Mémoire sur les lois du mouvement des fluides

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Par M. NAVIER.

Lu à l’Académie royale des Sciences, le 18 mars 1822.

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Par M. NAVIER.

Lu à l’Académie royale des Sciences, le 18 mars 1822.

es géomètres représentent, au moyen d’équations aux différences partielles, les conditions générales de l’équilibre et du mouvement des fluides. Ces équations ont été déduites de divers principes, qui supposent tous que les molécules du fluide sont susceptibles de prendre les unes par rapport aux autres des mouvements quelconques, sans opposer aucune résistance, et de glisser sans effort sur les parois des vases dans lesquels le fluide est contenu. Mais les différences considérables, ou totales, que présentent dans certains cas les effets naturels avec les résultats des théories connues, indiquent la nécessité de recourir à des notions nouvelles, et d’avoir égard à certaines actions moléculaires qui se manifestent principalement dans les phénomènes du mouvement. On sait, par exemple, que, dans le cas où l’eau s’écoule hors d’un vase par un long tuyau d’un petit diamètre, le

conduit à attribuer à ce fluide une vitesse d’écoulement qui surpasse beaucoup celle que l’on observe, et qui est soumise à des lois différentes.

Nous considérons ici un fluide incompressible, et nous nous représentons ce corps comme un assemblage de points matériels, ou molécules, placées à des distances très-petites les unes des autres, et susceptibles de changer presque librement de position les unes par rapport aux autres. Une pression est exercée sur la surface du fluide, et pénètre dans l’intérieur du corps. Elle tend à rapprocher les parties, qui résistent à cette action par des forces répulsives qui s’établissent entre les molécules voisines. Si le fluide est en repos, chaque molécule est en équilibre, en vertu de ces forces répulsives et des forces étrangères, telles que la pesanteur, qui peuvent agir sur elle ; et c’est en cela que consiste l’état du corps.

Si le fluide est en mouvement, ce qui suppose, en général, que les molécules voisines s’approchent ou s’éloignent les unes des autres, il nous paraît naturel d’admettre que les forces répulsives dont il vient d’être question sont modifiées par cette circonstance. Nous concevons en effet que, dans l’état de repos du fluide, les molécules voisines se sont placées à des distances respectives déterminées par la condition d’une destruction mutuelle des forces de répulsion et de compression ; ce qui a déterminé la grandeur du volume occupé par le corps, en raison de la température et de la pression extérieure à laquelle il est soumis. Or, tous les phénomènes indiquent que les actions exercées de molécule à molécule, dans l’intérieur des corps, varient avec la distance des molécules ; que si l’on veut diminuer la distance des parties, on fait naître une force de répulsion ; que si l’on veut augmenter cette distance, on fait naître une force d’attraction. Un liquide résiste beaucoup moins qu’un solide à un effort qui tend à écarter les parties voisines les unes des autres, mais l’expérience prouve que la résistance à l’écartement n’est pas nulle. Nous admettrons d’après ces considérations, que, dans un fluide en mouvement, deux molécules qui s’approchent l’une de l’autre se repoussent plus fortement, et que deux molécules qui s’éloignent l’une de l’autre se repoussent moins fortement qu’elles ne le feraient si leur distance actuelle ne changeait pas ; et nous prendrons pour principe, dans les recherches suivantes, que par l’effet du mouvement d’un fluide, les actions répulsives des molécules sont augmentées ou diminuées d’une quantité proportionnelle à la vitesse avec laquelle les molécules s’approchent ou s’éloignent les unes des autres.

Il s’établit de même, dans l’état d’équilibre, des actions répulsives entre les molécules du fluide et celles des parois solides dans lesquelles il est contenu. Ces actions doivent être également modifiées dans l’état de mouvement, et nous supposerons encore qu’elles sont augmentées ou diminuées de quantités proportionnelles aux vitesses avec lesquelles chaque molécule du fluide s’approche ou s’éloigne de chaque molécule immobile appartenant à la paroi.

