Введение в геометрическую теорию плоских кривых

Аннотация

Этот мемуар был представлен 19 декабря 1861 академии наук Института Болоньи (Accademia delle scienze dell'Istituto di Bologna) и впервые напечатан 10 октября 1862 в XII томе (1-ая серия) мемуаров этой академии. При переводе использовалось его переиздание в «Собрании сочинений», были учтены приведенные там замечания самого , сделанные им в авторском экземпляре, и замечания . Большим подспорьем был немецкий перевод . Текст, добавленный переводчиком для большей ясности, заключен в квадратные скобки. При переводе моментов, связанных с понятием бесконечно малого, все сомнения решались в пользу оригинала, а не привычности тех или иных оборотов в русской речи. К русскому изданию добавлены новые иллюстрации.

Оглавление

I. Основные принципы.

II. Теория поляр.

III. Кривые третьего порядка.

Именной указатель

Предметный указатель

it:Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona) de:Einleitung in eine geometrische Theorie der ebenen Curven (Cremona)

1

it:Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Del rapporto anarmonico

Ангармоническое отношение четырех точек

Пусть на прямой заданы четыре точки , , и ; точка делит отрезок в отношении , а точка — в отношении .

Отношение этих двух величин,

,

называется четырех точек , , и и обозначается символом . Меняя порядок, в котором рассматриваются заданные точки, получим 4! ангармонических отношений, поскольку именно столько имеется перестановок четырех элементов. Коль скоро

,

то есть

,

среди 4! отношений каждое повторяется по четыре раза. Таким образом, среди 4! ангармонических отношений имеется только шесть, вообще говоря, различных; в качестве таковых можно взять

,

.

Поскольку справедливо равенство

,

то есть

,

и аналогично

и ,

то шесть ангармонических отношений можно разбить на три пары взаимно обратных величин. Назовем главными три отношения

,

и тогда три оставшихся ангармонических отношения будут к ним обратными.

Для четырех точек на прямой, как известно, верно соотношение

,

из которого сразу следует, что

или

,

и аналогично,

,

,

то есть среди 6 ангармонических отношений вмести с некоторой отношением содержится и такое отношение, что их сумма равна единице. Такие отношения называют дополнительными.

Из предыдущих соотношений следует, что по одному данному из шести ангармонических отношений можно отыскать все остальные. В самом деле, пусть , тогда обратное отношение есть . Дополнительные к ним отношения есть и . Наконец, отношения, обратные к эти последним, есть и .

Ангармоническое отношение пучка четырех прямых

Соединим заданные точки с произвольной точкой , не лежащей на прямой (см. фиг.), то есть построим пучок четырех прямых, проходящих через точку и соответственно . Из теоремы синусов, примененной к треугольникам и , имеем

.

Аналогично, из треугольников и имеем

,

откуда

,

или, обозначая как четыре направления и как углы между ними заключенные,

,

то есть равенство, которое символически можно записать так

.

Выражение в правой части этого равенства можно назвать ангармоническим отношением четырех прямых . Тогда: ангармоническое отношение четырех прямых , выходящих из центра , равно ангармоническому отношению четырех точек , в которых эти прямые пересекают произвольную прямую (которую в таком случае называют секущей). Отсюда следует, что если прямые пересекают другую секущую в точках , то ангармоническое отношение этих новых четырех точек равно ангармоническому отношению точек . Также очевидно, что если точки соединить с другим центром прямыми , то ангармоническое отношение этих прямых равно отношению прямых .

Пусть даны четыре точки на одной прямой и три точки на другой прямой, на этой последней существует единственная, вполне определенная точка , такая что

.

Это становится очевидном, если заметить, что отрезок должен делиться точкой так, чтобы было верно

.

В частности, если точки и совпадают (фиг. 2), то прямые проходят через одну и ту же точку .

Аналогично: дано два пучка четырех прямых и , центрами которых пусть являются и . Их ангармонические отношения совпадают:

,

если прямые и совпадают друг с другом (а следовательно, и с единственной прямой, проходящей через и ), то три точки пересечений прямых и , и , и лежат на одной прямой.

