Éloge historique d’Henri Poincaré par Gaston Darboux

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ÉLOGE HISTORIQUE

D’HENRI POINCARÉ

MEMBRE DE L’ACADÉMIE

II

Muni de ses deux baccalauréats, Poincaré entra dans la classe de Mathématiques élémentaires, où il commença à donner des preuves de ses aptitudes extraordinaires. À la fin de cette année scolaire 1871-1872, il obtint le premier prix de Mathématiques élémentaires au Concours général, où il avait à se mesurer avec les élèves de tous les lycées de France, et se présenta pour faire plaisir à son professeur, à l’École Forestière, où il fut reçu deuxième.

L’année suivante, il entra en Mathématiques spéciales, où il rencontra deux jeunes camarades qui devaient se faire un nom dans la Science, Paul Appell, qui siège aujourd’hui à notre bureau, et Colson, qui professe à l’École Polytechnique et a été plusieurs fois notre lauréat.

Dès la première leçon, nous dit M. Colson, le nouvel élève, un peu voûté déjà perché sur les gradins supérieurs comme il convient à un nouveau, sortit de sa poche un faire part d’enterrement en guise de cahier de notes. Nous crûmes à un oubli ; mais les jours suivants, nous le vîmes avec stupéfaction griffonner quelques lignes sur la même feuille, facilement reconnaissable à sa bordure de deuil. Évidemment le nouvel élève n’était pas sérieux. Il fallait s’en assurer. Car enfin, il avait eu le premier prix au Concours général, même sur les lycées de Paris. À la sortie d’un cours, on lui délégua un vieil élève de quatrième année pour lui demander une explication sur un point qui avait paru particulièrement obscur. Poincaré la donna immédiatement, sans réfléchir une minute, et partit en laissant son interlocuteur et les témoins dans un tel ébahissement que l’un se demanda : Comment fait-il ?

De son côté, nous fournit l’appréciation suivante :

Dès la rentrée, son intelligence se révéla immédiatement à son professeur Elliot, comme à nous ses condisciples ; il avait le don génial d’apercevoir immédiatement, avec le détail particulier à chaque question, l’idée générale dont elle procède et la place qu’elle occupe dans l’ensemble. Il avait aussi cette simplicité, cette horreur de l’effet, ce bon sens lorrain, cette amitié sûre qu’il a conservés toute sa vie.

À la fin de cette année, Poincaré eut encore le premier prix au Concours général de Paris et des départements. Il fut reçu premier à l’École Polytechnique. Nous avons recueilli de diverses sources des renseignements sur la manière dont il passa ses examens.

Par pure curiosité, nous dit du Teilloy, j’assistai à son examen oral de Mathématique ; la salle, ordinairement presque vide, était comble, spectacle curieux. Il parlait lentement, s’arrêtant, fermant parfois les yeux, demandant la permission d’interrompre sa démonstration pour en essayer une autre dans un petit coin du tableau, puis s’écriant : « Non, décidément, j’en reviens à ma première démonstration, plus courte et plus élégante. » Venait-il de l’inventer ? L’examinateur était émerveillé.

De son côté, nous a conservé le souvenir de l’examen que Poincaré passa avec , chargé d’interroger les candidats sur les Mathématiques élémentaires.

Avant d’interroger Poincaré, suspendit l’examen pendant trois quarts d’heure : le temps de préparer une question raffinée, pensions-nous. revint avec une question du deuxième Livre de Géométrie. Poincaré dessina un cercle informe, il marqua les lignes et les points indiqués par l’examinateur ; puis, après s’être promené devant le tableau les yeux fixés à terre pendant assez longtemps, conclut à haute voix : Tout revient à démontrer l’égalité AB = CD. Elle est la conséquence de la théorie des polaires réciproques, appliquée aux deux droites.

« Fort bien, Monsieur, interrompit ; mais je voudrais une solution plus élémentaire. » Poincaré se mit à repasser, non plus devant le tableau, mais devant la table de l’examinateur, face à lui, presque inconscient de ses actes, puis tout à coup développa une solution trigonométrique.