Pour exprimer les conditions de l’équilibre d’une portion de fluide conformément aux notions établies ci-dessus, on considérera une molécule placée au point dont les coordonnées sont et une molécule placée au point

très voisin du premier, dont les coordonnées sont On nommera la distance des deux points, en sorte que La force répulsive qui s’établit entre ces deux molécules dépend de la situation du point puisqu’elle doit balancer la pression, qui peut varier dans les diverses parties du fluide. Elle dépend de la distance et, comme toutes les actions moléculaires, décroît très rapidement quand cette distance augmente. On désignera cette force par la fonction à laquelle on attribuera cette propriété, et qui doit être regardée aussi comme dépendante des coordonnées Cela posé, chaque molécule du fluide est sollicitée par des forces semblables, émanant de toutes les molécules qui l’entourent. Nous supposons également cette molécule sollicitée par des forces accélératrices dont les composantes, dans le sens de chaque axe, seront désignées par ces lettres représentant les valeurs des forces, données en unités de poids, et rapportées à l’unité de volume. Il s’agit de trouver les conditions de l’équilibre entre toutes ces forces, et pour cela d’exprimer la somme de leurs moments, et d’égaler cette somme à zéro.

Si, le fluide étant supposé en équilibre, on imprime au système un mouvement très petit, par l’effet duquel la molécule soit déplacée dans le sens de chaque axe des quantités que nous regardons comme des fonctions de la molécule sera déplacée dans les mêmes directions des quantités

Par conséquent, désignant les accroissements des distances qui ont lieu par l’effet de ce mouvement, on a

Mais on a

donc

Le produit représente le moment de la force agissant entre les deux molécules considérée comme étant appliquée au point plus le moment de la même force, considérée comme étant appliquée au point Nous prendrons d’abord la somme des produits semblables, donnés par les forces qui agissent entre la molécule et toutes celles qui l’entourent ; et nous remarquerons qu’il existe autour du point huit points, situés tous à la même distance et pour lesquels les coordonnées relatives ont des valeurs qui diffèrent deux à deux seulement par le signe de l’une des coordonnées. Donc, en ajoutant d’abord les huit valeurs du produit qui répondent à ces huit points, il viendra

Posant maintenant en désignant par une quantité qui ne dépend pas de la distance mais seulement des coordonnées qui déterminent la situation de la molécule et qui mesure la résistance opposée à la pression qui tend à rapprocher les parties du fluide, on aura définitivement

pour l’expression de la somme des moments des forces agissant entre la molécule et toutes celles qui l’entourent.

Pour obtenir maintenant l’expression de la somme des moments de toutes les forces répulsives existantes entre les molécules du fluide, on devra multiplier l’expression précédente par l’élément de volume et intégrer par rapport à dans toute l’étendue du fluide. Il suit de là que l’équation exprimant les conditions de l’équilibre du système est

Nous remarquerons ici que, par le calcul précédent, on prend deux fois la somme des mêmes moments des forces intérieures ; puisque la somme des moments des deux forces agissant suivant la ligne représentée par est comptée par rapport à la molécule et par rapport à la molécule Mais cela est indifférent pour le résultat, puisque le facteur qu’il faudrait appliquer au premier terme de l’équation, peut être supposé compris dans la quantité dont la valeur absolue dépend toujours de la grandeur des forces appliquées au fluide.

En intégrant par parties le premier terme de l’équation précédente, elle se changera en en marquant d’un et de deux accents les lettres représentant les quantités appartenant aux limites des intégrales.

On a donc en premier lieu, pour les conditions de l’équilibre d’un point quelconque de l’intérieur du fluide, les équations indéfinies

qui signifient que les expressions des forces données en fonction de doivent être respectivement les différentielles partielles prises par rapport à à à d’une même fonction de ces coordonnées. La différentielle complète de cette fonction est donc

et l’on a par conséquent

formule où la fonction sous le signe doit être nécessairement susceptible d’une intégration exacte, pour que le fluide soumis à l’action des forces représentées par puisse demeurer en équilibre. Si aucune force n’était appliquée aux points intérieurs du fluide, la valeur de devrait être constante dans toute l’étendue de ce corps.