Пусть даны четыре точки на одной прямой и четыре точки на другой прямой (фиг. 2). Если ангармонические отношения этих точек равны:

,

также и два пучка и имеют равные ангармонические отношения (см. § 2). Но в этих двух пучках соответствующие друг другу лучи и совпадают, поэтому три точки , и лежат на одной прямой. Это свойство позволяет указать простое правило построения точки , когда даны и .

Подобным же образом решается аналогичная проблема для двух пучков четырех прямых.

Гармонические точки

Четыре точки на одной прямой называются , если

,

и тогда также

Пары точек и в этом случае называют сопряженными друг к другу, точку — гармонически сопряженной к относительно пары и т.д.

Если точка — бесконечно удаленная, отношение имеет предел , тогда равенство сводится к , поэтому делит отрезок пополам.

Гармоническое соотношение можно записать так

.

Поэтому, если одна из точек , напр., , лежит между и , то другая точка, то есть , лежит вне отрезка . В частности, если совпадает с , то и совпадает с ними. Из этого же соотношения следует, что, если совпадает с , то и совпадает с .

Гармоническое соотношение позволяет однозначно определить одну из четырех точек по данным трем другим. Но если эти точки совпадают, то четвертая становится неопределенной.

Аналогично: четыре прямые , , и , пересекающиеся в одной точке, называются гармоническими, если верно

,

то есть если они пересекают произвольную секущую в четырех гармонических точках.

Пусть задан полный четырехсторонник (см. фиг.), то есть система четырех прямых, пересекающиеся попарно в шести точка , , , , , . Три диагонали , и образуют треугольник . Пусть — гармонически сопряженная к относительно , — гармонически сопряженная к относительно . Прямая, гармонически сопряженная к относительно лучей и , должна проходить через точку , а прямая, гармонически сопряженная к относительно лучей и — через точку . [Поскольку ангармонические отношение этих пучков совпадают, то, в силу § 3, луч должен проходить через , а – через . Это возможно лишь тогда, когда] эти точки совпадают с , точкой пересечения и . Это означает, что каждая диагональ делится гармонически двумя другими.

Из этого следует простое правило построения одной из четырех гармонических точек , , и , когда даны три другие.

Похожим свойством обладает полный четырехугольник, то есть система четырех точек, лежащих попарно на шести прямых, и это позволяет строить гармонические пучки четырех прямых.

Четыре точки на прямой, относительно точки той же прямой, можно представить уравнением четвертого порядка:

,

то есть будут корнями этого уравнения. Если ангармоническое отношение , верно

,

или, заменяя отрезки разностями и принимая во внимание известное соотношение между коэффициентами и корнями уравнения,

.

Аналогично: равенства и дают соответственно

,

.

Перемножая эти три уравнения, получим необходимое и достаточное условие для того, чтобы одна из трех систем , и была гармонической. Получающееся в результате соотношение является симметрическим относительно отрезков , и поэтому его можно выразить через коэффициенты уравнения. В итоге получится следующее: соотношение

является условием того, что точки, представленные уравнением

,

взятые в одном из возможных порядков, образуют гармоническую систему.

Примечания

2

it:Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Projettività delle punteggiate e delle stelle

Назовем (punteggiata) ряд точек, расположенных на одной прямой, и пучком прямых или (stella) ряд прямых, лежащих на плоскости и проходящих через одну и ту же точку (центр пучка) . Пунктуалы и звезды вмести называют (forme geometriche). Элементами геометрического образа могут выступать точки или прямые, образующие рассматриваемый пунктуал или звезду.

Два геометрических образа называются , когда между их элементами имеется соотношение, ставящее в соответствие каждому элементу первого образа единственный и вполне определенный элемент второго образа, и наоборот, каждому элементу второго образа — единственный и вполне определенный элемент первого образа.

Например, если пучок прямых пересекает произвольную секущую, то точки пересечений образуют ряд точек, проективный пучку.