« Je désire que vous ne sortiez pas de la Géométrie élémentaire », objecta , et presque aussitôt satisfaction fut donnée à l’examinateur d’élémentaires, qui félicita chaleureusement l’examiné et lui annonça qu’il avait mérité la note maxima.

Il y a dans ces deux récits des détails dont la vérité sautera aux yeux de tous ceux qui ont connu Poincaré.

Comme son camarade Appell, il s’était présenté au Concours de l’École Normale. C’est là que je fis sa connaissance, je venais d’être nommé maître de Conférences et j’étais pour la première fois membre du Jury. Poincaré fut reçu cinquième seulement et Appell second. J’ai le souvenir bien précis de leurs examens et de l’impression que l’un et l’autre produisirent sur moi ; mais comme tous mes collègues du jury, Briot, Bertin, Debray ne sont plus là, on comprendra très bien que je m’abstienne de tout détail.

Notre confrère Appell entra à l’École Normale ; Poincaré, suivant sans doute l’exemple et les conseils de son oncle, choisit l’École Polytechnique dont il devait devenir une des gloires les plus éclatantes.

Quelques-uns de ses camarades nous ont transmis des indications relatives à son séjour à cette École. Il continuait à ne pas prendre de notes aux Cours et, suivant une habitude que nous avons déjà

, il travaillait fréquemment en se promenant dans les couloirs de l’École. Pendant les récréations, il se joignait volontiers à la bande compacte de ses camarades de Nancy, s’accrochant au bras droit de l’un, au bras gauche de l’autre, poursuivant ses pensées sans presque parler, ni sans s’émouvoir des discussions qui, à cette époque de crise, devenaient quelquefois fort vives.

Son inaptitude pour les exercices physiques, maniement d’armes, gymnastique, était grande. Elle était particulièrement marquée pour le dessin et avait failli empêcher son entrée à l’École. À la fin de l’année, ses camarades qui l’aimaient beaucoup et connaissaient son heureux caractère eurent l’idée d’organiser une exposition de ses œuvres. Les jeunes gens sont sans pitié comme les enfants. Sous une étude de cheval, ils avaient mis τουτο ιππος et sous une Académie τουτο ανηρ. J’aime à croire que ces indications étaient inutiles.

Cette faiblesse en dessin détermina son échec à l’examen final de Géométrie et de Stéréotomie. L’impossibilité de construire par points des droites à peu près convergentes, peut-être aussi des démonstrations de voyant qui l’amenaient au but sans considération intermédiaire, indisposèrent l’examinateur, , et valurent à l’élève une note franchement mauvaise, qui lui fit perdre le premier rang. Le premier sorti de l’École fut Bonnefoi, qui devait être tué quelques années plus tard dans un accident de mine.

Poincaré entra à l’École des Mines en 1875. D’après ce que nous savons de lui, on peut assurer qu’il s’acquitta avec conscience de ses devoirs professionnels. Son camarade Lallemand, aujourd’hui notre Confrère, nous apprend que, lui ayant un jour demandé des détails à propos d’un voyage d’études qu’il devait faire en Hongrie, où Poincaré était allé l’année précédente, celui-ci lui dicta, séance tenante, le programme le plus détaillé de tous les points où il devrait s’arrêter, des établissements qu’il devrait visiter et même des trains qu’il aurait à prendre, des hôtels qu’il devait choisir, de ceux qu’il fallait éviter.

III

Tout en se préparant à être un bon ingénieur, Poincaré se tournait vers la Science, pour laquelle il était si bien doué. Ce qu’il faut admirer surtout dans ses débuts, c’est la décision, je ne crains pas de dire l’audace, avec laquelle il s’adresse aux questions les plus élevées, les plus difficiles et les plus générales. Négligeant de faire l’essai de ses forces sur des problèmes particuliers, il est de ceux qui, pour leurs coups d’essai, veulent des coups de maître ; il va droit aux problèmes les plus importants, les plus essentiels ; il ne craint pas de s’attaquer à ceux même dont la solution paraîtrait réservée à un lointain avenir.