En second lieu, à l’égard des points appartenant à la surface, si l’on désigne par les angles que forme un plan tangent à la surface mené au point dont les coordonnées sont avec les plans des des et des et par l’élément différentiel de la surface, on pourra remplacer par par et par (Voyez la Mécanique analytique, 1 partie, section , art. 29 et 30). La partie de l’équation qui est relative à ces points devient donc

l’équation différentielle est

en sorte que la résultante des forces agissant sur chaque molécule du fluide placée à la surface libre, doit être dirigée suivant la normale à cette surface.

Dans la partie où la surface du fluide est formée par une paroi solide et fixe, les molécules qui s’y trouvent placées ne pouvant se mouvoir dans le sens de la paroi, on a entre les variations la relation

en vertu de laquelle les termes de l’équation précédente disparaissent d’eux-mêmes en sorte qu’il n’existe aucune condition particulière relative à cette partie de la surface.

Les lois de l’équilibre des fluides, énoncées ci-dessus, sont conformes à celles que les géomètres ont établies d’après le principe de l’équilibre des canaux, ou en supposant le fluide décomposé en éléments rectangulaires infiniment petits, et exprimant que chacun de ces éléments, soumis à l’action des pressions exercées sur ses faces, et des forces accélératrices appliquées aux molécules, doit être en équilibre. La considération des forces répulsives que la pression développe entre les molécules, dont M. de Laplace avait déjà déduit les équations générales du mouvement des fluides, dans le livre de la Mécanique céleste, paraît dépendre plus immédiatement des notions physiques que l’on peut se former sur la nature de ces corps.

Si, dans l’état de mouvement d’un fluide, les forces répulsives existantes entre les molécules ne subissaient aucune altération, les conditions du mouvement se déduiraient de

celles de l’équilibre en exprimant, conformément aux principes de la mécanique, que les forces accélératrices auxquelles sont dus les mouvements de chaque particule sont égales à la résultante des forces qui agissent sur cette particule, et qui se détruisent mutuellement dans l’état d’équilibre. En désignant par les vitesses parallèles aux axes des des et des à la fin du temps de la molécule située dans le point dont les coordonnées sont et par la densité du fluide, on aurait ainsi les trois équations

On devrait avoir également dans tous les points de la surface libre du fluide. Il faudrait exprimer que les molécules contiguës aux parois solides ne peuvent se mouvoir que dans le sens de ces parois. Enfin l’on doit joindre aux équations précédentes celle qui exprime que le volume des parties du fluide est invariable, qui est

Mais, d’après les notions exposées ci-dessus, il est nécessaire d’admettre l’existence de nouvelles forces moléculaires, qui sont développées par l’état de mouvement du fluide. La recherche des expressions analytiques de ces forces est le principal objet que l’on s’est proposé dans la composition de ce mémoire.

Considérons toujours deux molécules très-voisines Les vitesses de la molécule dans le sens des axes étant celles de la molécule sont au même instant

pour la différence des vitesses des molécules placées aux points estimées suivant la ligne en sorte qu’en vertu du principe que nous avons adopté, il s’établit entre ces deux molécules une action proportionnelle à la quantité Si nous multiplions cette quantité par une fonction de la distance des molécules qui ait la propriété de diminuer avec une rapidité extrême quand augmente à partir de zéro, et de devenir nulle dès que a une valeur sensible ; l’expression représentera la force qui existe entre deux molécules quelconques du fluide. Il s’agit de prendre les moments des forces semblables dans toute l’étendue de la masse. Considérant donc le fluide dans son état de mouvement, nous supposerons que l’on donne au système une impulsion par l’effet de laquelle les vitesses actuelles aient varié respectivement des quantités Le produit des forces qui seraient appliquées à la molécule dans le sens des axes multipliées respectivement par ces variations, représenteront les moments de ces forces, et l’on aura de même pour la somme du moment de la force considérée comme agissant de sur et du moment de la même force considérée comme agissant de sur L’expression précédente de donne

Il faut donc prendre la somme des quantités semblables pour toutes les molécules du fluide, considérées deux à deux, afin de la faire entrer dans l’équation générale qui donnera les lois du mouvement. Pour y parvenir, nous prendrons d’abord la somme de ces moments pour les actions réciproques exercées entre la molécule et toutes celles qui l’avoisinent ; puis nous ajouterons les sommes semblables qui seront fournies par tous les points du fluide.