Из данного определения со всей очевидностью следует, что два образа, проективные третьему, проективны между собой.

Рассмотрим две прямые, на которых лежат точки проективных пункуталов. Если — фиксированная точка первой прямой, то можно указать произвольную точку той же прямой, задав отрезок ; и аналогично, произвольную точку второй прямой можно задать, указав отрезок , где — фиксированная точка второй прямой. Если эти два ряда точек проективны, причем точка соответствует точке , то между отрезками и имеется соотношение, которое, в силу определения проективности, неизбежно имеет следующий вид:

где , , и — постоянные коэффициенты. Это уравнение можно упростить, определив начала подходящим образом. Пусть такая точка первого пункутала, которой соответствует бесконечно удаленная точка второго, тогда отрезку должен отвечать , и, следовательно, . Аналогично, если предположить, что — такая точка второго пункутала, которой отвечает бесконечно удаленная точка первого, то . Тогда уравнение (1) принимает вид:

где — некоторая постоянная.

Пусть — четыре точки первой прямой, а — соответствующие им точки на второй прямой. В силу (2) верно:

,

следовательно,

.

Поступая аналогично с отрезками , и , в итоге получим:

,

то есть:

.

Пусть теперь имеется проективные звезда и пунктутал. Пересекая звезду произвольной секущей, получим новый пунктуал, проективный звезде, а, следовательно, и данному пунктуалу (§ 7). Пусть — четыре точки данного пункутала, — соответствующие им лучи звезды, а — точки, в которых эти лучи пересекают секущую. Имеем:

.

Но также верно (§ 2), что

,

следовательно,

.

Наконец, пусть даны две проективные звезды: пересекая их с двумя секущими (или с одной и той же секущей), получим два пунктуала, проективных соответствующим звездам, а следовательно и проективных друг другу. Пусть — четыре луча первой звезды, а — соответствующие им лучи второй; и — точки, в которых эти лучи пересекают соответствующие секущие. В силу проективности пунктуалов имеем

.

Кроме того (§ 2) верно:

,

следовательно,

.

Таким образом, в двух проективных образах ангармоническое отношение четырех произвольных элементов равно ангармоническому отношению четырех соответствующих им элементов другого образа.

Вследствие этого для фиксации проективности между двумя геометрическими образами, достаточно задать три пары соответствующих друг другу элементов, напр. , и . Тогда для каждого элемента первого образа, соответствующий элемент второго образа может быть однозначно определен из условия равенства ангармонических отношений и .

Предположим теперь, что две прямые, на которых лежат точки проективных пунктуалов, совпадают друг с другом, или же мы сами изобразили два проективных пунктуала на одной и той же прямой, что, напр., получилось выше (§ 8), когда две проективные звезды мы посекли одной и той же секущей. Проективность двух пунктуалов выражается уравнением (2):

.

При его помощи, мы найдем такие точки , которые совпадают с соответствующими им точками .

Когда пробегает точки первого пунктуала в одном направлении, а — соответствующие ей точки второго пунктуала, то эта точка движется или в том же направлении, что и точка , или в противоположном в зависимости от того, отрицательна или положительна постоянная .

Пусть . В этом случае очевидно, что на продолжении отрезка можно взять такую точку , для которой верно , а на продолжении такую точку , отстоящую от как от , тогда . То есть точки , рассматриваемые как элементы одного из двух пунктуалов, совпадают с соответствующими им точками второго пунктуала.

Пусть теперь . Точки не могут в этом случае совпасть вне отрезка . Таким образом, вопрос сводится к делению этого отрезка на две части и , такие, чтобы построенный на них прямоугольник имел площадь . Следовательно, если , имеется две точки , делящие таким образом отрезок . В самом деле, построим на отрезке как на диаметре полукруг, тогда из точек полуокружности можно опустить на ровно два перпендикуляра, длина которых была бы равна . Основания этих перпендикуляров и есть искомые точки . Если , то имеется только одна единственная точка — середина отрезка , обладающая указанным свойством. Наконец, если , то задача не допускает вещественного решения.