Après avoir enlevé haut la main, en 1876, la licence ès sciences mathématiques, il débuta par un Mémoire sur les propriétés des fonctions définies par des équations différentielles, qui fut inséré en 1878 au Journal de l’École Polytechnique.

Notre grand géomètre Cauchy avait renouvelé les bases de l’Analyse infinitésimale par son immortelle théorie des fonctions d’une variable imaginaire ; mais entraîné par ses recherches, il avait laissé à d’autres le soin d’appliquer et de développer ses idées. Victor Puiseux montra le premier, dans un Mémoire classique, comment les principes de Cauchy pouvaient conduire aux propriétés essentielles des fonctions algébriques et de leurs intégrales. Briot et Bouquet abordèrent ensuite l’application de ces mêmes principes à l’étude des différentes solutions des équations différentielles du premier ordre. Joseph Bertrand disait volontiers que le Mémoire dans lequel les deux savants collaborateurs avaient exposé leurs résultats constituait le plus grand progrès qui eût été réalisé, depuis Euler, dans cette branche de l’Analyse. C’est par l’étude et le perfectionnement de ce travail magistral que débutait Henri Poincaré.

Dans la thèse qu’il présenta en 1878 à la Faculté de Paris pour obtenir le grade de docteur ès sciences mathématiques, il s’attaquait à une question encore plus difficile, celle de l’intégration des équations aux dérivées partielles à un nombre quelconque de variables indépendantes. Le jury comprenait Ossian Bonnet, Bouquet et l’auteur de cette Notice. On me fit l’honneur de me confier l’examen du travail.

Dès le premier coup d’œil, il me parut clair qu’il sortait de l’ordinaire et méritait amplement d’être reçu. Il contenait certainement assez de résultats pour fournir matière à plusieurs bonnes thèses. Mais, il ne faut pas craindre de le dire, si l’on veut donner une idée précise de la manière dont travaillait Poincaré ; bien des points demandaient des corrections ou des explications. Poincaré était un intuitif. Une fois au sommet, il ne revenait jamais sur ses pas. Il se contentait d’avoir brisé les difficultés, et laissait aux autres le soin de tracer les routes royales qui devaient conduire plus facilement au but. Il fit bien volontiers le travail de correction et de déblaiement qui me paraissait nécessaire. Mais il m’a expliqué depuis qu’au moment où je le lui demandais, il avait en tête bien d’autres idées ; il s’occupait déjà des grands problèmes dont il allait nous présenter la solution.

Quoi qu’il en soit, sa thèse se recommande par plusieurs notions nouvelles et importantes. J’en citerai deux seulement : celle des fonctions à espaces lacunaires, qui avait beaucoup frappé Hermite, et celle des fonctions algébroïdes, qui est appelée à jouer en Analyse un rôle des plus essentiels.

Les deux Mémoires que je viens de rappeler décelaient un esprit original et profond et étaient le présage certain d’un bel avenir scientifique. Poincaré était tout désigné pour l’Enseignement supérieur. Aussi, quelques mois à peine après sa soutenance, le décembre 1879, il était chargé du Cours d’Analyse à la Faculté des Sciences de Caen. Dans la période de six mois où il exerça les fonctions d’ingénieur des mines, et où il fut chargé en cette qualité du sous-arrondissement minéralogique de Vesoul, il se fit remarquer par son sang-froid et son amour du devoir. En dépit du danger qui le menaçait, il descendit dans un puits de mine, où une explosion de grisou avait fait 16 victimes et allumé l’incendie.

