Recherches générales sur les surfaces courbes

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SUR

Par M. GAUSS.

Traduit du latin par M. A.,

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SUR

Par M. GAUSS.

Traduit du latin par M. A.,

.

PARIS,

BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE

du bureau des longitudes, de l’école polytechnique, etc.,

Quai des Augustins, n 55.

1852

RECHERCHES GÉNÉRALES

sur

Par M. GAUSS.

Traduit du latin par M. A.,

-

(Extrait des Nouvelles Annales de Mathématiques, tome .)

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Les recherches dans lesquelles on s’occupe des directions de diverses droites dans l’espace sont, la plupart du temps, portées à leur plus haut point d’évidence et de simplicité, si l’on se sert, comme auxiliaire, d’une surface sphérique d’un rayon égal à , décrite autour d’un centre arbitraire, et dont les différents points seront censés représenter les directions des droites parallèles aux rayons terminés à cette surface. La situation de tous les points dans l’espace étant déterminée par trois coordonnées savoir, par les distances à trois plans fixes normaux entre eux, il faut, avant tout, considérer les directions des axes normaux à ces plans : nous désignerons par les points de la surface de la sphère qui représentent ces directions ; leur distance mutuelle sera donc un quadrant. Du reste, nous supposerons les directions des axes allant vers les régions pour lesquelles les coordonnées correspondantes reçoivent un accroissement.

Il ne sera pas inutile de mettre ici sous les yeux quelques propositions qui sont d’un usage fréquent dans les questions de ce genre.

1. L’angle de deux droites qui se coupent a pour mesure l’angle compris entre les points qui, sur la surface de la sphère, répondent à leurs directions.

2. La situation d’un plan quelconque peut être représentée par le grand cercle de la sphère, dont le plan lui est parallèle.

3. L’angle entre deux plans est égal à l’angle sphérique compris entre les deux grands cercles qui les représentent, et, par conséquent, a pour mesure l’arc intercepté entre les pôles de ces grands cercles. Par suite, l’inclinaison d’une droite sur un plan a pour mesure l’arc mené normalement du point qui répond à la direction de la droite, au grand cercle qui représente la situation du plan.

4. Désignant par les coordonnées de deux points, par la distance entre ces points, et par le point qui, sur la surface de la sphère, représente la direction de la droite menée du premier point au second, on aura

5. De là on déduit facilement qu’on a, en général,

et, en désignant par un autre point quelconque de la surface de la sphère,

6. Théorème. En désignant par quatre points sur la surface de la sphère, et par l’angle que les arcs forment à leur point de concours, on aura

Démonstration. Dénotons de plus, par la lettre , le point même de concours, et posons

nous avons ainsi :

et, par conséquent,

D’ailleurs, comme il part du point deux branches de chaque grand cercle, il se forme en ce point deux angles, dont l’un est le complément de l’autre à 180degrés : mais notre analyse montre qu’on doit prendre les branches dont les directions concordent avec le sens de la marche du point vers , et du point vers : ceci compris, on voit en même temps que, les grands cercles concourant en deux points, on peut prendre arbitrairement celui des deux qu’on voudra. Au lieu de l’angle , on peut aussi prendre l’arc compris entre les pôles des grands cercles dont font partie les arcs ; mais il est évident qu’on doit prendre les pôles qui sont situés semblablement par rapport à ces arcs, c’est-à-dire que les deux pôles soient situés à droite, quand on marche de vers , et de vers , ou bien tous les deux à gauche.