Afin d’effectuer de la manière la plus simple la première intégration, qui doit être faite autour du point nous remarquerons, comme ci-dessus, que l’on peut distinguer avec le point dont les coordonnées comptées du point sont sept autres points situés à la même distance du point dont les coordonnées auront les mêmes valeurs absolues, mais des signes différents. La formule précédente représentera les valeurs des moments relatifs aux actions réciproques du point et de l’un quelconque de ces huit points, en donnant dans cette formule à les signes qui conviennent à chacun d’eux. Si l’on ajoute ensuite les huit valeurs que l’on obtiendra ainsi, les termes contenant des puissances paires des coordonnées se trouveront multipliés par 8, et les termes contenant des puissances impaires de ces mêmes coordonnées se seront détruits réciproquement. Cette circonstance est une suite nécessaire de ce que les valeurs correspondantes aux huit points dont il s’agit, considérées deux à deux, diffèrent seulement par le signe de l’une des coordonnées. La somme cherchée sera donc, en effectuant la multiplication indiquée,

Cette addition étant faite, il ne reste plus qu’à intégrer dans la huitième partie de la sphère dont le point M est le centre, où les valeurs de , , sont positives. À cet effet, on changera ces coordonnées en d’autres coordonnées polaires, et désignant par l’angle du rayon avec sa projection sur le plan des , et par l’angle que forme cette projection avec l’axe des on aura

valeurs qui devront être substituées dans la formule précédente. On la multipliera ensuite par l’expression de l’élément du volume dans le nouveau système de coordonnées, et on intégrera par rapport à et de à et par rapport à de à En faisant abstraction du facteur en on aura d’abord

Multipliant chacune de ces quantités par et intégrant entre les limites indiquées, on trouve pour la valeur commune des trois premières intégrales et pour la valeur commune des trois dernières Par conséquent si nous posons

la somme des moments de toutes les actions exercées réciproquement entre la molécule et celles qui l’avoisinent se trouvera exprimée par

Il faut maintenant prendre la somme des quantités semblables à la précédente pour tous les points de la masse du fluide. On y parviendra en remarquant que, pour tous les points compris dans un élément rectangulaire infiniment petit, dont les dimensions sont les valeurs de ces quantités ne diffèrent pas ; d’où il résulte que la somme de ces quantités, pour tous les points compris dans l’élément, s’obtient en multipliant l’expression précédente par le volume Il ne restera plus qu’à intégrer par rapport à dans toute l’étendue de la masse du fluide. On pourrait d’ailleurs remarquer ici, comme dans le paragraphe, que l’on prend deux fois la somme des moments dont il s’agit, et que, pour une entière exactitude, on doit regarder le facteur comme étant compris dans la constante en outre des facteurs écrits ci-dessus.

Nous venons de trouver l’expression de la somme des moments des forces provenant des actions réciproques des molécules du fluide : nous allons passer maintenant à la recherche de la somme des moments des forces provenant des actions exercées entre les molécules du fluide et celles des parois solides.

Considérons à cet effet un point appartenant à la surface de séparation du fluide et de sa paroi, dont les coordonnées sont et où les valeurs des vitesses du fluide, dans le sens de chaque axe, sont Considérons ensuite une molécule du fluide, placée très-près du point dans le point dont les coordonnées sont Les valeurs des vitesses de la molécule dans le sens de chaque axe, seront

en négligeant les puissances supérieures des quantités qui sont supposées extrêmement petites. La vitesse avec laquelle la molécule s’éloigne du point , est donc égale à

en négligeant toujours les termes du second ordre en par rapport aux termes du premier ordre ; et cette formule représente également la vitesse avec laquelle la molécule du fluide s’éloigne de toutes les molécules de la paroi solide qui sont situées dans le prolongement de la ligne . Il suit de là, et du principe que nous avons énoncé, que les actions réciproques exercées entre la molécule du fluide et une molécule quelconque de la paroi située dans le prolongement de la ligne sont toutes proportionnelles à la quantité précédente. Elles ne diffèrent les unes des autres qu’à raison de l’inégalité des distances entre et les molécules dont il s’agit.

