Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики

Front matter

Всякому, кто любит свой предмет, бывает интересно знать, как он начался, каким путем он развивался, и как он вылился в свою последнюю форму. В этой книжке изложена история арифметики, и очерки её назначены для тех, кто чувствует расположение к математике. Юным математикам я прежде всего назначаю свой труд. Он же может пригодиться и для педагога: для учителя крайне важно, чтобы расширился его кругозор, чтобы он мог критически отнестись к настоящему положению преподавания, и чтобы исторические данные оживили обучение и осветили его.

В Германии имеется масса сочинений по истории математики; очевидно, они нужны и полезны. Пусть же и в России мой небольшой труд сослужит свою скромную службу.

Примечания

Начало арифметики

Начало арифметики

Кто положил начало арифметике, и кто первый из людей «изобрёл» счёт, на это ответить нельзя. Мы можем назвать лицо, которое изобрело компас или книгопечатание, порох и паровую машину; нас может интересовать, кто открыл магнит, или кто приготовил писчую бумагу; но никак нельзя решать вопроса, кто положил начало счёту. Уменье считать, по крайней мере, в небольших пределах, а также и потребность считать присущи всякому мыслящему существу. Подобно тому, как живой человек непременно дышит и питается, так точно и человек, живущий сознательной жизнью, мыслит, говорит и, между прочим, считает.

Итак, не может быть и речи о каком-то особом изобретателе счёта, так как эта потребность свойственна всем людям. Поэтому начало арифметики тонет в тех же беспредельных глубинах отдалённых веков, как и начало человечества. Между тем наивные авторы старинных учебников искали, во что бы то ни стало, указать лицо или народ, которым счёт обязан своим началом. Так, напр., в славянских рукописях времён царя Алексея Михайловича эта честь приписывается «древле эллинскому мудрецу Пифагору, сыну Аггинанорову» или же «Сиру, сыну Асинорову», написавшему «численную сию философию (т. е. арифметику) финическими письменами». Византийские историки средних веков шли ещё дальше и не стеснялись признавать прямо чудесное происхождение арифметики: её-де обнародовал на земле некто Феникс, внук бога Нептуна.

Всё это, конечно, фантазия; но на чём-нибудь должна же она быть основана. Такое основание можно видеть в общепризнанной славе, которою пользовался знаменитый греческий математик Пифагор, равно как и финикийцы, развитые, образованные и промышленные представители древнего мира, отважные мореплаватели, объезжавшие на своих кораблях берега Средиземного моря. Финикийцам приписывается также изобретение букв алфавита.

Начало ариѳметики

Кто положилъ начало ариѳметикѣ, и кто первый изъ людей «изобрѣлъ» счетъ, на это отвѣтить нельзя. Мы можемъ назвать лицо, которое изобрѣло компасъ или книгопечатаніе, порохъ и паровую машину; насъ можетъ интересовать, кто открылъ магнитъ, или кто приготовилъ писчую бумагу; но никакъ нельзя рѣшать вопроса, кто положилъ начало счету. Умѣнье считать, по крайней мѣрѣ, въ небольшихъ предѣлахъ, а также и потребность считать присущи всякому мыслящему существу. Подобно тому, какъ живой человѣкъ непремѣнно дышитъ и питается, такъ точно и человѣкъ, живущій сознательной жизнью, мыслитъ, говоритъ и, между прочимъ, считаетъ.

Итакъ, не можетъ быть и рѣчи о какомъ-то особомъ изобрѣтателѣ счета, такъ какъ эта потребность свойственна всѣмъ людямъ. Поэтому начало ариѳметики тонетъ въ тѣхъ же безпредѣльныхъ глубинахъ отдаленныхъ вѣковъ, какъ и начало человѣчества. Между тѣмъ наивные авторы старинныхъ учебниковъ искали, во что бы то ни стало, указать лицо или народъ, которымъ счетъ обязанъ своимъ началомъ. Такъ, напр., въ славянскихъ рукописяхъ временъ царя Алексѣя Михайловича эта честь приписывается «древле эллинскому мудрецу Пиѳагору, сыну Аггинанорову» или же «Сиру, сыну Асинорову», написавшему «численную сію философію (т.-е. ариѳметику) финическими письменами». Византійскіе историки среднихъ вѣковъ шли еще дальше и не стѣснялись признавать прямо чудесное происхожденіе ариѳметики: ее-де обнародовалъ на землѣ нѣкто Фениксъ, внукъ бога Нептуна.

Все это, конечно, фантазія; но на чемъ-нибудь должна же она быть основана. Такое основаніе можно видѣть въ общепризнанной славѣ, которою пользовался знаменитый греческій математикъ Пиѳагоръ, равно какъ и финикійцы, развитые, образованные и промышленные представители древняго міра, отважные мореплаватели, объѣзжавшіе на своихъ корабляхъ берега Средиземнаго моря. Финикійцамъ приписывается также изобрѣтеніе буквъ алфавита.