Quand je me reporte à cette année 1879, je songe aux espérances qu’elle nous donnait pour le développement des hautes études mathématiques dans notre pays. Deux géomètres, un peu plus jeunes que Poincaré, faisaient comme lui, et contre leur gré peut-être, l’ornement de nos Facultés de province. Pendant que Poincaré était à Caen, Paul Appell professait la Mécanique rationnelle à Dijon, Émile Picard enseignait l’Analyse infinitésimale à Toulouse. Berthelot, à qui ses fonctions d’inspecteur général donnaient autorité dans l’Enseignement supérieur, n’avait pas voulu que l’on pût reprocher à la Faculté de Paris de se recruter exclusivement en dehors des Facultés de province, et on lui avait donné satisfaction. Nos deux Confrères durent quitter Paris. Mais les règlements ne peuvent rien, le plus souvent, contre le mérite supérieur et la force des choses. Deux ans après, les trois jeunes gens nous revenaient pour rester définitivement attachés à la Faculté de Paris. Poincaré, en particulier, était nommé maître de Conférences d’Analyse au commencement de l’année scolaire 1881-1882. Quatre ans après, il était chargé du Cours de Mécanique physique et expérimentale ; et enfin, en août 1886, il succédait à notre confrère Lippmann dans la Chaire de Physique mathématique et Calcul des Probabilités. Il devenait titulaire en même temps que nos deux confrères Boussinesq et Émile Picard.

IV

Les travaux qu’il avait accomplis durant cette période justifiaient un avancement si rapide. Ils avaient pour objet la théorie des équations différentielles et aux différences partielles, la théorie générale des fonctions analytiques d’une ou de plusieurs variables, la Mécanique analytique et la Mécanique céleste, l’Algèbre et la Théorie des nombres. Tous contenaient des résultats entièrement neufs, des découvertes analytiques qui faisaient dire à un de nos maîtres : Poincaré commence comme Cauchy.

Nous citerons, en premier lieu, un travail tout à fait original sur les équations différentielles, présenté à l’Académie en 1880 et publié dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées.

Poincaré s’y place à un point de vue tout différent de celui qu’il a adopté dans son premier Mémoire ; il admet que les coefficients de l’équation différentielle sont réels, et il se propose de construire et de discuter la forme générale des courbes réelles qui représentent les diverses solutions de l’équation différentielle. Le problème ainsi étudié est analogue à celui qui se présente en Géométrie analytique lorsqu’on veut reconnaître la forme générale d’une courbe d’après son équation, mais il est incomparablement plus difficile. Poincaré l’a abordé en commençant par examiner le cas où l’équation différentielle est du premier degré, c’est-à-dire où le coefficient différentiel est le quotient de deux polynômes.

Il a reconnu tout d’abord que les courbes représentées par l’équation différentielle sont, soit des courbes fermées, soit des spirales. Elles peuvent contenir trois sortes de points singuliers :

1 Les cols, par lesquels passent deux courbes définies par l’équation, et deux seulement ;

2 Les nœuds, où viennent se croiser une infinité de courbes définies par l’équation ;

3 Les foyers, autour desquels tournent ces courbes, en s’en rapprochant sans cesse comme le ferait une spirale logarithmique ;

4 Exceptionnellement enfin, et seulement dans des cas très particuliers, se présentent en outre des centres, qu’entourent les courbes en s’enveloppant mutuellement.

Nous devons renoncer à dire ici comment l’auteur étudie la distribution de ces différents points ; comment il démontre, entre le nombre des cols, des foyers et des centres, une relation analogue à celle qui a été établie par Euler entre le nombre des faces, des sommets et des arêtes d’un polyèdre, comment enfin il étend tous ces résultats à des systèmes plus généraux d’équations différentielles ; nous devons au contraire insister sur une proposition énoncée en 1882 dans une Note des Comptes rendus et qui nous paraît un des plus beaux résultats obtenus en Analyse depuis Cauchy.