Таким образом, два проективные пунктуала, наложенные друг на друга, имеют две общие точки (punti comuni), вещественные, мнимые или совпадающие, равноотстоящие от середины отрезка .

То, что общих точек не может быть больше двух, можно было предвидеть заранее, поскольку два проективных пунктуала имеющих три точки, совпадающих с соответствующими им точками второго, совпадали бы тождественно. В самом деле, если , то точка совпадает с .

Если — точки, общие двум проективным и наложенным друг на друга пунктуалам, в которых и — две пары соответствующих точек, то равенство ангармонических отношений дает:

,

что можно переписать так:

,

это означает, что ангармоническое отношение не зависит от выбора пары .

Пусть даны две проективные звезды, имеющие один и тот же центр. Пересекая их с секущей, получим два проективных пункутала: две соответствующие друг другу точки являются пересечениями секущей с двумя соответствующими друг другу лучами двух звезд. Пусть — общие точки двух пункуталов. Тогда точки первого пункутала совпадают с соответствующими им точками второго пункутала, и, следовательно, также и лучи первой звезды совпадают с лучами лучами , отвечающими им во второй звезде. Таким образом, две проективные концентрические звезды имеют два общих луча, вещественных, мнимых или совпадающих, то есть два луча, которые соответствуют сами себе.

Примечания

3

it:Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Teoria de' centri armonici

Пусть на прямой дано точек и полюс . Пусть, далее, — точка той же прямой, такая, что сумма всевозможных произведений, составленных из отношений по сомножителей в каждом, равна нулю. Если обозначить эту сумму как , то точку можно найти из уравнения:

Используя тождество , это уравнение можно записать как:

или, раскрывая скобки, как

где символом обозначено число сочетаний различных предметов по в каждом сочетании (биномиальный коэффициент).

Уравнение (3) имеет степень относительно и поэтому дает положений для точки : такие точек называются (centri armonici) степени системы точек относительно полюса .

Когда , получается одна единственная точка , которую рассматривал еще под названием центр средних гармонических.

Если, кроме того, , то точка оказывается гармонически сопряженной к точке относительно пары точек (§ 4).

Если уравнение (1) умножить на и поделить на , оно, очевидно, примет вид:

отсюда сразу получается следующее:

Если — гармонический центр степени данной системы точек относительно полюса , то и наоборот, — гармонический центр степени той же системы точек относительно полюса .

Пусть — точек, которые удовлетворяют уравнению (3), и пусть — их гармонический центр первой степени относительно того же полюса . Тогда верно уравнение:

,

аналогичное (2), или же, после раскрытия скобок:

.

Но, в силу уравнения (3), верно:

,

и поэтому

,

или же

.

Это означает, что является гармоническим центром первой степени данной системы точек относительно полюса .

Обозначив теперь как один из двух гармонических центров второй степени системы относительно полюса , имеем уравнение, аналогичное уравнению (2):

,

или же, после раскрытия скобок,

,

Но, в силу уравнения (3), имеем:

,

подставляя эти выражения в предыдущее уравнение, получим:

,

то есть

следовательно, является гармоническим центром второго порядка системы точек относительно полюса .

Тот же результат получится, если рассмотреть как центр третьей, четвертой, … -ой степени системы относительно полюса . Следовательно:

Если — гармонические центры степени данной системы относительно полюса , гармонические центры степени () системы относительно полюса являются так же гармоническими центрами степени данной системы относительно того же полюса .

Пусть — гармонический центр степени данной системы относительно полюса , тогда справедливо равенство (4), если положить в нем . Введем туда произвольную точку той же прямой, используя очевидные тождества , , тогда получим:

,

или же, после раскрытия скобок,

Пусть — гармонические центры степени данной системы относительно полюса , то есть точки, удовлетворяющие уравнению (5); тогда верно:

.

Пусть теперь — один из гармонических центров степени системы относительно точки той же прямой; в полной аналогии с (5) имеем:

.