Первые ступени счисления

Первые ступени счисления

Как считали наши предки, жившие в отдалённые времена, задолго до Рождества Христова, — об этом прямо и достоверно судить нельзя: письменных свидетельств не сохранилось, да их и не могло быть, потому что развитие письменного счёта зависит от общего развития образования, а наши древнейшие родичи находились, очевидно, на низших ступенях образованности. Судить о первых шагах арифметики мы можем только по догадкам, сравнительно; средством же для сравнения являются те дикие и малообразовашше народы, затерявшиеся в укромных уголках внутренней Африки, Америки и т. д., которые в настоящее время едва выходят из первобытного состояния.

Займёмся американскими индейцами и африканскими неграми.

Индейцы Таманаки пользуются при счёте пальцами рук и ног. Вместо «один» они говорят «палец» и при этом обязательно протягивают палец; вместо «два» — «два пальца», «три» — «три пальца». Пять у них зовётся «рука», 6 — «палец на другой руке», 7 — «два пальца на другой руке», 10 — «две руки». Покончивши с руками, они перебираются к ногам, и так как обувь не закрывает их ног, то продолжают считать наглядно: 11 — «палец на ноге», 12 — «два пальца на ноге», 15 — «нога и две руки», 16 — «палец на другой ноге». Но вот подходит дело к 20, использованы, следовательно, и руки и ноги, тогда является на помощь «человек». 20 называется «человек», так как у него 20 пальцев; как же выразить, напр., 27? Это будет «2 пальца на другой руке другого человека». Сотня заменяется у них пятью человеками, а выше сотни бедные индейцы едва ли и порываются считать, потому что у них нет для этого ни потребностей, ни развития. Кстати сказать, и эскимосы, обитатели холодных стран Северной Америки, вместо «20» говорят «человек» и вместо «100» пять человек.

Караибы на Антильских островах и по реке Ориноко дают первым четырём числам особые имена, но 5 у них заменяется словами «четыре и один», 6 — «рука и один», 7 — «рука и два», 20 — «столько, сколько руки и ноги», 30 — «столько, сколько руки и ноги, и ещё 2 руки лишних».

Удивительна склонность индейцев и негров не довольствоваться одним словесным счётом, а всячески дополнять его выразительными жестами. Говоря «шесть», они протягивают 6 пальцев. Дойдя до 20, они расставляют ноги, вытягивают руки и растопыривают пальцы.

Зулусы в Южной Африке пользуются очень похожим обычаем. Они обходятся без ног и ведут расчёты на одних руках. Они начинают счёт с мизинца левой руки. Когда окончат первый десяток, то второй десяток ведут уже с мизинца правой руки. Если, например, на правой руке протянуты мизинец и безыменный палец, то это означает 12. После каждого десятка они хлопают рукой об руку. Чтобы выразить, наприм., число 35, им надо трижды хлопнуть рукой об руку и протянуть 5 цальцев правой руки.

Таким образом, пальцы для того человека, который едва умеет считать, являются неоцененным и удобнейшим пособием. Это мы можем проследить во всех странах земного шара и у всех людей. Для счёта им нужно наглядное пособие, а какое же пособие ближе к человеку, как не его собственные пальцы? Особенно их любят дикари и малые дети.

Теперь является вопрос: как быть с числами, которые включают в себе десятки и сотни? Как их выразить при помощи пальцев? Ответить на это могут некоторые племена Южной Африки, которые для единиц берут одного счётчика, для десятков другого, а для сотен третьего. Как только первый счётчик насчитает по пальцам десять, второй сейчас же замечает это у себя на пальцах, т.е. протягивает мизинец. Когда второму придётся протянуть все 10 своих пальцев, то третий замечает получившуюся сотню одним пальцем своей руки.

Дикари, подобно малым детям, не нуждаются в больших числах. Толчок к развитию счёта даётся обыкновенно лишь возникновением торговли и промышленности. Самая нехитрая торговля — меновая, когда покупщик даёт один товар, а продавец взамен того другой. Меновая торговля сама уже приводит к мысли, что счёт можно вести на каких угодно предметах. И каких только предметов при первоначальной меновой торговле не берётся простодушными торговцами в пособие для счёта! Напр., негритянские купцы постоянно носят с собой мешочек с маисовыми зернами, иногда и с камешками. Как только дело подходит к расчёту, они сейчас же высыпают зерна и пользуются ими, как очень удобным пособием. И с каким искусством, с какою ловкостью безграмотный негр подводит итоги, высчитывает прибыль и убыток при помощи своих зёрнышек! Он не станет в тупик даже и при составных именованных числах, так как для каждой меры у него в запасе есть особый сорт зёрнышек. Конечно, все их хитросплетения покажутся нам, знающим арифметику, наивными и незамысловатыми. Так, напр., сторговавши несколько кусков материи, негры кладут против каждого куска столько камешков, сколько монет надо отдать за кусок, и потом всё это сосчитывают. Трудно даются первые шаги счёта мало образованным народам.