De toutes les découvertes que les Mathématiciens ont faites au cours du XIX, la plus féconde sans doute est celle que l’on doit à Cauchy relativement à la série de Taylor et aux conditions de sa convergence. On peut dire qu’elle a renouvelé toutes les branches de l’Analyse. En l’appliquant à un système quelconque d’équations différentielles, le grand géomètre avait établi que les solutions d’un tel système peuvent se développer en séries convergentes, ordonnées, par exemple, suivant les puissances de la différence entre la variable indépendante et sa valeur initiale ; mais ces séries de Cauchy n’étaient convergentes, en général, que si le module de cette différence ne dépasse pas une certaine limite. Poincaré ne considère, il est vrai, que les solutions réelles d’un système quelconque d’équations différentielles algébriques à coefficients réels ; mais il démontre que, dans ce cas, les solutions réelles peuvent se définir de la manière la plus complète par des séries toujours convergentes, ordonnées suivant les puissances d’une variable auxiliaire, que l’on peut même choisir d’une infinité de manières. Cette proposition, qu’il a appliquée lui-même au problème des trois corps, me paraît dominer toutes les recherches que l’on a entreprises depuis sur ce célèbre problème.

V

Nous sommes obligés de passer sous silence bien d’autres recherches publiées pendant cette période de jeunesse, pour aborder la partie la plus brillante des travaux d’Henri Poincaré, celle qui concerne les fonctions fuchsiennes et kleinéennes.

L’Académie avait mis au concours, pour le grand prix des Sciences mathématiques à décerner en 1880, la question suivante :

Perfectionner en un point important la théorie des équations différentielles linéaires.

Le prix échut à Georges Halphen qui allait devenir, pour bien peu de temps, hélas ! notre confrère. Mais Poincaré avait présenté au concours un travail où il avait adopté la fière devise de sa ville natale : « Non inultus premor ».

Dans ce Mémoire, qui fut retenu par la Commission et obtint la mention la plus honorable, il faisait connaître le résultat de ses premières études sur un problème qu’il n’avait pas craint de se poser, malgré son extrême généralité :

Intégrer toutes les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques.

Il serait trop long d’indiquer par quelle suite de déductions il fut conduit, pour le résoudre, à introduire de nouvelles transcendantes, les fonctions fuchsiennes et kleinéennes, dont la découverte constitue, aujourd’hui encore, son titre de gloire le plus éclatant. Je me bornerai à donner une idée de ces nouvelles fonctions, autant qu’on peut le faire sans recourir à aucun signe mathématique.

La théorie des fonctions elliptiques nous avait fait déjà connaître les propriétés de la plus simple des fonctions fuchsiennes, le module de la fonction elliptique envisagé comme fonction du rapport des périodes. Cette fonction modulaire avait été complètement étudiée par Hermite qui avait fait connaître, en particulier, la remarquable propriété qu’elle possède, de se reproduire par des substitutions fractionnaires à coefficients entiers et au déterminant un. C’est cette propriété de la fonction modulaire que généralise Poincaré en considérant des substitutions de même forme, mais à coefficients quelconques. La question se dédouble alors : il faut d’abord trouver tous les groupes discontinus formés de telles substitutions ; il faut ensuite former les fonctions qui demeurent invariables quand on applique ces substitutions à la variable indépendante. C’est ce double problème que Poincaré résout avec une simplicité inespérée, créant ainsi une théorie, qui embrasse comme cas très particulier les fonctions trigonométriques et les fonctions elliptiques. Son analyse lui permet d’énoncer les mémorables propositions suivantes qui, comme l’a dit notre confrère G. Humbert, lui donnent les clefs du monde algébrique :

Deux fonctions fuchsiennes qui se reproduisent lorsqu’on effectue sur la variable indépendante les substitutions d’un même groupe sont liées par une équation algébrique.

Inversement, les coordonnées d’un point d’une courbe algébrique quelconque s’expriment par des fonctions fuchsiennes et, par conséquent, par des fonctions uniformes d’un même paramètre.

Voici enfin les deux théorèmes qui le conduisent au but qu’il s’était proposé : l’intégration de toutes les équations linéaires à coefficients algébriques.

Toute fonction fuchsienne provient de l’inversion du quotient de deux solutions d’une équation linéaire du second ordre à coefficients algébriques.