Подставляя в этом уравнение вместо выписанное выше значение, получим:

,

где

Симметричность этого выражения относительно означает сдед.:

Если — гармонические центры степени системы относительно полюса , и если — гармонические центры степени той же системы относительно другого полюса , то гармонические центры степени системы относительно полюса совпадают с гармоническими центрами степени системы относительно полюса .

Эта теорема, путем повторного применения, может быть распространена на гармонические центры произвольной степени, и, таким образом, может быть сформулирована так:

Если — гармонические центры степени данной системы относительно полюса , и если — гармонические центры степени той же системы относительно другого полюса , гармонические центры степени системы относительно полюса совпадают с гармоническими центрами степени системы относительно полюса .

Если и — гармонические центры первой степени систем и соответственно относительно полюса , то верно:

.

Если — гармонический центр первой степени системы точек относительно полюса , точка является также гармоническим центром первой степени системы относительно того же полюса.

До этого момента мы молчаливо предполагали, что данные точки различны между собой. Предположим теперь, что точек совпали в одной единственной точке, которую мы обозначим как .

Теперь, подставляя в уравнение (5) на место произвольного начала , и учитывая очевидные в этом случае соотношения:

,

видим, что уравнение (5) делится нацело на , то есть гармонических центров степени попадают в точку , и это верно, каким бы ни бы полюс . Кроме того, из этого следует, в силу теоремы § 13, что в точку попадают гармонических центров степени , гармонических центров степени и один гармонический центр степени .

Уравнение (3), после умножения на и на , примет вид:

Предположим теперь, что точек, скажем , совпадают с полюсом . Тогда верно:

следовательно, уравнение (6) делится на , и значит, полюс является местом гармонических центров любого порядка. Оставшиеся гармонических центров степени описываются уравнением:

,

где сума распространяется только на точки . Следовательно, оставшиеся точек , которые наряду с точкой , учитываемой раз, являются гармоническими центрами степени системы относительно полюса , являются также и гармоническими центрами степени системы относительно того же полюса .

Следует еще отметить, что при последнее уравнение удовлетворяется тождественно, какова бы ни была точка . Таким образом, если точек и полюс совпадают друг с другом, гармонические центры степени остаются неопределенными, то есть в качестве таковых можно взять любую точку на прямой

Вернемся к § 11 и рассмотрим на прямой (см. рис.) систему точек , , ..., и полюс ; пусть, кроме того, — гармонический центр степени , отчего между отрезками и имеется соотношение (1). Возьмем произвольную точку вне прямой и соединим ее прямыми с точками , , , пусть произвольная секущая пересекает эти прямые в точках , , . Тогда верно:

,

и аналогично,

,

откуда получается, что

.

Правая часть этого уравнения не изменяется при перестановки точек , поэтому верно:

.

Далее, поскольку соотношение (1) однородно относительно всех этих величин , здесь получается, что

,

то есть:

Если — гармонический центр степени данной системы точек , лежащих на прямой, относительно полюса , помещенного на ту же прямую, то, спроектировав все эти точки при помощи лучей, выходящих из произвольной точки, на произвольную секущую, получим точку (проекцию ), которая будет гармоническим центром степени системы точек (проекции ) относительно полюса (проекции ).

Эта теорема дает нам возможность перенести на систему прямых, пересекающихся в одной точке, определения и теоремы, установленные выше для системы точек, лежащих на прямой.

Пусть дана система прямых и еще одна прямая , лежащие на одной плоскости и пересекающиеся в одной точке . Проведем произвольную секущую , которая не проходит через точку , и пусть она пересекает данные прямые в точках и , отметим гармонических центров степени системы точек относительно полюса . Прямые , проведенные из в точки , назовем степени системы прямых относительно прямой .

Рассматривая только прямые, проходящие через точку , можно установить следующие теоремы, аналогичные доказанным для системы точек на прямой.

Если — гармоническая ось степени данной системы прямых относительно прямой , то и наоборот, — гармоническая ось степени той же системы относительно прямой .