Также и детям нашим нелегко приходится, когда они начинают счисление. Необходимо нужны наглядные пособия. Всякий человек и все народы прибегали к ним и прибегают, потому что потребность в наглядности лежит в природе человека. Кроме камешков, зёрнышек и т. д., можно пользоваться зарубками, чертами, крестиками. Так, индеец делает зарубку на дереве всякий раз, как он добывает скальп. И у нас в России в простом народе, среди неграмотных крестьян, чёрточки и зарубки в большом употреблении: сельский староста отмечает ими поступление податей, плотник порядок брёвен, молочница выданное молоко. Ацтеки, старинные обитатели Мексики, предпочитали обозначать числа точками, причём они располагали точки не как придётся, а в виде правильных фигур, в роде тех, какие теперь у нас рисуются на игральных картах. Когда у счётчиков накапливалось много камешков, шариков или косточек, то чтобы их не растерять, они нанизывали их на шнурочки или прутья. Этим был дан толчок к изобретению счётных приборов, из которых прежде всего нужно упомянуть русские торговые счёты и китайский инструмент «сван-пан», очень похожий на наши счёты.

Первыя ступени счисленія.

Какъ считали наши предки, жившіе въ отдаленныя времена, задолго до Рождества Христова, — объ этомъ прямо и достовѣрно судить нельзя: письменныхъ свидѣтельствъ не сохранилось, да ихъ и не могло быть, потому что развитіе письменнаго счета зависитъ отъ общаго развитія образованія, а наши древнѣйшіе родичи находились, очевидно, на низшихъ ступеняхъ образованности. Судить о первыхъ шагахъ ариѳметики мы можемъ только по догадкамъ, сравнительно; средствомъ же для сравненія являются тѣ дикіе и малообразовашше народы, затерявшіеся въ укромныхъ уголкахъ внутренней Африки, Америки и т. д., которые въ настоящее время едва выходятъ изъ первобытнаго состоянія.

Займемся американскими индѣйцами и африканскими неграми.

— 5 —

Индѣйцы Таманаки пользуются при счетѣ пальцами рукъ и ногъ. Вмѣсто «одинъ» они говорятъ «палецъ» и при этомъ обязательно протягиваюгь палецъ; вмѣсто «два» — «два пальца», «три» — «три пальца». Пять у нихъ зовется «рука», 6 — «палецъ на другой рукѣ», 7 — «два пальца на другой рукѣ», 10 — «двѣ руки». Покончивши съ руками, они перебираются къ ніогамъ, и такъ какъ обувь не закрываетъ ихъ ногъ, то продолжаютъ считать наглядно: 11 — «палецъ на ногѣ», 12 — «два пальца на ногѣ», 15 — «нога и двѣ руки», 16 — «палецъ на другой ногѣ». Но вотъ подходитъ дѣло къ 20-ти, использованы, слѣдовательно, и руки и ноги, тогда является на помощь «человѣкъ». 20 называется «человѣкъ», такъ какъ у него 20 пальцевъ; какъ же выразить, напр., 27? Это будетъ «2 пальца на другой рукѣ другого человѣка». Сотня замѣняется у нихъ пятью человѣками, а выше сотни бѣдные индѣйцы едва ли и порываютея считать, потому что у нихъ нѣтъ для этого ни потребностей, ни развитія. Кстати сказать, и эскимосы, обитатели холодныхъ странъ Сѣверной Америки, вмѣсто «20» говорятъ «человѣкъ» и вмѣсто «100» пять человѣкъ.

Караибы на Антильскихъ островахъ и по рѣкѣ Ориноко даютъ первымъ четыремъ числамъ особыя имена, но 5 у иихъ замѣняется словами «четыре и одинъ», 6 — «рука и одинъ», 7 — «рука и два», 20 — «столько, сколько руки и ноги», 30 —«столько, сколько руки и ноги, и еще 2 руки лишнихъ».

Удивительна склонность индѣйцевъ и негровъ не довольствоваться однимъ словеснымъ счетомъ, а всячески дополнять его выразительными жестами. Говоря «шесть», они протягиваютъ 6 пальцевъ. Дойдя до 20, они разставляютъ ноги, вытягиваютъ руки и растопыриваютъ пальцы.

Зулусы въ Южной Африкѣ пользуются очень похожимъ обычаемъ. Они обходятся безъ ногъ и ведутъ разсчеты на однѣхъ рукахъ. Они начинаютъ счетъ съ мизинца лѣвой руки. Когда окончатъ первый десятокъ, то второй десятокъ ведутъ уже съ мизинца правой руки. Если, напримѣръ, на правой рукѣ протянуты мизинецъ и безыменный палецъ, то это означаетъ 12. Послѣ каждаго десятка они хлопаютъ рукой объ руку. Чтобы выразить, наприм., число 35, имъ надо трижды хлопнуть рукой объ руку и протянуть 5 цальцевъ правой руки.

— 6 —

Такимъ образомъ, пальцы для того человѣка, который едва умѣетъ считать, являются неоцѣненнымъ и удобнѣйшимъ пособіемъ. Это мы можемъ прослѣдить во всѣхъ странахъ земного шара и у всѣхъ людей. Для счета имъ нужно наглядное пособіе, а какое же пособіе ближе къ человѣку, какъ не его собственные пальцы? Особенно ихъ любятъ дикари и малыя дѣти.