L’intégrale générale de l’équation linéaire à coefficients algébriques d’un ordre quelconque peut être obtenue par les fonctions zéta-fuchsiennes.

Cette dernière proposition attend aujourd’hui encore ceux qui en montreront toute la fécondité.

VI

Les recherches précédentes suffiraient à la gloire de plusieurs géomètres, et pourtant elles ne représentent qu’une faible partie de celles que Poincaré avait produites avant d’arriver à l’Institut. Si je voulais les rappeler ici avec quelque développement, cette séance et plusieurs autres ne sauraient y suffire. Je reviendrai plus loin sur les découvertes relatives à la Physique mathématique et à la Mécanique céleste. En Analyse, je me bornerai à signaler les travaux de Poincaré sur la théorie des nombres, qui lui valurent l’honneur d’être placé sur les liste de la Section de Géométrie, alors qu’il n’avait que 27 ans ; ses recherches d’Algèbre pure sur les fonctions homogènes et la règle des signes de Descartes ; la démonstration, faite en collaboration avec , du célèbre théorème de Riemann sur les fonctions uniformes de n variables à 2n périodes ; ses études sur les déterminants d’ordre infini, où il s’est rencontré avec , sur les fonctions Θ à plusieurs variables, sur les fonctions hyper-fuchsiennes introduites par , sur la réduction des intégrales abéliennes, sur les intégrales irrégulières des équations linéaires, etc. ; je réserverai toutefois une mention spéciale à un Mémoire qu’Hermite préférait à tous les autres, celui où Poincaré démontre que toute fonction méromorphe de deux variables s’exprime par le quotient de deux fonctions entières. Même dans ce court résumé, il faut citer le travail où il démontre ce mémorable résultat :

Si l’on a une fonction analytique quelconque d’une variable, on peut toujours exprimer la fonction et la variable indépendante par des fonctions uniformes d’une troisième variable.

et aussi le célèbre Mémoire où il étend aux intégrales multiples la théorie des intégrales d’une fonction d’une variable imaginaire telle que Cauchy l’avait créée. La généralisation de cette théorie, qui est le fondement de l’Analyse moderne, présentait de graves difficultés devant lesquelles tous les efforts des géomètres avaient jusque-là échoué. Poincaré fut le premier à les surmonter.

Toutes ces découvertes justifiaient l’appréciation qu’en fit M. Camille Jordan, lors de la dernière candidature du jeune géomètre.

Telle est, disait notre Confrère, dans ses traits essentiels l’œuvre accomplie par . Elle est au-dessus des éloges ordinaires et nous rappelle invinciblement ce que Jacobi écrivait d’Abel, qu’il avait résolu des questions qu’avant lui personne n’aurait osé imaginer. Il faut en effet le reconnaître : nous assistons en ce moment à une révolution dans les Mathématiques de tous points comparable à celle qui s’est manifestée, il y a un demi-siècle, par l’avènement des fonctions elliptiques.

VII

Poincaré ne pouvait pas ne pas avoir conscience de la haute valeur de ses écrits ; d’autres auraient réclamé des récompenses, lui ne demandait rien. Nous le regardions tous comme le plus fort d’entre nous. Il n’a jamais cherché à nous devancer. Nul ne pouvait prévoir les vides nombreux que la mort allait faire dans la Section de Géométrie. Pour le faire arriver plus vite, pour lui ménager une place dans la Section d’Astronomie, on lui signalait les applications que les théories par lui découvertes pouvaient avoir en Mécanique céleste. Il suivait docilement ces indications, s’occupait du problème des trois corps, des figures des corps célestes, et trouvait tout naturel de laisser passer devant lui tous ses anciens.

Dès 1881, au moment du décès de Michel Chasles, la Section de Géométrie l’avait fait figurer sur ses listes de présentation. Il y avait été maintenu après les décès de Victor Puiseux, d’Alfred Serret, de Bouquet. La mort prématurée de Laguerre lui ménagea une place, et il fut élu, le 24 janvier 1887, par 31 suffrages sur 55 votants. Il entrait donc à l’Institut à l’âge de 32 ans.