Si d’ailleurs les molécules du fluide reçoivent une impulsion, en vertu de laquelle les vitesses de la molécule , dans le sens de chaque axe, augmentent des quantités la vitesse de cette molécule, dans le sens de la ligne , aura augmenté de la quantité

Donc les moments des actions réciproques entre la molécule et l’une quelconque des molécules de la paroi situées sur le prolongement de la ligne , sont proportionnels à

Ainsi, pour avoir la somme des moments fournis par toutes les actions dont il s’agit, il faudrait multiplier l’expression précédente par une fonction de la distance supposée entre la molécule et une molécule de la paroi, puis intégrer depuis jusqu’à . Or, en faisant cette opération, on doit nécessairement trouver pour résultat l’expression précédente multipliée par une fonction de , qui décroisse très-rapidement quand augmente à partir de , et devienne nulle quand acquiert une valeur sensible. Car l’action de la molécule sur celles de la paroi est nécessairement assujettie à cette condition. Donc, en représentant par une telle fonction, on doit prendre

pour l’expression de la somme des moments des actions exercées entre la molécule du fluide, et celles des molécules de la paroi qui se trouvent dirigées suivant la ligne .

Nous allons maintenant prendre la somme des moments semblables fournis par toutes les molécules du fluide situées dans le voisinage du point . Nous obtiendrons de cette manière la somme des moments de toutes les actions réciproques, entre les molécules du fluide et de la paroi, qui sont dirigées suivant des lignes passant par le point : il ne restera plus qu’à ajouter les sommes semblables fournies par tous les points de la surface du fluide.

Il s’agit donc d’abord d’intégrer l’expression précédente dans l’étendue du fluide qui se trouve à une très-petite distance du point . Cette intégrale doit généralement se prendre d’une manière différente lorsque la paroi est plane, et lorsqu’elle est courbe ; mais ayant supposé précédemment le rayon de la sphère d’activité des actions moléculaires assez petit pour qu’il fût permis de négliger, dans l’étendue de cette sphère, les quarrés des distances par rapport à leurs premières puissances, nous devons admettre, comme une suite de cette hypothèse, que la surface de la paroi (sauf les arêtes ou les points singuliers) se confond avec son plan tangent dans l’espace où l’intégration doit s’effectuer. Ainsi supposant que l’on ait mené par le point à la surface de la paroi un plan tangent, nous prendrons l’intégrale dont il s’agit dans la demi-sphère dont le point est le centre, et qui est terminée par ce plan. Pour fixer la direction du plan tangent mené par le point , soit la direction de la normale à la surface passant par ce point : nous désignerons par l’angle que la projection de cette normale sur le plan des fait avec l’axe des , et par l’angle que la normale elle-même fait avec sa projection.

Cela posé, nous allons d’abord changer les coordonnées en d’autres coordonnées rectangulaires dont les axes seront dirigés comme il suit. La normale est l’axe des . Menant par le point un plan perpendiculaire à cette normale, l’intersection de ce plan avec le plan des est l’axe des . Enfin l’intersection du plan perpendiculaire dont on vient parler avec le plan contenant les lignes est l’axe des . En adaptant à ces suppositions les formules connues pour la transformation des coordonnées rectangulaires, nous aurons

des puissances paires de et , termes qui se trouveront multipliés par 4. Ainsi, effectuant la multiplication indiquée, tout se réduit à intégrer la quantité

dans l’étendue du huitième de sphère où et ont des valeurs positives.