Теперь является вопросъ: какъ быть съ числами, которыя включаютъ въ себѣ десятки и сотни? Какъ ихъ выразить при помощи пальцевъ? Отвѣтить на это могутъ нѣкоторыя племена Южной Африки, которыя для единицъ берутъ одного счетчика, для десятковъ другого, а для сотенъ третьяго. Какъ только первый счетчикъ насчитаетъ по пальцамъ десять, второй сейчасъ же замѣчаетъ это у себя на пальцахъ, т.-е. протягиваетъ мизинецъ. Когда второму придется протянуть всѣ 10 своихъ пальцевъ, то третій замѣча&тъ получившуюся сотню однимъ пальцемъ своей руки.

Дикари, подобно малымъ дѣтямъ, не нуждаются въ болыпихъ числахъ. Толчокъ къ развитію счета дается обыкновенно лишь возникновеніемъ торговли и промышленности. Самая нехитрая торговля — мѣновая, когда покупщикъ даетъ одинъ товаръ, а продавецъ взамѣнъ того другой. Мѣновая торговля сама уже приводитъ къ мысли, что счетъ можно вести на какихъ угодно предметахъ. И какихъ только предметовъ при первоначальной мѣновой торговлѣ не берется простодушными торговцами въ пособіе для счета! Напр., негритянскіе купцы постоянно носятъ съ собой мѣшочекъ съ маисовыми зернами, иногда и съ камешками. Какъ только дѣло подходитъ къ разсчету, они сейчасъ же высыпаютъ зерна и пользуются ими, какъ очень удобнымъ пособіемъ. И съ какимъ искусствомъ, съ какою ловкостью безграмотный негръ подводитъ итоги, высчитываетъ прибыль и убытокъ при помощи своихъ зернышекъ! Онъ не станетъ втупикъ даже и при составныхъ именованныхъ числахъ, такъ какъ для каждой мѣры у него въ запасѣ есть особый сортъ зернышекъ. Конечно, всѣ ихъ хитросплетенія покажутся намъ, знающимъ ариѳметику, наивными и незамысловатыми. Такъ, напр., сторговавши нѣсколько кусковъ матеріи, негры кладутъ противъ каждаго куска столько камешковъ, сколько монетъ надо отдать за кусокъ, и потомъ все это сосчитывають. Трудно даются первые шаги счета мало образованнымъ народамъ.

— 7 —

Также и дѣтямъ нашимъ нелегко приходится, когда они начинаютъ счисленіе. Необходимо нужны наглядныя пособія. Всякій человѣкъ и всѣ народы прибѣгали къ нимъ и прибѣгаютъ, потому что потребность въ наглядности лежитъ въ природѣ человѣка. Кромѣ камешковъ, зернышекъ и т. д., можно пользоваться зарубками, чертами, крестиками. Такъ, индѣецъ дѣлаетъ зарубку на деревѣ всякій разъ, какъ онъ добываетъ скальпъ. И у насъ въ Россіи въ простомъ народѣ, среди неграмотныхъ крестьянъ, черточки и зарубки въ большомъ употребленіи: сельскій cтароста отмѣчаетъ ими поступленіе податей, плотникъ порядокъ бревенъ, молочница выданное молоко. Ацтеки, старинные обитатели Мексики, предпочитали обозначать числа точками, при чемъ они располагали точки не какъ придется, а въ видѣ правильныхъ фигуръ, въ родѣ тѣхъ, какія теперь у насъ рисуются на игральныхъ картахъ. Когда у счетчиковъ накапливалось много камешковъ, шариковъ или косточекъ, то чтобы ихъ не растерять, они нанизывали ихъ на шнурочки или прутья. Этимъ былъ данъ толчокъ къ изобрѣтенію счетныхъ приборовъ, изъ которыхъ прежде всего пужно упомянуть русскіе торговые счеты и китайскій инструментъ «сванъ-панъ», очень похожій на наши счеты.

Глава 3. Начальные числительные имена

Начальные числительные имена

Рука об руку с развитием счисления идёт и образование числительных имён. Числа — это идеи; они требуют словесного выражения.

Филологи, знатоки языков, не мало и с большим успехом потрудились над вопросом: как образовались слова, выражающие числа: «один», «два» и т. д.? Они признали, что, вероятно, первые числительные имена взяты от тех вещей, которые встречаются всегда в определённом количестве, и именно в таком, каково cамо число. Так, у индусов слово «два» созвучно со словом «глаз»; у малайцев (на острове Яве) слово пять обозначает в то же время руку. И это понятно: глаза обыкновенно встречаются в количестве двух, а пальцы в количестве пяти. И у нас в славянском языке «пять» созвучно с «пядь»: под пядью разумеется

— 8 —

длина, которая равна расстоянию между растопыренными крайними пальцами руки.