7. Soient trois points sur la surface de la sphère, et posons, pour abréger,

et

Que désigne celui des pôles du grand cercle, dont l’arc fait partie, qui est placé par rapport à cet arc de la même manière que le point est placé par rapport à l’arc Alors on aura, d’après le théorème précédent,

ou, à cause de degrés,

et, de la même manière,

Multipliant ces équations respectivement par et ajoutant, nous obtiendrons, au moyen du second théorème rapporté au n 5,

Il faut maintenant distinguer trois cas. Premièrement, chaque fois que est situé sur le grand cercle dont fait partie l’arc , on aura degrés, et par suite, . Mais quand est situé hors de ce grand cercle, on aura le deuxième cas, s’il est dans le même hémisphère que ; le troisième, s’il est dans l’hémisphère opposé : dans ces derniers cas, les points formeront un triangle sphérique, et seront placés, dans le deuxième cas, dans le même ordre que les points et, dans le troisième cas, dans l’ordre opposé. En désignant simplement par les angles de ce triangle et par la perpendiculaire menée, sur la surface de la sphère, du point au côté on aura

, et

le signe supérieur devant être pris dans le deuxième cas, et le signe supérieur dans le troisième. De là aussi nous tirons

Il est d’ailleurs évident que le premier cas peut être censé compris dans le deuxième ou le troisième, et l’on voit sans embarras que est égal à six fois le volume de la pyramide formée entre les points et le centre de la sphère. Enfin, on tire de là avec la plus grande facilité, que la même expression exprime généralement le volume d’une pyramide quelconque comprise entre l’origine des coordonnées et les points dont sont les coordonnées.

Une surface courbe est dite avoir une courbure continue en un point situé sur elle, si les directions de toutes les droites menées du point à tous les points de la surface infiniment peu distants de , ne s’écartent qu’infiniment peu d’un seul et même plan passant par : ce plan est dit tangent à la surface au point . Si l’on ne peut satisfaire à cette condition en quelque point, la continuité de la courbure est interrompue en cet endroit, comme il arrive, par exemple, au sommet du cône. Les recherches présentes seront restreintes aux surfaces courbes, ou aux portions de surface, pour lesquelles la continuité de courbure n’est nulle part interrompue. Nous observons seulement ici, que les méthodes qui servent à déterminer la position du plan tangent perdent leur valeur pour les points singuliers dans lesquels la continuité de courbure est interrompue, et doivent conduire à des indéterminations.

La situation d’un plan tangent est connue commodément par la position de la droite qui lui est normale au point cette droite est dite aussi, normale à cette surface courbe. Nous représenterons la direction de cette normale par le point sur la surface de la sphère auxiliaire, et nous poserons

nous désignons par les coordonnées du point Soient, de plus, les coordonnées d’un autre point pris sur la surface courbe ; sa distance infiniment petite au point enfin le point de la surface sphérique représentant la direction de l’élément On aura aussi

et, puisque l’on doit avoir degrés,

De la combinaison de ces équations dérive

On a deux méthodes générales pour montrer le caractère d’une surface courbe. La première méthode se sert de l’équation entre les coordonnées que nous supposerons réduite à la forme où sera fonction des indéterminées Soit la différentielle complète de la fonction

on aura, pour la surface courbe,

et, par suite,

Comme cette équation, de même que celle que nous avons établie plus haut, doit avoir lieu pour les directions de tous les éléments sur la surface courbe, on verra facilement que doivent être proportionnels à et, par suite, comme on aura, ou

ou

La seconde méthode exprime les coordonnées sous forme de fonctions de deux variables et Supposons que, par la différentiation de ces fonctions, il vienne

Par la substitution de ces valeurs dans la formule donnée plus haut, on obtient

Comme cette équation doit avoir lieu indépendamment des valeurs des différentielles on devra avoir, évidemment,

d’où nous voyons que doivent être proportionnels aux quantités

Ainsi, en posant, pour abréger,

on aura, ou

ou

À ces deux méthodes générales, vient s’ajouter une troisième, dans laquelle une des coordonnées, par exemple, se présente sous forme de fonction des deux autres Cette méthode n’est évidemment autre chose qu’un cas particulier de la première méthode ou de la seconde. Si l’on pose

on aura, ou

ou

Les deux solutions trouvées dans l’article précédent se rapportent, évidemment, à des points opposés de la surface sphérique, ou à des directions opposées ; ce qui est dans la nature même des choses, puisque l’on peut mener une normale aux deux faces (plagæ) d’une surface courbe. Si l’on veut distinguer entre elles ces deux régions, contiguës à sa surface, et appeler l’une extérieure et l’autre intérieure, nous pourrons attribuer à l’une et à l’autre normale sa solution convenable, au moyen du théorème développé dans le n 7 de l’art. , et en même temps nous aurons un criterium pour distinguer une région de l’autre.

