignes , , , , , , etc., sont celles que nous avons appelées quantités non désignées, et qui forment la troisième classe dont nous avons parlé (), parce qu’elles demeurent toujours variables : car comme nous restons toujours maîtres de faire et aussi petites que nous le voulons, sans changer la valeur des quantités désignées dont nous avons parlé ci-dessus, ces quantités , , sont de celles que nous nommons infiniment petites, et les autres , , , , , qui sont évidemment fonctions de ces quantités infiniment petites, demeurent également toujours variables, et par conséquent sont de celles que nous nommons quantités non désignées.

. Deux quantités quelconques sont dites infiniment peu différentes l’une de l’autre, lorsque le quotient de l’une par l’autre ne diffère de l’unité que par une quantité infiniment petite.

On dit qu’une quantité est infiniment petite relativement à une autre quantité, lorsque le quotient de la première par la seconde est une quantité infiniment petite : et réciproquement alors la seconde est dite infinie ou infiniment grande relativement à la première.

On voit par là qu’une quantité, même infiniment petite, peut se trouver infiniment grande relativement à telle autre quantité ; et que réciproquement une quantité, même infiniment grande, peut se trouver infiniment petite relativement à telle autre. Car si l’on suppose que , par exemple, soit une quantité infiniment petite, sera une quantité infiniment petite relativement à la première, quoique cette première soit infiniment petite elle-même, puisque le rapport de la seconde à la première est , qui par hypothèse est une quantité infiniment petite.

Pareillement, si représente une quantité infiniment grande, elle n’en sera pas moins infiniment petite relativement à , puisque le quotient de celle-ci par la première sera , qui par hypothèse est une quantité infinie.

. Cette observation donne lieu de distinguer les quantités infinitésimales en différents ordres. Si , par exemple, est prise pour représenter une quantité infiniment petite du premier ordre, sera une quantité infiniment petite du second ordre, une quantité infiniment petite du troisième ordre : ainsi de suite.

Pareillement, si est prise pour représenter une quantité infiniment grande du premier ordre, sera une quantité infiniment grande du second ordre, une quantité infiniment grande du troisième ordre : ainsi de suite.

Deux quantités de quelque ordre qu’elles soient, sont dites du même ordre, lorsque leur rapport est une quantité finie.

Toutes les fois que de deux quantités quelconques ajoutées ensemble, ou soustraites l’une de l’autre, l’une se trouvera infiniment petite relativement à l’autre, celle-ci se nommera quantité principale, et l’autre quantité accessoire. Ainsi, par exemple, dans la somme des quantités dont on vient de parler, est la quantité principale et la quantité accessoire ; et dans la somme , est la quantité principale et est la quantité accessoire.

. Comme il est important que les diverses notions données ci-dessus deviennent familières, nous entrerons encore dans quelques détails à ce sujet.

L’objet de tout calcul se réduit à trouver les relations qui existent entre certaines quantités proposées ; mais la difficulté de trouver immédiatement ces relations oblige souvent de recourir à l’entremise de quelques autres quantités qui ne font point partie du système proposé, mais qui par leur liaison avec les premières peuvent servir comme d’intermédiaires entre elles. On commence donc par exprimer les relations qu’elles ont toutes ensemble ; après quoi on élimine du calcul celles qui n’y sont entrées que comme auxiliaires, afin d’obtenir entre les quantités proposées seules les relations immédiates qu’on voulait découvrir.

Lorsque parmi ces quantités auxiliaires, il s’en trouve d’une nature telle, qu’on soit maître de les rendre toutes à la fois aussi petites qu’on le veut, sans faire varier en même temps les quantités proposées, cette circonstance donne lieu à des simplifications accidentelles très importantes, et ce sont précisément ces simplifications qui ont fait naître cette branche de calcul qu’on nomme analyse infinitésimale, laquelle n’est autre chose que l’art de faire choix de semblables auxiliaires, les plus convenables suivant les différents cas, de s’en servir de la manière la plus avantageuse pour exprimer les conditions des diverses questions et pour opérer ensuite l’élimination de ces mêmes quantités, afin qu’il ne reste plus dans les formules que les seules quantités dont on voulait connaître les rapports.