Но само собой разумеется, что от сходства слов может произойти смешение и сбивчивость понятий. Поэтому у образованных наций давно, с незапамятных времен, выработались особенные числительные имена, которые не сходны с именами каких бы то ни было предметов. Что это случилось очень давно, мы можем видеть на примере индо-европейской семьи народов, и доказывается это таким соображением. Мы, славяне, а также немцы, французы, индусы и греки должны считаться отдельными отпрысками общего корня, обитавшего в глубокой древности в Индостане. Легко проследить, что первые числительные имена очень сходны и созвучны во всех индо-европейских языках, а из этого мы вправе вывести, что эти числительные имена выработались ещё в ту отдаленную эпоху, когда не было великого расселения народов, и когда вся индо-европейекая семья жила вместе и пользовалась общим языком.

Вот таблица, в которой представлены латинскими буквами числительные имена из 5 иностранных языков и из 6-го нашего русского цифрами.

Русский язык | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10

Санскритский | eka | dva(dvi) | tri | catvâr | páncan | sas | sáptan | àstan | nàvan | dàsan

Старофранцузский | unan(un) | daou | tri | peuar | pemp | cheab | seis | eis | nao | dek

Немецкий | ein | zwei | drei | vier | fünf | sechs | sieben | acht | neun | zehn

Латинский | unus | duo | tres | quatuor | quinque | sex | septem | octo | novem | decem

Греческий | heis | duo | treis | tessares | pente | hex | hepta | octo | ennea | deka

Начальныя числительныя имена

Начальныя числительныя имена.

Рука объ руку съ развитіемъ счисленія идетъ и образованіе числительныхъ именъ. Числа — это идеи; они требуютъ словеснаго выраженія.

Филологи, знатоки языковъ, не мало и съ большимъ успѣхомъ потрудились надъ вопросомъ: какъ образовались слова, выражающія числа: «одинъ», «два» и т. д.? Они признали, что, вѣроятно, первыя числителышя имена взяты отъ тѣхъ вещей, которыя встрѣчаются всёгда въ опредѣленномъ количествѣ, и именно въ такомъ, каково cамо число. Такъ, у индусовъ слово «два» созвучно со словомъ «глазъ»; у малаqцевъ (на островѣ Явѣ) слово пять обозначаетъ въ тоже время руку. И это понятно: глаза обыкновенно встрѣчаются въ количествѣ двухъ, а пальцы въ количествѣ пяти. И у насъ въ славянскомъ языкѣ «пять» созвучно съ «пядь»: подъ пядью разумѣется длина, которая равна разстоянію между растопыренными крайними палъцами руки.

Но само собой разумѣется, что отъ сходства словъ можетъ произойти смѣшеніе и сбивчивость понятій. Поэтому у образованныхъ націй давно, съ незапамятныхъ временъ, выработались особенныя числительныя имена, которыя не сходны съ именами какихъ бы то ни было предметовъ. Что это случилось очень давно, мы можемъ видѣть на примѣрѣ индо-европейской семьи народовъ, и доказывается это такимъ соображеніемъ. Мы, славяне, а также нѣмцы, французы, индусы и греки должны считаться отдѣльными отпрысками общаго корня, обитавшаго въ глубокой древности въ Индостанѣ. Легко прослѣдить, что первыя числительныя имена очень сходны и созвучны во всѣхъ индо-европейскихъ языкахъ, а изъ этого мы вправѣ вывести, что эти числительныя имена выработались еще въ ту отдаленную эпоху, когда не было великаго разселенія народовъ, и когда вся индо-европейекая семья жила вмѣстѣ и пользовалась общимъ языкомъ.

Вотъ таблица, въ которой представлены латинскими буквами числительныя имена изъ 5 иностранныхъ языковъ и изъ 6-го нашего русскаго цыфрами.

Русскій языкъ.... | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10

Санскритскій..... | eka | dva(dvi) | tri | catvâr | páncan | sas | sáptan | àstan | nàvan | dàsan

Старо-французскій... | unan(un) | daou | tri | peuar | pemp | cheab | seis | eis | nao | dek

Нѣмецкій. | ein | zwei | drei | vier | fünf | sechs | sieben | acht | neun | zehn

Латинскій. | unus | duo | tres | quatuor | quinque | sex | septem | octo | novem | decem

Греческій. | heis | duo | treis | tessares | pente | hex | hepta | octo | ennea | deka

Различныя системы счисленія

Различныя системы счисленія.

Почти всѣ цивилизованные народы древняго и новаго міра ввели у себя десятичную систему счета. Именно они считаютъ единицами до десяти, десятками — до сотни, сотнями — до тысячи и т. д. Иначе сказать: десять единицъ составляютъ десятокъ, десять десятковъ — сотню, десять сотенъ тысячу и т. д. Откуда же произошло такое удивительное согласіе всѣхъ людей? Почему у всѣхъ одна система счета? Немыслимо вѣдь допустить, что обитатели различныхъ точекъ земного шара устроили нѣчто въ родѣ совѣщанія, на которомъ и поставовили принять одну общую систему. Разгадка, очевидно, заключается въ слѣдующсмъ. Отвлеченный счетъ начался у всѣхъ народовъ съ предметнаго, нагляднаго, а лучшимъ пособіемъ для счета, какъ наиболѣе доступнымъ и удобнымъ, являются для человѣка его пальцы. Что ближе пальцевъ, проще и дешевле? Смѣютоя надъ неграмотными, надъ малыми дѣтьми и надъ старухами, когда они безъ пальцевъ не могутъ счесть и малыхъ чиселъ: это напрасно, потому что потребность въ наглядномъ представленіи идей при помощи предметовъ присуща человѣчегкой природѣ, и всякій человѣкъ, который мало развитъ, ищетъ нагляднаго пособія, стремится выбрать наиболѣе удобное и невольно наталкивается въ нашемъ случаѣ на пальцы.