Dans la première méthode, ce criterium sera donné par le signe de la valeur de la quantité . Généralement parlant, la surface courbe sépare les parties de l’espace pour lesquelles a une valeur positive, des parties pour lesquelles la valeur de devient négative. Mais ce théorème fait voir facilement que si acquiert une valeur positive vers la face extérieure, et que l’on conçoive une normale menée en dehors, on devra adopter la première solution. Du reste, dans chaque cas, on jugera facilement si la même règle pour le signe de a lieu pour la surface entière, ou si elle varie avec les différentes parties. Tant que les coefficients ont des valeurs finies, et ne deviennent pas nuls tous les trois à la fois, la loi de la continuité empêchera toute incertitude.

Si nous suivons la deuxième méthode, nous pouvons concevoir sur la surface courbe deux systèmes de lignes courbes : l’un, pour lequel est variable et constant ; l’autre, pour lequel est variable, constant ; la position mutuelle de ces lignes par rapport à la région extérieure, doit décider laquelle des solutions il faut adopter. Toutes les fois que les trois lignes suivantes, savoir, la branche de la ligne du premier système qui partant de croît avec la branche du second système partant de et croissant avec et la normale menée vers le côté extérieur, sont placées d’une manière semblable à celle des axes des à partir de l’origine des abscisses (par exemple, si, tant pour ces trois lignes que pour les trois autres, on peut concevoir la première dirigée vers la gauche, la deuxième vers la droite, et la troisième de bas en haut), la première solution doit être adoptée ; mais chaque fois que la position mutuelle des trois premières lignes sera opposée à la position mutuelle des trois axes des la seconde solution aura lieu.

Dans la troisième méthode il faut voir si, quand prend un accroissement positif, et ne changeant point, le passage se fait vers la région extérieure ou intérieure. Dans le premier cas, pour la normale dirigée vers l’extérieur, la première solution aura lieu ; dans le second cas, la seconde.

De même qu’en transportant à la surface de la sphère la direction de la normale à la surface courbe, à chaque point déterminé de cette surface répond un point déterminé de la sphère ; de même aussi une ligne quelconque, ou une figure quelconque sur la première surface, sera représentée par une ligne ou une figure correspondante sur la seconde. Dans la comparaison de deux figures se correspondant de cette manière mutuellement, dont l’une sera comme l’image de l’autre, deux points essentiels sont surtout à considérer ; l’un, quand on n’a égard qu’à la quantité seulement ; l’autre, quand, en faisant abstraction des relations quantitatives, on ne s’attache qu’à la seule position.

Le premier de ces points sera la base de quelques notions, qu’il paraît utile d’admettre dans la doctrine des surfaces courbes. Savoir, à chaque partie de la surface courbe enfermée dans des limites déterminées, nous assignons une courbure totale ou entière, qui est exprimée par l’aire de la figure qui lui correspond sur la surface sphérique. Il faut distinguer avec soin de cette courbure totale, la courbure en quelque sorte spécifique, que nous appellerons mesure de la courbure : cette dernière est rapportée à un point de la surface, et désignera le quotient qu’on obtient quand on divise la courbure totale de l’élément superficiel adjacent au point par l’aire de cet élément, et, par conséquent, indique le rapport des aires infiniment petites qui se correspondent mutuellement sur la surface courbe et sur la surface sphérique. L’utilité de ces innovations sera abondamment justifiée, comme nous l’espérons, par ce que nous expliquerons par la suite. Quant à ce qui regarde la terminologie, nous nous sommes surtout attaché à écarter toute ambiguïté ; c’est pourquoi nous n’avons pas jugé convenable de suivre strictement l’analogie de la terminologie ordinairement adoptée dans la doctrine des lignes courbes planes (quoique non approuvée de tous), suivant laquelle par la mesure de la courbure on eût dû entendre simplement la courbure, et par courbure entière, l’amplitude. Mais pourquoi se montrer difficile sur les mots, pourvu qu’il n’y ait pas vide d’idées, et que la diction ne donne pas lieu à une interprétation erronée ?