Ce premier succès allait être suivi d’un autre non moins éclatant.

En 1885, le roi de Suède, , préludant à la création de ces prix internationaux dont le nombre s’accroît chaque jour, avait résolu de décerner le 21 janvier 1889, soixantième anniversaire de sa naissance, un prix à une découverte importante dans le domaine de l’Analyse mathématique. Ce prix devait consister en une médaille d’or portant l’effigie du roi et en une somme de 2500 couronnes. Une Commission, composée de notre illustre Associé étranger K. Weierstrass, membre de l’Académie de Berlin, de notre maître Charles Hermite et du rédacteur en chef des Acta mathematica, , professeur à l’Université de Stockholm, était chargée du soin de réaliser les intentions de Sa Majesté et de dresser un programme du prix proposé. Elle indiqua quatre sujets différents entre lesquels pourraient choisir les concurrents.

Le premier de ces sujets était ainsi conçu :

Étant donné un système quelconque de points matériels qui s’attirent mutuellement suivant la loi de Newton, on propose, sous la supposition qu’un choc n’ait jamais lieu, de représenter les coordonnées de chaque point sous forme de séries procédant suivant quelque fonction connue du temps et qui convergent uniformément pour toute valeur réelle de la variable.

Ce problème, dont la connaissance étendra considérablement nos connaissances par rapport au système du monde, paraît pouvoir être résolu à l’aide des moyens analytiques que nous avons à notre disposition ; on peut le supposer du moins, car Lejeune-Dirichlet a communiqué, peu de temps avant sa mort, à un géomètre de ses amis, qu’il avait découvert une méthode pour l’intégration des équations différentielles de la Mécanique, et qu’en appliquant cette méthode il était parvenu à démontrer d’une manière rigoureuse la stabilité de notre système planétaire. Malheureusement, nous ne connaissons rien sur cette méthode, si ce n’est que la théorie des oscillations infiniment petites paraît avoir servi de point de départ pour sa découverte. On peut pourtant supposer, presque avec certitude, que cette méthode était basée, non point sur des calculs longs et compliqués, mais sur le développement d’une idée fondamentale et simple qu’on peut, avec raison, espérer de retrouver par un travail persévérant et approfondi.

Dans le cas pourtant où le problème proposé ne parviendrait pas à être résolu pour l’époque du concours, on pourrait décerner le prix pour un travail dans lequel quelque autre problème de Mécanique serait traité de la manière indiquée et résolu complètement.

Les trois autres sujets proposés par la Commission étaient tous de de nature à intéresser Poincaré. Le troisième, par exemple, réclamait un développement des résultats fondamentaux que nous avons rappelés plus haut et que la théorie des équations différentielles devait à Briot et Bouquet, et nous avons déjà signalé tout ce que Poincaré avait déjà fait dans cette voie ; quant au quatrième, c’était l’étude d’un point particulier de cette belle théorie des fonctions fuchsiennes qu’il avait lui-même introduite dans la Science. Ces deux derniers sujets avaient donc de quoi le tenter : il choisit le premier, le plus difficile sans doute, mais aussi, mais surtout, le plus séduisant. Usant toutefois de la latitude qui lui était donnée, il élargit et restreignit à la fois le problème proposé en introduisant dans son Mémoire une étude générale des équations de la Dynamique et se bornant à approfondir le plus souvent des cas particuliers du problème des trois corps : ceux, il est vrai, qui sont le plus importants pour la pratique astronomique.

Nous reviendrons plus loin sur le contenu de son Mémoire, pour le rapprocher des autres travaux qu’on lui doit sur la Mécanique céleste ; mais, dès à présent, nous devons faire connaître l’appréciation que le juge le plus difficile et le plus compétent en cette matière portait sur la pièce envoyée au Concours, dans une lettre adressée à , secrétaire de la Commission.