Впрочемъ, прибѣгая къ пальцамъ, мы могли бы выработать не только десятичную систему, но и пятеричную, двадцатеричную. Если пользоваться одной рукой, то будетъ пятеричная система, двумя — десятичная, руками и ногами — двадцатеричная. Въ такомъ случаѣ мы стали бы считать пятками, 5 пятковъ соединять въ новую группу, 5 такихъ группъ въ еще болыиую новую и т. д. Это мы и видимъ у нѣкоторыхъ африканскихъ народовъ, которые любятъ считать пятками и вмѣсто «шесть» говорятъ «пять одинъ», вмѣсто «семь» — «пять два» и т. д. По примѣру многихъ народовъ, — напр., феллаховъ, индѣйцевъ, можно судить, что пятеричная система является очень древней и, можетъ-быть, даже болѣе древней, чѣмъ десятичная, такъ что отсюда можно предположить, что люди считали нѣкогда пятками и ужъ позднѣе перешли къ счету десятками.

Что касается двадцатеричной системы, то во всей чистотѣ она, правда, не встрѣчается, но въ смѣшеніи съ десятичной ее можно прослѣдить во многихъ случаяхъ. Такъ, индѣйцы Майя въ Юкатанѣ пользуются особыми словами для чиселъ 20, 400 (20 разъ по 20), 8000 (20 разъ по 400) и 160000 (20 разъ по 8000). У ацтековъ въ Мексикѣ были особыя слова для чиселъ 20, 400, 8000. Остатки двадцатеричной системы замѣтны и во французскомъ языкѣ: quattre vingt = 80, т. е. четырежды 20; sixvingt, quinze vingt. Также и въ датскомъ языкѣ слово шестьдеcятъ (tresindistive) выражаетъ трижды двадцать, а слово восемьдесятъ (firsditive) — четырежды двадцать.

Пальцевыя системы — самыя старинныя и древнія, и самыя распространенныя. Но, кромѣ нихъ, есть и другія, йзъ которыхъ прежде всего мы назовемъ счетъ дюжинами, или двѣнадцатеричную систему. Это очень распространенный счетъ. Мы тоже нерѣдко считаемъ дюжинами, напр., посуду, перья, карандаши, бѣлье. Откуда взялось такое обыкновеніе? На это прямо отвѣтить нельзя, потому что мы не знаемъ; знаемъ только, что оно въ особенномъ ходу было у римлянъ и у нихъ имѣетъ корень, повидимому, въ томъ, что въ году 12 мѣсяцевъ. При счетѣ дюжинами мы идемъ до 12 дюжинъ, такъ что 12 дюжинъ составляютъ новую единицу «гроссъ»; въ каждой коробкѣ перьевъ, обыкновенно, бываетъ ровно «гроссъ»; также и карандаши связываются въ большія пачки по гроссамъ; счетъ гроссами идетъ до 12-ти, а 12 гроссовъ даютъ уже новую единицу — «массу». Счетъ дюжинами, гроссами и массами очень удобенъ и даже могъ бы быть удобнѣе счета десятками и сотнями, но онъ привился слабо, и всѣ наши числительныя имена примѣнены къ десятичному счету, а не къ дюжинному; языкъ, конечно, передѣлать нельзя, и это очень жаль, потому что при дюжинномъ счетѣ много облегчилось бы вычисленіе, сравнительно съ десятичнымъ; напр., самое трудное изъ четырехъ дѣйствій, дѣленіе, не такъ бы часто приводило къ остаткамъ и къ дробямъ, какъ сейчасъ, потому что 12 дѣлится на 2, на 3, 4, 6, между тѣмъ 10 разлагается только на 2 и на 5; и поэтому при дѣленіи приходитея очень часто получать остатки и дроби. Особенно любили римляне число 12 въ дробяхъ. Двѣнадцатыя доли назывались у нихъ унціями. Это были двѣнадцатыя части какой угодно величины, такъ, напр., хлѣба называлась унціей хлѣба, капитала составляли 5 унцій капитала. Въ настоящее время унціи остались только въ «латинской кухнѣ», т. е. въ аптекарскомъ вѣсѣ, именно, унція составляетъ аптекарскаго, иначе сказать, римскаго фунта (римскій фунтъ на меньше нашего); въ древности эти доли были въ повсемѣстномъ употребленіи до того, что, напр., вмѣсто писали унціи, для , , до

— 11 —

лись особые значки, въ родѣ цифръ, и особыя названія; вообще двѣнадцатыя доли напоминали собою скорѣе именованныя числа, чѣмъ дѣйствителышя дроби.