La position de la figure sur la surface sphérique peut être semblable ou opposée (inverse) à la position de la figure correspondante sur la surface courbe : le premier cas a lieu, quand deux lignes sur la surface courbe, partant du même point dans des directions différentes, mais non opposées, sont représentées sur la surface de la sphère par des lignes semblablement placées, savoir, quand l’image de la ligne placée à droite est elle-même à droite ; dans le second cas, le contraire a lieu. Nous distinguerons ces deux cas par le signe positif ou négatif de la mesure de la courbure ; mais évidemment cette distinction ne peut avoir lieu qu’autant que sur chaque surface nous prenons une région déterminée, dans laquelle on doit concevoir la figure. Dans la sphère auxiliaire, nous emploierons toujours la face extérieure, opposée au centre ; dans la surface courbe, on peut aussi adopter la face extérieure, ou celle qui est considérée comme extérieure, ou plutôt la région à laquelle on conçoit élevée une normale : car évidemment, par rapport à la similitude des figures, rien n’est changé, si sur la surface courbe on transporte à la région opposée tant la figure que sa normale, pourvu que son image soit toujours peinte dans la même région de la surface sphérique.

Le signe positif ou négatif, que nous avons assigné à la mesure de la courbure pour la position d’une figure infiniment petite, nous l’étendons aussi à la courbure totale d’une figure finie sur la surface courbe. Si cependant nous voulons embrasser cette matière dans toute sa généralité, il est besoin de quelques éclaircissements, que nous ne ferons que toucher ici en passant. Quand la figure sur la surface courbe est de telle nature qu’à chacun des points dans son intérieur répond sur la surface de la sphère un point différent, la définition n’a pas besoin d’explication ultérieure. Mais chaque fois que cette condition n’a pas lieu, il sera nécessaire de faire entrer en compte deux ou plusieurs fois certaines parties de la figure sur la surface sphérique, d’où, pour une position semblable ou opposée, pourra naître une accumulation ou une destruction. Le plus simple, en pareil cas, est de concevoir la figure sur la surface courbe divisée en parties telles, que chacune, considérée isolément, satisfasse à la condition précédente, d’attribuer à chacune d’elles sa courbure totale, en en déterminant la quantité par l’aire de la figure correspondante sur sa surface sphérique, et le signe par la position, et enfin d’assigner à la figure entière la courbure totale provenant de l’addition des courbures totales qui répondent aux différentes parties. Ainsi généralement la courbure totale d’une figure est égale à en dénotant par l’élément de l’aire de la figure, et par la mesure de la courbure en un point quelconque. Quant à ce qui appartient à la représentation géométrique de cette intégrale, ce qu’il y a de principal sur ce sujet revient à ce qui suit. Au contour de la figure sur la surface courbe (sous la restriction de l’art. ) correspondra toujours sur la surface sphérique une ligne revenant sur elle-même. Si elle ne se coupe point elle-même en aucun endroit, elle partagera toute la surface sphérique en deux parties, dont l’une répondra à la figure sur la surface courbe, et dont l’aire (prise positivement ou négativement suivant que par rapport à son contour elle est placée d’une maniére semblable à celle de la figure sur la surface courbe par rapport au sien, ou d’une manière inverse), donnera la courbure totale de cette dernière. Mais chaque fois que cette ligne se coupe elle-même une ou plusieurs fois, elle présentera une figure compliquée, à laquelle cependant on peut attribuer une aire déterminée avec autant de raison qu’aux figures sans nœuds ; et cette aire, comprise comme elle doit l’être, donnera toujours une valeur exacte de la courbure totale. Nous nous réservons cependant de donner à une autre occasion une exposition plus étendue sur le sujet des figures conçues de la manière la plus générale.