Pour y parvenir nous substituerons, comme ci-dessus, les coordonnées polaires et aux coordonnées rectangulaires, en posant

Mettant donc ces valeurs dans l’expression précédente, et multipliant par l’élément de volume , nous aurons à prendre d’abord les trois intégrales

entre les limites et et nous trouverons pour leur valeur commune Substituant cette valeur à la place de et ; posant

et ayant égard aux réductions qui s’opèrent, il viendra définitivement

pour l’expression cherchée de la somme des moments de toutes les actions qui s’exercent entre les molécules de la paroi et du fluide, suivant des directions qui passent par le point de la surface de séparation du fluide et de la paroi. La lettre représente une constante dont la valeur sera donnée par l’expérience, d’après la nature de la paroi et du fluide, et qui peut être regardée comme la mesure de leur action réciproque. On prendra ensuite la somme des moments de toutes les actions semblables, en multipliant l’expression précédente par l’élément de la surface du fluide, et intégrant dans toute l’étendue de cette surface.

Il résulte de tout ce qui précède, qu’en admettant les principes énoncés dans l’article de ce Mémoire, l’équation générale exprimant l’égalité à zéro de la somme des moments des forces appliquées aux molécules d’un fluide incompressible, dans l’état de mouvement, est

Le signe désigne une intégration effectuée dans toute l’étendue de la surface du fluide, en faisant varier la quantité suivant la nature des corps avec lesquels cette surface est en contact. Il est inutile de tenir compte des termes relatifs à l’équilibre des points de cette surface, puisque, pourvu que l’on ait dans les points appartenant à la partie où la surface est libre, ces termes disparaissent.

En passant dans le second terme de l’équation précédente le devant le , et effectuant les intégrations par parties, ce terme se changera en

en marquant par un trait les quantités qui se rapportent à la première limite des intégrales, et par deux traits celles qui se rapportent à la seconde limite. Nous remarquerons d’abord que l’équation de continuité

à laquelle les valeurs de doivent satisfaire dans toute l’étendue du fluide, donne, en la différentiant successivement par rapport à , à et à ,

D’après ces relations, l’expression précédente se réduit à

On voit donc en premier lieu que les équations indéfinies du mouvement du fluide deviendront respectivement

En second lieu, à l’égard des conditions qui se rapportent aux points de la surface du fluide, si l’on désigne, comme on l’a fait plus haut, par les angles que le plan tangent à la surface forme avec les plans des , des et des si on remplace par par par et les doubles signes d’intégration relatifs à par le signe relatif à : il sera nécessaire, pour que les termes affectés des quantités soient respectivement réduits à zéro, que l’on ait, pour chacun des points de la surface du fluide, les équations déterminées

La valeur de la constante doit varier suivant la nature des corps avec lesquels le fluide est en contact, et (ce qui est physiquement impossible) s’il y avait un espace vide au-dessus de la portion libre de la surface du fluide, ces équations devraient encore être satisfaites pour les points appartenant à cette portion, en y supposant .

Les équations précédentes peuvent encore être simplifiées. En effet, les molécules du fluide contiguës à la paroi ne pouvant se mouvoir dans une direction perpendiculaire à la surface, on a la relation

en vertu de laquelle elles se réduisent à

Dans un point où la paroi serait perpendiculaire à l’axe des , on aurait simplement

Si elle était perpendiculaire à l’axe des

et si elle était perpendiculaire à l’axe des

On peut, d’après ce qui précède, se former une notion exacte de la nature des constantes et . Concevons une portion de fluide reposant sur un plan, et dont, toutes les molécules se meuvent suivant des lignes parallèles entre elles et à ce plan. Admettons que les vitesses des molécules du fluide comprises dans une même couche parallèle au plan soient égales entre elles ; et que les vitesses de chaque couche, à mesure qu’elles sont plus éloignées du plan, augmentent progressivement et uniformément, en sorte que deux couches dont la distance est égale à l’unité linéaire ont des vitesses dont la différence est aussi égale à l’unité linéaire. Dans cette hypothèse la constante représenté en unités de poids la résistance provenant du glissement de deux couches quelconques l’une sur l’autre, pour une étendue égale à l’unité superficielle.

Si de plus on suppose que la vitesse de la couche en contact avec le plan formant une paroi fixe est égale à l’unité linéaire, la constante représente en unités de poids la résistance provenant du glissement de cette couche sur la paroi, pour une étendue égale à l’unité superficielle.