Мы разсмотрѣли счетъ дюжинами. Теперь займемся счетомъ группами по 60; такъ считали халдеи. Халдеи были волхвами, звѣздочетами и астрономами древности; имъ мы обязаны тѣмъ, что въ часѣ 60 минутъ и въ минутѣ 60 секундъ, также и въ угловомъ градусѣ 60 минутъ; у нихъ, между прочимъ, и день дѣлился на 60 часовъ. Число выше 60 халдеи разлагали на 60 и на остатокъ; напр., чтобы выразить 87, они говорили 60 и 27. Число 60 имѣло у халдеевъ свое особое названіе «soss», также и 3600, равное 60×60, спеціально называлось словомъ «sar». Работы халдеевъ въ астрономіи были выдающимися въ древнемъ мірѣ. Неудивительно поэтому, что ихъ вліяніе чувствуется и въ позднѣйшей наукѣ; отсюда про-истекаетъ то предпочтеніе, которое дается числу 60 въ астрономіи. Халдеи считали въ году 360 дней, т.-е. 60×6, и окружность дѣлили на 360 равныхъ частей или градусовъ; слѣдовательно, градусомъ экватора они считали путь, который пробѣгаетъ солнце въ однѣ сутки.

Вотъ мы поименовали cамыя употребительныя системы счета; изъ нихъ самая распространенная и развитая — десятичная: счетъ десятками можно прослѣдить у всѣхъ народовъ, не исключая даже и тѣхъ, которые предпочитали пользоваться пятками и дюжинами или же группами по 20 и по 60.

Изъ другихъ системъ, не приведенныхъ нами, мы можемъ указать лишь слабые намеки; такъ, напр., новозеландцы считаютъ группами въ 11, и у нихъ есть особыя коренныя слова для 11, 121 (=11×11), 1331 (=11×11×11); на ихъ языкѣ 12 замѣняется одиннадиатью однимъ, 13 — одиннадцатью двумя, 22 — дважды одиннадцать, 33 трижды 11 и т. д.

Вспомнимъ, кстати, что наши предки тоже считали иногда при помощи особыхъ своеобразныхъ единицъ — сороковъ: сорокъ сороковъ церквей, пять сороковъ соболей, слѣдовательно, у нихъ единицей счета служила группа въ сорокъ.

Итакъ, у всѣхъ народовъ идетъ счетъ десятками, сотнями, тысячами и т. д. Какъ же изъ этихъ группъ или изъ этихъ сложныхъ единицъ образуются многозначныя числа? Въ нашемъ русскомъ языкѣ для этого обыкновенно существуетъ одинъ путь: сложеніе и повтореніе. Что значитъ, напр., тринадцать? три-на-десять, т.-е. 10+3, здѣсь мы видимъ сложеніе; что значитъ тридцать? тридцать — трижды десять: здѣсь встрѣчаемъ мы повтореніе, иначе сказать умноженіе 10 на 3; въ выраженіи «триста двадцать» содержится два повторенія «три-ста», «два-десять» — и одно сложеніе — «триста двадцать».Но не такъ просто рѣшается этотъ вопросъ въ другихъ языкахъ. Въ нихъ для образованія сложныхъ чиселъ берутся и другія два дѣйствія, — вычитаніе и дѣленіе; напр., по-латыни восемнадцать будетъ duodeviginti, это значитъ двадцать безъ двухъ, девятнадцать — undeviginti, это значатъ двадцать безъ одного. По-санскритски 95 выражается черезъ pantchonangsatam, что значитъ сто безъ пяти. Что касается дѣленія, то имъ иногда образуются числа и у насъ, напр., вмѣсто «пятьдесятъ» говорятъ часто полсотни. Въ датскомъ языкѣ 60 выражается черезъ трижды двадцать (tresindstyve) — объ этомъ мы говорили выше, а 50 черезъ 2½ раза по 20—halvtresindsryve, здѣсь уже дѣленіе. Но вообще говоря, чѣмъ система счета развитѣе, тѣмъ болѣе приближаетея она къ десятичиой и тѣмъ яснѣе проявляется образованіе чиселъ при помощи сложенія и умноженія. У насъ, напр., въ русскомъ языкѣ числа отъ 11 до 20 словесно выражены не очень ясно, напр., «пятнадцать» вмѣсто «десять и пять», но, начиная съ 21, составъ чиселъ уже гораздо яснѣе, и мы встрѣчаемъ такія выраженія: «двадцать пять», «тридцать шесть» и т. п., въ которыхъ десятки ясно разграничены съ единицами; подобно этому полные десятки въ предѣлѣ ста выражены не совсѣмъ ясно. «тридцать» вмѣсто «три десятка», а сотни выражены уже яснѣе: «триста» вмѣсто «три сотни», а тысячи совершенно ясно: «три тысячи». Нашимъ дѣтямъ, которыя начинаютъ учиться ариѳметикѣ, легче въ этомъ случаѣ, чѣмъ, напр., нѣмецкимъ; тамъ для чиселъ 11 и 12 употребляются такія слова, изъ которыхъ не видно разложенія ихъ на десятокъ и единицы; кромѣ того, въ двузначныхъ числахъ въ нѣмецкомъ языкѣ выговариваются сперва единицы, а потомъ уже десятки, т.-е. какъ разъ обратно тому, какъ числа обозначаются письменно.