Cherchons maintenant une formule pour exprimer la mesure de la courbure pour un point quelconque de la surface courbe. En dénotant par l’aire d’un élément de cette surface, sera l’aire de la projection de cet élément sur le plan des coordonnées et, par suite, si est l’aire de l’élément correspondant sur la surface sphérique, sera l’aire de la projection sur le même plan : le signe positif ou négatif de indiquera que situation de la projection est semblable ou opposée à la situation de l’élément projeté. Ces projections ont donc évidemment entre elles le même rapport quant à la quantité, et aussi le même rapport quant à leur situation, que les éléments eux-mêmes. Considérons maintenant un élément triangulaire sur la surface courbe, et supposons que les coordonnées des trois points, qui forment sa projection, sont

Le double de l’aire de ce triangle sera exprimé par la formule

et sous une forme positive ou négative, suivant que la position du côté qui joint le premier point au troisième par rapport au côté qui joint le premier point au second est semblable, ou opposée à la position de l’axe des coordonnées par rapport à l’axe des coordonnées

Par conséquent, si les coordonnées de trois points, qui forment la projection de l’élément correspondant sur la surface sphérique, prises à partir du centre de la sphère, sont

et le signe de cette expression se détermine de la même manière que ci-dessus. Donc la mesure de la courbure en ce lieu de la surface sera

Si nous supposons que la nature de la surface est donnée suivant le troisième mode considéré dans l’article IV, on aura et sous forme de fonctions des quantités et ; d’où

Par la substitution de ces valeurs, l’expression précédente se change en celle-ci :

Posant, comme plus haut,

et de plus,

ou

nous aurons, d’après des formules données plus haut,

Par un choix convenable de l’origine et des axes des coordonnées, on peut faire facilement que, pour un point déterminé les valeurs des quantités s’évanouissent. D’abord les deux premières conditions sont remplies, si l’on prend le plan tangent en ce point pour plan des coordonnées Si, de plus, on place

en ce point, l’expression des coordonnées acquiert évidemment cette forme,

où sera d’un ordre plus élevé que le second. Faisant ensuite tourner dans leur plan les axes des d’un angle tel qu’on ait

on voit facilement que l’équation prendra cette forme,

et l’on satisfait ainsi à la troisième condition. Cela fait, on voit que :

1. Si la surface courbe est coupée par un plan normal, et passant par l’axe des coordonnées le rayon de courbure de la section au point sera égal à le signe positif ou négatif indiquant que la courbe tourne sa concavité ou sa convexité vers la région où les coordonnées sont positives.

2. De la même manière, sera au point le rayon de courbure d’une courbe plane, section de la surface courbe par le plan passant par le plan des

3. En posant on a

d’où l’on conclut que, si la section est faite par un plan normal en à la surface, et faisant avec l’axe des l’angle le rayon de courbure au point sera égal à

4. Chaque fois donc qu’on aura les rayons de courbure seront égaux dans tous les plans normaux. Mais, si et sont inégaux, il est évident, puisque, pour une valeur quelconque de l’angle tombe entre et que les rayons de courbure dans les sections principales, considérées dans les 1 et 2, se rapportent aux courbures extrêmes, savoir : l’un à la courbure maximum, l’autre à la courbure minimum, si et sont affectés du même signe ; et, au contraire, l’un à la plus grande convexité, l’autre à la plus grande concavité, si et ont des signes contraires. Ces conclusions contiennent presque tout ce que l’illustre Euler nous a enseigné le premier sur la courbure des surfaces.

5. La mesure de la courbure de la surface en un point prend l’expression très-simple d’où nous avons :

Théorème. La mesure de la courbure en un point quelconque d’une surface est égale à une fraction, dont le numérateur est l’unité, et dont le dénominateur est le produit des deux rayons de courbures extrêmes dans les sections faites par les plans normaux.

On voit en même temps que la mesure de la courbure est positive pour les surfaces concavo-concaves ou convexo-convexes (ce qui ne fait pas une différence essentielle), et négative pour les concavo-convexes. Si la surface est composée de parties de chaque espèce, sur leurs confins la mesure de la courbure devra s’annuler. On s’étendra plus longuement dans la suite sur la nature des surfaces courbes pour lesquelles la mesure de la courbure est partout nulle.