. Cela posé, concevons un système quelconque de quantités, les unes constantes, les autres variables, et qu’il s’agisse de trouver les rapports ou relations quelconques qui existent entre elles.

Pour établir nos raisonnements, commençons par considérer le système général dans un état quelconque déterminé que nous regarderons comme fixe. Examinons les relations qui existent entre les diverses quantités de ce système fixe ; ce sont ces quantités et celles qui en dépendent exclusivement que nous appelons quantités désignées ().

Considérons maintenant ce système proposé dans un nouvel état quelconque différent du premier, et puisque chacune des quantités qui le composent n’est qu’une quantité auxiliaire, attendu que ce nouvel état n’est imaginé que pour trouver plus facilement les relations des quantités qui composent le premier, nommons ce nouvel état du système, système auxiliaire.

Concevons enfin que ce système auxiliaire s’approche graduellement du système fixe, de sorte que toutes les quantités auxiliaires qui composent le premier s’approchent simultanément des quantités désignées qui leur correspondent dans le système fixe, tellement qu’on soit maître de supposer leurs différences respectives toutes en même temps aussi petites qu’on le veut ; ces différences respectives seront ce que nous avons appelé quantités infiniment petites ().

Comme les quantités de ce second système sont purement auxiliaires, elles ne peuvent entrer dans le résultat du calcul, puisque ce résultat n’est que l’expression des relations qui existent entre celles qui composent le premier ; d’où il suit que les quantités infiniment petites dont nous venons de parler et toutes leurs fonctions, doivent nécessairement se trouver exclues de ce même résultat.

. Maintenant je me demande ce qui serait arrivé, si dans le cours du calcul on eût rencontré une quantité constante et une de ces quantités infiniment petites ajoutées ensemble ; et qu’en considérant que cette dernière peut être supposée aussi petite qu’on le veut, tandis que l’autre ne change pas, on l’ait négligée pour simplifier le calcul, comme de nulle importance vis-à-vis de la première.

La conclusion naturelle serait sans doute que l’erreur occasionnée ainsi pourrait toujours être rendue aussi petite qu’on le voudrait, en diminuant de plus en plus la valeur arbitraire de la quantité négligée.

Mais pour cela il faut que cette valeur arbitraire elle-même ou quelques-unes de ses fonctions entrent dans le résultat de ce calcul ; autrement elle n’aurait sur lui aucune influence, et ne pourrait par conséquent servir à le rectifier par sa diminution successive.

Donc, si elle ne s’y rencontre pas, c’est une preuve que l’erreur se sera rectifiée d’elle-même, car d’après la marche du calcul, si elle subsistait encore, elle ne pourrait être qu’infiniment petite : or elle ne peut être telle, puisqu’il n’y a point de quantité infiniment petite dans le résultat ; donc l’erreur commise dans le cours du calcul a dû disparaître d’une manière quelconque, et c’est ce que les propositions suivantes démontreront rigoureusement.

. Deux quantités non arbitraires ne peuvent différer entre elles que d’une quantité non arbitraire.

Démonstration. Puisque les deux quantités proposées ne sont point arbitraires, on ne peut rien changer ni à l’une ni à l’autre ; donc on ne peut rien changer non plus à leur différence ; donc cette différence n’est point arbitraire. Ce qu’il fallait démontrer.

. Deux quantités non arbitraires sont rigoureusement égales entre elles, du moment que leur différence prétendue peut être supposée aussi petite qu’on le veut.

En effet, soient et les deux quantités non arbitraires proposées ; nous venons de voir que leur différence ne saurait être arbitraire : elle ne peut donc pas être supposée aussi petite qu’on le veut, ce qui est contre l’hypothèse. Donc cette prétendue différence n’existe pas. Donc les deux quantités proposées , , sont rigoureusement égales.

. Pour être certain que deux quantités désignées sont rigoureusement égales, il suffit de prouver que leur différence, s’il y en avait une, ne saurait être une quantité désignée.

En effet, des quantités désignées sont des quantités non arbitraires ; donc leur différence ne saurait être arbitraire : donc cette différence est nécessairement une quantité désignée ; donc pour prouver que cette différence n’existe pas, et que par conséquent les quantités sont égales, il suffit de prouver que, si elle existait, elle ne saurait être une quantité désignée.