Если — гармонические оси степени данной системы относительно прямой , гармонические оси степени системы относительно являются также гармоническими осями степени данной системы относительно той же прямой .

Если — гармонические оси степени данной системы относительно прямой и если — гармонические оси степени той же данной системы относительно некоторой другой прямой , то гармонические оси степени системы относительно прямой совпадают с гармоническими осями степени системы относительно прямой .

Какой бы ни была прямая , если из данных прямых совпадают с некоторой прямой, то с этой последней совпадают гармонических осей степени , гармонических осей степени и одна гармоническая ось степени .

Если прямых совпадают друг с другом и с прямой , с этой последней совпадают гармонических осей любой степени, а оставшиеся гармонические оси степени являются также гармоническими осями степени системы относительно .

Если бы в § 18 секущая проходила через точку , или если вращать прямую вокруг точки , то доказанная там теорема могла быть сформулирована так:

Пусть даны прямых , пересекающихся в точке . Если через фиксированный полюс провести произвольную секущую , пересекающую эти прямых в точках , то гармонические центры степени системы относительно полюса описывают, при вращении вокруг точки , прямых , пересекающихся в точке .

При этом последние две теоремы § 19 дают:

Если из данных прямых, скажем , совпадают с одной единственной прямой , с этой последней совпадает прямых . Если к тому же проходит через полюс , то с ней совпадает прямых . Оставшиеся же прямых пробегают [при вращении ] гармонические центры степени (относительно полюса ) тех точек, в которых пересекается с прямыми .

Примечания

4

it:Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Teoria dell'involuzione

Инволюция

Пусть дана некоторая прямая и пусть — фиксированная точка на этой прямой, а — подвижная точка; кроме того, пусть постоянные величины, а — переменная величина. Пусть еще имеется уравнение вида:

Каждому значению отвечает значений , то есть группа точек . Напротив, если дана одна из этих точек, то, подставив в (1) данное значение , найдем соответствующее значение , и, следовательно, при помощи того же уравнения найдем и остальные значений . Таким образом, каждому значению уравнение (1) ставит в соответствие группу точек, связанных друг с другом так, что одна из них определяет все остальные. Система бесконечного числа групп точек, соответствующих бесконечному числу значений , называют (involuzione) степени . Например, пункутал может рассматриваться как инволюция первой степени (§ 7).

Инволюция полностью определена заданием двух групп. В самом деле, если уравнения:

описывают две данные группы, то любая другая группа инволюции описывается уравнением:

где — произвольная величина.

Если две точки одной и той же группы совпадают в одной и той же точке, то эту точку называют двойной точкой инволюции. Сколько двойных точек имеет инволюция, описываемая уравнением (1)? Условие того, что это уравнение имеет два равных корня, выражается приравниванием нулю его дискриминанта. Этот дискриминант является функцией степени коэффициентов уравнения; следовательно, приравняв его нулю, получим уравнение степени относительно . Это означает, что существует групп, которые содержат две совпадающие точки, иными словами:

Инволюция степени имеет двойных точек.

Пусть — точек, составляющих данную группу. Гармонический центр первой степени этих точек относительно полюса , взятый на данной прямой произвольным образом, определяется уравнением:

,

откуда, в силу (1), его можно выразить так:

Следовательно, отрезок, заключенный между двумя точками , гармоническими центрами двух различных групп, можно выразить так:

Пусть теперь — гармонические центры (первой степени относительно полюса ) четырех групп, соответствующих четырем значениям переменной величины ; тога верно:

Этот результат не изменится, если вместо будет использована любая другая точка, то есть ангармоническое отношение четырех центров не зависит от полюса . Отсюда следует, что ряд гармонических центров (первой степени) всех групп относительно полюса и ряд гармонических центров (той же степени) тех же групп относительно другого полюса являются проективными пунктуалами.

Под ангармоническим отношением четырех групп некоторой инволюции будем далее понимать ангармоническое отношение их гармонических центров первой степени относительно произвольного полюса.