La formule générale pour la mesure de la courbure donnée à la fin de l’VII est de toutes la plus simple, puisqu’elle implique seulement cinq éléments ; nous serons conduits à une formule plus compliquée, renfermant neuf éléments, si nous voulons employer la première manière d’exprimer la nature d’une surface. En conservant les notations de l’IV, nous poserons, de plus,

Nous tirons de là,

En substituant ces valeurs dans la formule de l’art. VII, nous obtenons, pour la mesure de la courbure , l’expression symétrique suivante,

align=left | | align=left |

On obtiendra une formule encore plus compliquée, composée de quinze éléments, en suivant la seconde méthode générale pour exprimer la nature des surfaces courbes. Il est cependant très-important de l’élaborer aussi. En conservant les signes de l’art. IV, posons, en outre,

Faisons encore, pour abréger,

On a d’abord

ou

Nous tirons de

Les différentielles complètes de et de sont donc

Si maintenant, dans ces formules, nous substituons

et si nous considérons que les valeurs des différentielles ainsi obtenues, doivent être respectivement égales, indépendamment des différentielles aux quantités nous trouverons, après quelques transformations qui se présentent assez naturellement,

Si donc, pour abréger, nous posons

(1)

(2)

(3)

on a

De là, en faisant le développement,

et, par conséquent, la formule, pour la mesure de la courbure,

À l’aide de la formule que nous venons de trouver, nous en établirons une autre, qui doit être rangée parmi les théorèmes les plus féconds dans la doctrine des surfaces courbes. Introduisons les notations suivantes :

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Éliminons des équations (1), (4), (7) les quantités ce que nous ferons en les multipliant par , et les ajoutant, il viendra

équation que nous transformons facilement en celle-ci,

De la même manière, l’élimination des quantités ou des mêmes équations, donne

En multipliant ces trois équations par et les ajoutant, on obtient

ces équations étant multipliées par leur addition donne

La combinaison de cette equation avec l’équation (10) donne

Il est évident qu’on a

Si nous substituons ces diverses expressions dans la formule que nous avons trouvée à la fin de l’article précédent pour la mesure de la courbure, nous parvenons à la formule suivante, qui ne contient que les seules quantités et leurs quotients différentiels du premier et du second ordre,

Comme on a

Supposons que notre surface courbe puisse être développée sur une autre surface, courbe ou plane, de façon qu’à chaque point de la première surface, déterminé par les coordonnées réponde un point déterminé de la seconde surface, dont les coordonnées soient Évidemment pourront aussi être considérées comme des fonctions des indéterminées d’où viendra, pour l’élément l’expression

Théorème. Si une surface courbe est développée sur une autre surface quelconque, la mesure de la courbure en chaque point reste invariable.

Évidemment aussi, une partie quelconque finie d’une surface courbe, après son développement sur une autre surface courbe, conservera la même courbure totale.

Le cas spécial, auquel les géomètres ont restreint jusqu’ici leurs recherches, consiste dans les surfaces développables sur un plan. Notre théorie apprend spontanément que la mesure de la courbure de telles surfaces en un point quelconque est zéro ; par conséquent, si leur nature est exprimée suivant la troisième méthode, on aura partout

Ce que nous avons exposé dans l’article précédent se rattache à une manière particulière de considérer les surfaces, digne au plus haut point d’être cultivée avec soin par les géomètres. Quand l’on considère une surface non comme la limite d’un solide, mais comme un solide flexible quoique inextensible, dont une des dimensions est regardée comme évanouissante, les propriétés de la surface dépendent, en partie de la forme à laquelle on la conçoit réduite, en partie sont absolues, et restent invariables, suivant quelque forme qu’on la fléchisse. C’est à ces dernières propriétés, dont la recherche ouvre à la géométrie un champ nouveau et fertile, que doivent être rapportées la mesure de la courbure et la courbure totale, dans le sens que nous avons donné à ces expressions ; à elles aussi appartiennent la doctrine des lignes les plus courtes, et la

Dans ce genre de considérations, une surface plane et une surface développable sur un plan, par exemple une surface cylindrique, conique, etc., sont regardées comme essentiellement identiques, et la manière naturelle d’exprimer généralement le caractère de la surface ainsi considérée est toujours fondée sur la formule

qui lie l’élément linéaire aux deux indéterminées Mais, avant de poursuivre ultérieurement ce sujet, il faut s’occuper d’abord des principes de la théorie des lignes de plus courte distance sur une surface courbe.