On considère un tuyau dont les parois sont formées par quatre plans parallèles aux plans des et des . L’axe du tuyau se confond avec l’axe des , qui forme avec l’horizon un angle . Toutes les molécules du fluide sont supposées se mouvoir suivant des directions parallèles à l’axe du tuyau. On a donc ici et désignant par la vitesse que la gravité imprime aux corps pesants dans l’unité de temps, en supposant que les et les positives sont comptées de haut en bas. L’équation de continuité se réduit à ce qui apprend que est fonction de et seulement, ou que toutes les molécules situées sur une même ligne parallèle à l’axe du tuyau doivent à chaque instant avoir les mêmes vitesses. Les équations indéfinies deviennent

et l’on doit y satisfaire dans toute l’étendue du fluide. Il faut de plus, en désignant par la demi-largeur, et par la demi-épaisseur du tuyau, que l’on ait

La valeur de la pression est indépendante de , en sorte qu’elle est la même pour tous les points situés sur une même ligne horizontale perpendiculaire à l’axe du tuyau. Nommons la distance fixe ou variable de l’extrémité supérieure de la portion de fluide contenue dans le tuyau à l’origine des , la longueur de la partie du tuyau occupée par le fluide, et étant mesures sur l’axe. Désignons par et les hauteurs dues aux pressions qui ont lieu respectivement aux deux extrémités du fluide, pour les points situés dans l’axe, pressions que nous supposerons constantes. Il faudra que l’on ait quand et quand L’expression

satisfait à ces conditions, aussi bien qu’à la troisième des équations indéfinies. En substituant cette expression dans la première de ces équations, et posant il viendra

La quantité représente la différence de niveau des extrémités supérieures des lignes et supposées portées verticalement aux deux extrémités du fluide. La question se réduit maintenant à trouver une expression de qui satisfasse en même temps à cette équation, aux deux équations déterminées écrites ci-dessus, et à l’état initial du fluide.

On satisfait à l’équation précédente au moyen de l’expression

étant des nombres quelconques, représentant un coefficient arbitraire, et un coefficient déterminé par la condition

En substituant ensuite l’expression de dans les deux équations déterminées, et faisant dans la première , et dans la seconde , il en résulte les équations

qui donneront chacune pour et une infinité de valeurs, au moyen desquelles on formera les termes des séries qui entrent dans l’expression de . Il ne reste plus qu’à déterminer les coefficients de ces termes, que nous avons représentés par et . Pour trouver d’abord les coefficients représentés par , on multipliera l’équation dont ils dépendent par et l’on intégrera par rapport à entre les limites et , et par rapport à entre les limites et ce qui donnera

Or on démontre que, les nombres étant supposés assujettis, comme les nombres aux équations déterminées précédentes, la valeur de l’intégrale double indiquée dans le second membre sera 0 si diffère de , ou si diffère de ; mais que, dans le cas où et , la valeur de cette intégrale est

(Voyez la Théorie de la chaleur, page 399). D’un autre côté, la valeur de l’intégrale double indiquée dans le premier membre est alors L’équation précédente se réduit donc à

ce qui donne la valeur de chacun des coefficients représentés par . Quant aux autres coefficients, ils se détermineront de la même manière par la considération de l’état initial du fluide. Si l’on désigne par la vitesse initiale du filet de fluide dont la position est fixée par les coordonnées on devra avoir

Il résulte de ce qui précède que, quel que soit le mouvement initial du fluide, ce mouvement s’approche continuellement d’un même état régulier et permanent, entièrement indépendant de cet état initial, et dont la nature est exprimée par l’équation

On forme les termes de la série en donnant successivement à toutes les valeurs qui satisfont aux équations déterminées transcendantes Dans aucun cas le véritable mouvement du fluide, après un temps déterminé, ne différera sensiblement de celui qui est représenté par cette équation.

Pour trouver la vitesse moyenne des filets du fluide, il faut multiplier l’expression précédente par intégrer dans toute l’étendue de la section transversale du tuyau, et diviser par l’aire de cette section transversale. En nommant cette vitesse , on a donc