Le Mémoire sur le problème des trois corps et les équations de la Dynamique avec la devise : Nunquam praescriptos transibunt sidera fines, écrivait Weierstrass, est sans contredit un travail de haute portée, bien qu’il ne contienne pas la solution du problème général auquel a trait la première des questions posées, mais qu’il traite seulement un cas particulier de ce problème.

Et plus loin :

t|D’après cela, je ne fais aucune difficulté de déclarer que le Mémoire en question est digne du prix. Vous pouvez dire à votre souverain que ce travail ne peut, à la vérité, être considéré comme fournissant la solution complète de la question proposée, mais qu’il est cependant d’une telle importance que sa publication ouvrira une ère tiret|nou|velle}|90 dans l’histoire de la Mécanique céleste. Le but que se proposait Sa Majesté en ouvrant le Concours peut donc être considéré comme atteint.

En communiquant ces résultats à notre Secrétaire perpétuel, Joseph Bertrand, dans une lettre datée du 18 février 1889 et insérée au Tome 108 des Comptes rendus, ajoutait :

Le Mémoire couronné comptera parmi les plus importantes productions mathématiques du siècle et sera un nouveau titre à l’estime de tous les géomètres que s’est acquise par d’éclatantes découvertes.

Nous ne saurions clore l’histoire de ce mémorable Concours sans rappeler qu’une seconde récompense, consistant en une médaille d’or avec l’inscription : In sui memoriam, était accordée par le Roi au Mémoire de , intitulé : Sur les intégrales de fonctions à multiplicateurs et leurs applications au développement des fonctions abéliennes en séries trigonométriques.

Ce beau et savant travail, ajoutait , est l’œuvre d’un géomètre de premier ordre et fera pareillement un grand honneur à la Science française.

Sur la proposition de l’Académie, le Gouvernement soulignait le succès de notre Patrie en nommant les deux lauréats chevaliers de la Légion d’honneur.

VIII

À partir de ce moment, le nom d’Henri Poincaré pénétra dans le grand public, qui s’accoutuma à regarder notre Confrère, non plus comme un géomètre de haute espérance, mais comme un grand savant dont la France avait le droit d’être fière. Toujours modeste cependant, Poincaré ne cessait de travailler, abordant dans sa chaire de Physique mathématique des sujets sans cesse renouvelés. Les étudiants de nos Facultés s’attachent de préférence aux professeurs dont les travaux font autorité. Non contents d’écouter les leçons de , ses élèves voulurent qu’elles fussent utiles à d’autres et résolurent de les imprimer. C’est ainsi que parurent successivement les Ouvrages suivants :

Potentiel et mécanique des fluides, Cours professé pendant l’année 1885-1886 ; la deuxième édition de cet Ouvrage a été rédigée par .

Théorie mathématique de la lumière, Tome , comprenant les leçons professées à la Sorbonne pendant le premier semestre 1887-1888 et rédigées par .

Thermodynamique, leçons professées pendant le premier semestre 1888-1889, rédigées par .

Électricité et optique, Tome : Les théories de Maxwell et la théorie électromagnétique de la lumière, leçons professées pendant le second semestre 1888-1889, rédigées par .

Tome : Les théories de Helmholtz et les expériences de Hertz, leçons professées pendant le second semestre 1889-1890 et rédigées par .

Capillarité, leçons professées pendant le second semestre 1888-1889, et rédigées par .

Leçons sur la théorie de l’élasticité, professées pendant le premier semestre 1890-1891, et rédigées par et Jules Drach.

Théorie mathématique de la lumière, Tome : Nouvelles études sur la diffraction. Théorie de Helmholtz, leçons professées pendant le premier semestre 1891-1892, rédigées par et H. Hurmuzescu.

Théorie des tourbillons, leçons professées pendant le second semestre 1891-1892 et rédigées par .

Les oscillations électriques, leçons professées pendant le premier semestre 1892-1893, rédigées par .

Théorie analytique de la propagation de la chaleur, leçons professées pendant le premier semestre 1893-1894, rédigées par et Baire.