Две данные инволюции на одной и той же прямой или на двух различных прямых называются проективными, когда гармонические центры первой степени групп одной инволюции относительно произвольного полюса и гармонические центры первой степени групп другой инволюции относительно другого произвольного полюса образуют два проективных пунктуала. Это определение в союзе с определением ангармонического отношения четырех групп инволюции дает:

Пусть даны две проективные инволюции, ангармоническое отношение четырех групп первой инволюции равно ангармоническому отношению четырех соответствующих групп второй инволюции.

Иными словами, теорема, сформулированная в конце § 8, распространяется также и на инволюции, лишь бы им была придана геометрическая форма и их элементы были группами точек.

Выясним, как алгебраически выражается проективность двух инволюций.

Пусть первая из них описывается уравнением (1), а вторая — уравнением

где — произвольная точка прямой, принадлежащая второй инволюции, — начало отрезков на этой прямой, а — постоянные коэффициенты.

Не ограничивая общности рассмотрения, будем считать, что группы первой инволюции соответствуют во второй инволюции группам . Тогда, для того, чтобы уравнения (1) и (3) представляли две соответствующие друг другу группы, необходимо и достаточно, чтобы ангармоническое отношение четырех групп первой инволюции было равно ангармоническому отношению четырех групп второй, то есть должно быть . Следовательно, вторая инволюция, в силу проективности с первой, может быть представлена так:

Уравнения (1) и (4), при одном и том же значении , дают две соответствующие друг другу группы проективных инволюций. Исключая из этих уравнений, получим соотношение, которое выражает связь или соответствие между точками и .

Если обе инволюции лежат на одной прямой, точки и можно соотносить с одним и тем же началом, то есть точку можно заменить на . В этом случае, можно также разыскать, сколько раз точка совпадает с одной из соответствующих ей точек . Исключая из (1) и (4) и подставляя на место , получим:

то есть уравнение степени относительно . Следовательно:

На прямой, на которой заданы две проективные инволюции, одна — степени , а другая — , имеется, в общем случае, точек, каждая из которых, будучи рассмотрена как точка, принадлежащая первой инволюции, совпадает с одной из соответствующих ей точек второй инволюции.

Эти точки будем называть общими точками (punti comuni) двух инволюций.

Если левая часть уравнения (1) делится на , то оно описывает инволюцию степени , группы которой имеют общих точек, совпадающих с точкой ; или же — инволюцию степени , к каждой группе которой добавлена раз точка . В этом случае очевидно, что также и левая часть уравнения (5) делится на ; то есть общими точками этих двух инволюций являются точка кратности и общих точек второй инволюции (степени ) и той инволюции степени , которая получается из первой, после удаления из ее групп точки . Если к тому же все группы второй инволюции содержат точку раз, то эта точка фигурирует раз среди общих точек двух инволюций.

Если некоторая группа первой инволюции (напр., та, которая получается при ) содержит раз одну и ту же точку , и если если соответствующая ей группа второй инволюции содержит раз ту же точку , причем , то очевидно, что левая часть уравнения (5) делится на , то есть точка занимает место общих точек двух инволюций.

Квадратичная инволюция

Особого изучения заслуживают инволюции второй степени или , уравнение которых имеет вид:

Здесь каждая группа состоит только из двух точек, которые называются сопряженными (coniugati); а центральной точкой называется такая точка, сопряженная к которой бесконечно далека.

Если выбрать начало отрезков в центральной точке и, кроме того, принять группу, которой принадлежит эта точка, за соответствующую , то тогда должно быть . Поэтому, если две произвольные сопряженные точки, то в силу уравнения (6) верно:

const.

Сравнивая это уравнение и уравнение, которое выражает проективность двух пунктуалов (§ 9):

const.,

видим, что квадратичную инволюцию порождают два проективных пунктуала, которые наложены друг на друга таким образом, чтобы точкам соответствовали бесконечно удаленные точки. Иными словами, два проективных и наложенных друг на друга пунктуала образуют квадратичную инволюцию, когда точка , вне зависимости от того, рассматривается ли она как точка первого или второго пунктуала, соответствует одна и та же точка .