Предѣлъ чиселъ

Предѣлъ чиселъ.

Каковъ предѣлъ чиселъ, иначе сказать: до какого самого большого числа доходитъ тотъ или другой народъ при счетѣ и вычисленіи?

Живетъ въ настоящее время два дикихъ племени, Жури и Каирири, которыя считаютъ только по одной рукѣ и такимъ образомъ доходятъ только до пяти. Есть еще хуже. Низшія племена Бразиліи считаютъ обыкновенно по суставамъ пальцевъ и добираются этимъ путемъ только до трехъ. Все, что выше 2-хъ, они выражаютъ общимъ словомъ «много». Цивилизованные народы древнѣйшихъ временъ, какъ то: халдеи, евреи и китайцы, не заходили въ счетѣ слишкомъ далеко. Въ халдейскихъ надписяхъ и памятникахъ нигдѣ не встрѣчается упомипанія о милліонѣ. Въ Библіи есть, правда, выражепія «тысяча тысячъ» и «тысяча разъ по десяти тысячъ», однако подъ ними никакъ нельзя разумѣть опредѣленныхъ чиселъ, скорѣй же это картинное обозначеніе какихъ-то громадныхъ, неизмѣримыхъ количествъ. Не даромъ наши предки славяне принимали десять тысячъ за «тьму», какъ за что-то туманное и неясное, до чего нельзя и досчитаться. Еще сильнѣе употреблявшееся у нихъ выраженіе «невѣдіе», въ старинныхъ рукописныхъ славянскихъ ариѳметикахъ оно обозначало сотню тысячъ. Древнѣйшій культурный народъ Азіи, китайцы, слабые, впрочемъ, математики, считали тысячу и десять тысячъ вѣнцомъ всѣхъ чиселѣ: друзьямъ они желаютъ жить тысячу лѣтъ, а императору десятокъ тысячъ. Изъ всего этого видно, что большинство народовъ древности, даже и очень образованныхъ, довольствовались въ ариѳметикѣ первыми 4 разрядами и дальше тысячъ при счетѣ не шли.

Но кто особенно любилъ большія числа, такъ это индусы, горячіе поклонники ариѳиетики и ея творцы. Умѣнье обращаться съ громаднѣйшими числами считалось у нихъ признакомъ чрезвычайной смышлености и ставилось въ высокую заслугу. Даровитый математикъ такъ же былъ славенъ въ Индіи и достигалъ такой же популярности, какая у насъ выпадаетъ на долю только побѣдителя или поэта. Интересна легенда о нѣкоемъ индусѣ Bodisattva какъ онъ сталъ свататься за одну дѣвушку, и какъ отецъ невѣсты соглашался отдать ее только въ томъ случаѣ, если юноша докажетъ свое особое искусство въ письмѣ, въ единоборствѣ, въ бѣгѣ и въ ариѳметикѣ. По требованію отца, Bodisattva даетъ названія громаднымъ числамъ, кончая единицей 54-го разряца, т.-е. онъ оказывается въ состояніи прочесть число, выраженное длинной строкой въ 54 цифры, и что всего поразительнѣе, такъ это то, что онъ выговариваетъ числа не по одному способу, а по нѣсколькимъ, по 6 или 7. Въ заключеніе ему даютъ задачу: пусть бы онъ указалъ самую наименьшую долю длины, какую только можетъ онъ придумать. Онъ назвалъ и указалъ индусской мѣры длины. Онъ началъ такъ: эта доля, которую я указываю, составляетъ седьмую часть тончайшей пылинки; 7 тончайшихъ пылинокъ составляютъ одну небольшую пылинку; изъ 7 небольшихъ выходитъ такая, которую кружитъ вѣтеръ; ихъ 7 даютъ одну, пристающую къ ногѣ зайца; 7 подобныхъ послѣдней даютъ одну, пристающую къ ногѣ барана; 7 пристающихъ къ ногѣ барана образуютъ одну, пристающую къ ногѣ буйвола; 7 пылинокъ буйвола составляютъ маковое зерпышко; 7 маковыхъ зернышекъ даютъ горчичное зерно, 7 горчичныхъ—ячменное, 7 ячменныхъ даютъ длину сустава пальца, изъ 12 суставовъ получаемъ пядь, изъ двухъ пядей — локоть, 4 локтя составляютъ лукъ и, наконецъ, 4000 луковъ даютъ индусскую мѣру длины, такъ наз. «yôana». Таковъ переходъ отъ этой мѣры къ самой малой долѣ и такова дробь, выраженная, по нашему, въ трилліонныхъ частяхъ.