La nature d’une ligne courbe dans l’espace est donnée généralement de telle sorte, que les coordonnées répondant à ses divers points, se présentent sous la forme de fonctions d’une variable que nous dénoterons par La longueur d’une telle ligne, depuis un point initial arbitraire jusqu’au point dont les coordonnées sont est exprimée par l’intégrale

Si l’on suppose que la position de la ligne courbe éprouve une variation infiniment petite, de façon que les coordonnées des divers points reçoivent les variations on trouve la variation de toute la longueur

Dans le cas où la ligne est la plus courte entre ses points extrêmes, on sait que tout ce qui se trouve sous le signe intégral doit s’évanouir. Quand la ligne doit être sur une surface donnée par l’équation

les variations doivent satisfaire aussi à l’équation

d’où, par des principes connus, on voit facilement que les différentielles

doivent être respectivement proportionnelles aux quantités Soient maintenant l’élément d’une ligne courbe, un point sur la surface de la sphère représentant la direction de cet élément, un point sur la surface de la sphère représentant la direction de la normale à la surface courbe ; soient enfin les coordonnées du point et les coordonnées du point par rapport au centre de la sphère. On aura ainsi

Du reste, on voit facilement que est égal, sur la surface sphérique, au petit arc qui mesure l’angle compris entre les directions des tangentes, au commencement et à la fin de l’élément et que, par suite, il est égal à si dénote le rayon de courbure en ce lieu de la courbe la plus courte. On aura ainsi

Supposons que sur la surface courbe, il parte d’un point donné une multitude de courbes de plus courte distance, que nous distinguerons entre elles par l’angle que forme le premier élément de chacune d’elles avec le premier élément de l’une de ces lignes prise pour la première ; soient cet angle, ou plus généralement une fonction de cet angle, et la longueur de la ligne la plus courte du point jusqu’au point dont les coordonnées sont Comme, à des valeurs déterminées des variables répondent des points déterminés de la surface, les coordonnées peuvent être considérées comme des fonctions de Nous conserverons d’ailleurs la même signification que dans l’article précédent aux notations de façon à les rapporter généralement à un point quelconque d’une quelconque des lignes de plus courte distance.

Toutes les lignes de plus courte distance, qui sont d’une

égale longueur se termineront à une autre ligne, dont nous désignerons par la longueur comptée d’une origine arbitraire. On pourra ainsi considérer comme une fonction des indéterminées ; et si nous désignons par un point sur la surface de la sphère correspondant à la direction de l’élément et par les coordonnées de ce point par rapport au centre de la sphère, nous aurons

De là et de

il suit

.

Désignons le premier membre de cette équation, qui sera aussi fonction de par sa différentiation suivant donne

.

Mais par suite, sa différentielle est égale à zéro, et, par l’article précédent, nous avons, si désigne toujours le rayon de courbure dans la ligne

Théorème. — Si l’on mène sur une surface courbe d’un même point initial une multitude de lignes de plus courte distance de même longueur, la ligne qui joindra leurs extrémités sera normale à chacune d’elles.

Nous avons tenu à déduire ce théorème de la propriété fondamentale des lignes de plus courte distance. Du reste, on peut se convaincre de sa vérité, sans aucun calcul, par le raisonnement suivant : Soient deux lignes de plus courte distance de même longueur, comprenant en un angle infiniment petit ; et supposons que l’un des angles de l’élément avec les lignes , diffère d’une quantité finie de l’angle droit, d’où, par la loi de la continuité, l’un sera plus grand, l’autre moindre que l’angle droit. Supposons que l’angle en et prenons sur la ligne un point , tel qu’on ait