Из этого свойство можно заключить, что в квадратичной инволюции ангармоническое отношение четырех точек равно ангармоническому отношению сопряженным к ним точек.

Пусть — две двойные точки инволюции (§ 22), заданные уравнением const.; имеем:

то есть ангармоническое отношение равно обратному к нему числу, и именно , поскольку ангармоническое отношение четырех различных точек не может быть равно . Следовательно: в квадратичной инволюции две двойные точки и две произвольные сопряженные образуют гармоническую систему. (§ 4)

Отсюда следует, что инволюция второй степени может быть рассмотрена как бесконечный ряд пар точек , делящих гармонически заданный отрезок .

Две квадратичные инволюции, заданные на одной и той же прямой, имеют общую группу, то есть существуют две такие точки , что отрезок делится гармонически как двумя двойными точками первой инволюции, так и двумя двойными точками второй инволюции. В самом деле, возьмем произвольную точку на заданной прямой и пусть и — сопряженные к точки в первой и второй инволюциях соответственно. При движении точки точки пробегают два проективных пунктуала, общие точки которых составляют, очевидно, общую группу двух заданных инволюций.

Очевидно также, что две инволюции произвольной степени, большей двух, заданные на одной и той же прямой не имеют в общем случае ни одной общей группы.

Эквиангармоническая система четырех точек

Теория квадратичных инволюций послужит нам в решении следующей задачи.

Пусть — четыре точки на прямой и пусть названные выше главными (§ 1) ангармонические отношения равны:

Если первые два отношения равны друг другу, то есть, если

то верно также и следующее:

то есть все три фундаментальные ангармонические отношения равны между собой.

Пусть даны точки на прямой, мы разыщем такую точку , которая бы удовлетворяла уравнению:

то есть ,

следующим образом. Возьмем произвольную точку на данной прямой и определим точку так, чтобы

При своем одновременном движении, точки описывают проективные пунктуалы, в которых точки отвечают, соответственно, точкам . Обозначив как общие точки этих пунктуалов, имеем:

то есть точки и есть искомые.

Пусть теперь — три такие точки на данной прямой, что три системы , , — гармонические. Две системы и проективны и поскольку точка , рассматриваемая как точка первой или второй системы, соответствует точке , три пары лежат в одной инволюции, то есть есть двойная точка квадратичной инволюции, заданной парами . Другая двойная точка этой инволюции — , поскольку отрезок делится гармонически точками (см. § 25a). Следовательно, делят гармонически не только , но и . Поэтому:

то есть системы , проективны, а отсюда по тем же причинам, что и выше, получается, что пары лежат в инволюции.

Из точки , взятой произвольным образом вне данной прямой, проведем лучи и , и посечем их секущей, параллельной , пусть — точки пересечения лучей и секущей. Имеем:

или, в силу (7),

Вспоминая, что , имеем

,

то есть — середина отрезка . Полагая в (8)

и ,

получим:

Отсюда

откуда видно, что точка является серединой отрезка , и, следовательно,

,

откуда

.

Аналогично доказывается, что

, ;

другими словами, — двойные точки инволюции .

Ангармоническое отношение есть корень уравнения (7), или мнимый кубический корень из . Следовательно, четыре точки или не могут быть все одновременно вещественными. Уравнение (9) имеет положительную или отрицательную правую часть в зависимости от того, являются ли точки, сопряженные к , вещественными или мнимыми. Поэтому, если все три данные точки — вещественные, то точки являются комплексно сопряженными, а если две из трех данных точек — комплексно сопряженные, то точки — вещественные.

Из уравнения (8) видно, что, если , то также и ; то есть две данные точки совпадают с одной единственной точкой, то в эту последнюю попадают и обе точки .

Назовем (equianarmonico) систему четырех точек, для которых главные ангармонические отношения равны друг другу, иными словами, систему четырех точек, ангармонические отношения которых равны мнимому кубическому корню из .

Положение четырех точек на прямой линии описывается уравнением (§ 6):